Задача Стокса вторая

В отличие от задачи Стокса об обтекании твердой сферы в анализе закономерностей обтекания жидкостью газового пузырька или капли (при Re 1) необходимо учитывать циркуляцию в дискретной фазе, возникающую под действием касательных напряжений на обтекаемой поверхности (рис. 5.9). Это приводит к определенным изменениям в математическом описании. Во-первых, уравнения сохранения массы и импульса теперь должны записываться и для сплошной, и для дискретной фаз. (Очевидно, что система (5.15) будет справедлива в нашем случае для обеих фаз.) Во-вторых, изменяется содержание условий совместности для касательной компоненты импульса. Если для твердой сферы допущение об отсутствии скольжения фаз на непроницаемой поверхности раздела означает равенство нулю касательной скорости жидкости, то для пузырька или капли условие [c.210]

Рис. 5.8. Распределение скоростей вблизи плоской стенки, совершающей колебания в собственной плоскости (вторая задача Стокса).

В рамках феноменологического подхода для нахождения закономерностей изменения неизвестных наблюдаемых величин в пространстве и во времени используются общие физические законы (такие, например, как законы сохранения, постулаты термодинамики и др.) в сочетании с соотношениями между наблюдаемыми величинами, вид которых получен в результате обработки экспериментальных данных. Основу феноменологического подхода для описания гидродинамики систем газ—жидкость составляют законы классической гидромеханики, которая строго описывает движение каждой фазы (см. разд. 1.3). Однако применение строгих результатов, полученных из фундаментальных соотношений гидромеханики (таких, как уравнение Навье—Стокса), к расчету газожидкостных течений является практически невыполнимой задачей, за исключением ряда простых примеров, рассмотренных во второй и третьей главах книги. [c.184]

Вторая важная задача проектирования летательного аппарата — изучение его аэродинамических свойств. Решение этой задачи связано с исследованием процессов обтекания газом поверхностей произвольной формы. Наиболее общими уравнениями, описывающими этот процесс, являются уравнения Навье — Стокса, которые в декартовой системе координат имеют вид [c.8]

Задачи вязкого многофазного течения (жидкости, газы, твердые частицы). Этот класс содержит задачи движения запыленных потоков, а также движения потоков ири наличии кипения и конденсации. Для решения задач данного класса используются уравнения в приближении пограничного слоя или полные уравнения Навье — Стокса. Введение большого числа поверхностей разрыва фаз требует добавления к численным методам, разработанным для сплошной среды, статистических методов определения параметров потоков [35]. Численные решения задач движения вязкой многофазной жидкости получены только на основе уравнений пограничного слоя с введением влияния второй фазы на [c.187]

Общее решение уравнений Навье — Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор еще не найдено. Однако можно получить много частных решений, вводя различные упрощения. Одна из основных целей первоначального курса механики жидкости — развить чутье к выбору надлежащего приближения для решения той или иной инженерной задачи. [c.123]

Система уравнений (1-79) дополняется уравнениями неразрывности, процесса, состояния. Неизвестные величины, входящие в систему уравнений Навье — Стокса, должны также удовлетворять кинематическим и физическим граничным условиям. Общее решение уравнений (1-79), являющихся нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, не получено. Имеются частные решения некоторых важных инженерных задач. [c.58]

Последняя формула показывает, что первое слагаемое правой части получается из второго дифференцированием по времени t и заменой фо на фо. Стокс доказал, что такая же связь существует и в общем случае между составляющими свободных колебаний, которые зависят от начальных смещений системы, и составляющими, которые зависят от начальных скоростей. Это означает, что для рассматриваемой линейной задачи достаточно построить решение, соответствующее заданным начальным скоростям и нулевым смещениям, чтобы получить общее решение. [c.278]

Если не вводить предположения о несжимаемости, то очень трудно получить для системы уравнений Навье —Стокса корректно поставленную краевую задачу, условия которой были бы физически состоятельными. Прежде всего часто бывает неизвестна величина X (см. 33). Стокс пробовал предположить, что вторая вязкость ji обращается в нуль [c.48]

Очень медленное движение — решение Стокса для падающего шара. Приближенные решения уравнений Навье— Стокса могут быть грубо разделены на четыре категории. К первой относятся те случаи, когда геометрия границ позволяет использовать существующие точные решения для конкретных случаев. Во второй категории движение жидкости происходит так медленно, что в уравнении движения можно пренебречь инерционными слагаемыми. Если движение не настолько медленно, чтобы это было справедливо, то иногда удается линеаризировать уравнения Навье—Стикса и таким образом получить решение. Такие решения образуют третью категорию. В некоторых задачах инерционными слагаемыми пренебречь нельзя, не внеся значительной ошибки, но одно из слагаемых, включающих вязкость, мало по сравнению с другими решения, полученные пренебрежением этим слагаемым, относятся к четвертой категории. [c.221]

В связи с быстрым усовершенствованием вычислительных машин в последнее время появилось много работ, в которых задачи о течении вязкой жидкости и газа при наличии отрывов и зон с возвратно-циркуляционными течениями решаются численными методами. В этих работах система уравнений Навье — Стокса аппроксимируется конечно-разностной системой первого или второго порядка точности, которая решается затем каким-либо итерационным методом. [c.235]

Гидродинамические ограничения на управляющие силы и моменты. В главе 2 рассмотрена задача об оптимальном по расходу энергии на преодоление сопротивления вязкой среды перемещении шара из одного фазового состояния в другое. Задача исследована в двух вариантах. В первом из них для расчета сопротивления использована формула Стокса, а во втором — формула Буссинеска, учитывающая нестационарные эффекты обтекания. Оказалось, что гипотеза о квазистационарности обтекания приводит к относительной ошибке в оптимальных энергетических затратах всего лишь порядка 0.02 %. Такой результат послужил основанием для исследования всех других задач в рамках следующего ограничения на допустимые управляющие силы и моменты. [c.40]

В заключение этого раздела заметим, что формулировки краевых задач для различных режимов течения в рамках первого приближения, найденные в разделе 2 при использовании полных уравнений Навье-Стокса и в разделе 3 из уравнений Прандтля, полностью совпадают. Однако для второго приближения это уже было бы не так. [c.177]

Эта форма функции соответствует содержанию задач гидромеханики. Напомним, что гидродинамическое давление р, согласно гл. 2, выражается через множители Лагранжа т. е. через тензор напряжений, связанный с переменными второго рода для вязкой жидкости формулами Навье — Стокса. [c.76]

Перейдем теперь к приближенным методам решения уравнений движения вязкой жидкости. Решение упрощается в двух предельных случаях. Первый соответствует задачам, когда велика вязкость среды, малы скорости движения и масштабы движения, т. е. малы числа Рейнольдса Re=y//v. В этих случаях члены, характеризующие вязкость в уравнениях движения, гораздо больше инерционных членов, и последние могут быть отброшены. Тогда уравнение Навье — Стокса переходит в линейное уравнение, которое без учета объемной, или второй вязкости т], примет вид [c.23]

Теоретическое исследование течения вязкого газа при малых числах Рейнольдса основано на решении упрощенных уравнений Навье — Стокса, полученных в предположении, что отношение поперечной компоненты скорости к продольной и отношение продольного градиента к поперечному имеет порядок относительного удлинения сопла [28, 206]. В результате упрощений в уравнениях Навье — Стокса исчезают члены, содержащие вторые производные по сс, и для расчета течения в сопле нужно решать эволюционную по ж задачу, а не краевую задачу для полных уравнений Навье — Стокса. [c.343]

Однако оно не удовлетворяет условию (4) и, следовательно, не является решением задачи. Несуществование решения задачи Стокса во втором приближении составляет содержание парадокса Уайтхеда [219]. [c.20]

Течение вблизи колеблющейся плоскоЁ стенки (вторая задача Стокса). [c.94]

Для проверки можно взять решение задачи о течении около бесконечной плоской пластины, колеблющейся по закону Uw = = I7o os (o3i) (вторая задача Стокса см. Шлихтинг [1968]). Решение имеет вид [c.484]

Учитывая большое число монографий по методу конечных элементов, традиционные математические основы этого метода мы изложим кратко. Подробнее рассмотрены актуальные технические вопросы, которые в книгах освещены слабее способы триангуляции двумерных и трехмерных областей, экономичные кубатурные формулы и использование смешанного метода как систематического аппарата для замены обременительных главных условий в базисных подпространствах на естественные условия. Такая замена, например, позволяет упростить работу с неоднородными краевыми условиями Дирихле, свести бигармоннческое уравнение к системе уравнений второго порядка, снять весьма неудобное требование соленоидальности базисных функций в задачах Стокса и Навье - Стокса. [c.7]

Другая допускаюш,ая точное решение нестационарная задача, известная как вторая задача Стокса, описывает течение вблизи безграничной пластины, колеблюш,ейся в своей плоскости. Эта задача относится к так называемым задачам без начальных данных. Граничные условия в этом случае формулируются так [c.40]

Вторая группа программных комплексов представляет больший интерес для моделирования в САПР в ней реализуется решение краевых задач с конкретным физическим смыслом. К последним относятся такие крупные программы, как ГАММА, ТЕКОН, комплекс программ для числоврго решения уравнений Навье — Стокса. В основу построения программных комплексов второй группы заложен ряд общих принципов. Так, все комплексы построены по модульному принципу, причем модули делятся на две части управляющую и обрабатывающую. [c.50]

При выводе уравнений Навье—Стокса не делалось каких-либо предположений о режиме движения. Поскольку свойство вязкости присуще реальным жидкостям независимо от режима их движения и при переходе от ламинарного течения к турбулентному другие физические свойства не изменяются, можно предполагать, что обобщенная гипотеза Ньютона, а значит и опирающиеся на нее уравнения Навье—Стокса, справедливы как при ламинарном, так и при турбулентном движении жидкости. Однако в последнем случае использовать уравнения Навье—Стокса для получения каких-либо прикладных решений практически невозможно. Входящие в них мгновенные скорости и давление при турбулентных режимах являются пульсирующими величинами. Даже если бы эти параметры удалось найти путем решения уравнений Навье—Стокса, что представляет крайне трудную задачу, то использовать эти мгновенные значения величин в практических целях было бы весьма затруднительно. Поэтому для турбулентного режима ставится задача отыскания усредненных во времени скоростей и давлений. Эти усредненные величины сами могут оказаться зависящими или независящими от времени. В первом случае турбулентнсе течение считается неустановившимся, а во втором — установившимся. - [c.96]

Значения интегралов в правой части пе зависят от выбора параметризации контура у, сохраняющей направление его обхода. При изменеиии направления обхода К. и. второго типа (в отличие от К. и. первого типа) меняет знак. К таким К. и. сводится задача о вычислении работы силового поля при перемещении точки вдоль кривой. Если контур у замкнут, то К. и. второго типа сводится к интегралу по двумерной поверхности, натянутой на этот контур (см. Грина формула, Гаусса — Остроградского формула, Стокса формула). [c.450]

Идея А. С. Предводителева получила стр огое математическое доказательство в работах Айкенберри и Трусделла. В одной из последних работ ТруСделл Л. 13] утзерждает, что в поддающихся расчету и экспериментальной проверке задачах кинетической теории уравнения второго приближения по методу Энского — Чепмана справедливы для более узкой области со стояний газа, чем уравнения в при ближении Навье — Стокса. С помощью нов ого приема исследования — итерационного метода— ои показал, что приближения лю бого порядка хуже пер вого и что уравнения Навье — Стокса могут оказаться искомым асимптотическим решением. [c.524]

Если первой ступенью развития приближённых методов использования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифференциальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближённых методов решения отдельных задач движения вязкой несжимаемой жидкости. [c.227]

Асимптотический след за равномерно движущимся телом. В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль-типольиого подхода иа другие виды гидродинамических течений. Этот подход оказывается полезен ири построении асимптотического решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и для затопленных струп, распространяющихся в однородном потоке вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить интегральную форму уравнений Навье — Стокса получаемую обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести интегральное уравнение в -пространстве, из которого получены в явном виде первые три члена асимптотического решепия с помощью разложения при А -> 0. Решеиие задачи об обтекании как и в случае затопленных струй, неаналитичио в бесконечно удаленной точке (второй член разложения содержит 1п1 ). Асимптотическое разложение можно представить в виде ряда ио дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимптотического разложения полностью определяется заданием полного потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком момента количества движения. [c.321]

Математическая модель и метод численного решения задачи. Сверхзвуковое по продольной координате течение в элементарном канале рассматривается в рамках стационарной осредненной параболизованной системы уравнений Навье-Стокса [10] для многокомпонентной среды в квазиламинарном приближении. Эта система получена из полной системы уравнений Навье-Стокса отбрасыванием членов, содержащих вторые производные по продольной координате. Возможность использования такого приближения для расчета сверхзвуковых струйных течений была продемонстрирована ранее [11, 12. Для замыкания задачи используется однопараметрическая дифференциальная модель турбулентной вязкости [13, 14]. Эти уравнения решаются совместно с уравнениями химической кинетики. Кинетическая схема включает 30 реакций для восьми компонент Н2, О2, Н, ОН, [c.339]

Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую-функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируюг (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Больцмана, модельными уравнениями. К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Деря1 ин, 1961 В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) ). Очевидно, что. функционал [c.430]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

Заключительное замечание. На этом мы закончим рассмотрение точных решений уравнений Навье — Стокса и перейдем к приближенным решениям. Под точными решениями мы понимали такие решения, которые получались из уравнений Навье — Стокса при сохранении всех членов, тож дественно не равных нулю для изучавшихся течений. В противополож-ность этому под приближенными решениями мы будем понимать такие решения, которые получаются из уравнений Навье — Стокса путем отбрасывания в них членов, по своей величине малых в условиях рассматриваемой задачи. Как уже было отмечено в главе IV, при приближенных решениях особую роль играют два предельных случая в первом из них силы трения значительно больше, чем силы инерции (ползущее движение), во втором же они значительно меньше, чем силы инерции (течение в пограничном слое). В то время как в первом случае допустимо полностью отбросить инерционные члены, во втором случае, т. е. в теории пограничного слоя, отнюдь нельзя одновременно отбросить все члены, зависящие от вязкости, так как это привело бы к невозможности выполнения физически существенного граничного условия — условия прилипания жидкости к стенкам. [c.108]

Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод Стокса, принадлежит Озину [2] и заключается в том, что в уравнениях движения оставляются только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризуются путем замены неизвестной скорости, стоящей множителем перед производной, ее характерным значением. При этом нелинейная система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости сводится к линейным уравнениям с частными производными первого и второго порядков. [c.238]

Единственный вопрос, который, быть может, следует считать открытым, это — вопрос о том, не может ли небольшая дрля нагревания и охлаждения за счет теплопроводности или излучения потеряться раньше, чем она произведет свой полный эффект. Все должно зависеть от быстроты тепловых изменений. С одной стороны, ниже известного предела медленности как избыток, так и недостаток тепла успевали бы компенсироваться, и температура в основном оставалась бы постоянной. В этом случае соотношение между давлением и плотностью было бы тем, которое приводит к значению скорости звука Ньютона. С другой стороны, выше известного предела быстроты изменений газ вел бы себя так, как будто он заключен в теплоизолирующий сосуд, как предполагалось в теории Лапласа. Но хотя действительные условия задачи лучше представляются вторым предположением, здесь еще может иметь место отклонение от закона давления и плотности, входящего в теорию Лапласа, отклонение, которое приводит к несколько меньшей скорости распространения звука. Этот вопрос был тщательно рассмотрен Стоксом в работе, опубликованной в 1851 году ), содержание которой в основных чертах мы здесь и воспроизводим. [c.32]

Таким образом, поле скоростей, получаемое по теории Навье — Стокса, дает решение нашей задачи с точностью до О(а ). Для жидкостей второго порядка, как отмечалось в предыдущем параграфе, прямолинейное течение возможно, поскольку выполняется условие (VI. 5-22). Фактически поле скоростей навье-стоксова решения дает точное решение и для жидкости второго порядка — поправочные члены в (14) и (17) трждественно обращаются в этом случае в 0. Конечно, для того чтобы то же самое течение в жидкости второго порядка имело место, в ней должны действовать нормальные усилия, которых не дает теория Навье — Стокса. [c.248]

Задача о движении нескольких вихрей имеет ряд существенных достоинств. Во-первых, она допускает простое численное интегрирование в рамках современных вычислительных подходов. Во-вторых, в ряде случаев симметрии движения относительно прямой или точки удается построить аналитические выражения для зависимости координат от времени или установить относительные траектории движения. Наличие точных решений позволяет оценивать эффективность вычислительных алгоритмов решения задачи Коши применительно к нелинейным вихревым движениям. И, наконец, если задача трех вихрей в целом интегрируема, то четыре и более вихрей обеспечивают простейший (если можно употреблять такое слово) прид1ер хаотического поведения. Отметим, что хаотическое движение нельзя рассматривать как пример турбулентных течений, поскольку турбулентность в обычном понимании означает стохастическое поле скорости, описываемое детерминированными уравнениями Навье — Стокса. Скорее вдесь речь должна идти о новом режиме течения, не укладывающемся в традиционное деление на ламинарное и турбулентное движение. Стохастическое движение системы нескольких вихрей представляет собой ламинарный поток со стохастическими свойствами. Когерентные вихревые структуры в турбулентных ( например сдвиговых ) течениях, наоборот, представляют собой регулярные картины потока в стохастическом поле скорости. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...