Стокса метод

Очевидно, что использованный в задаче Стокса метод анализа для нахождения поля скоростей может быть применен и к рассматриваемому случаю. При этом уравнение (5.16) для величины со = rot и справедливо для обеих фаз. Для внешней фазы, как и прежде, будем иметь решение этого уравнения в виде [c.211]

Прежде, чем переходить к получению предельных асимптотических решений уравнений Навье-Стокса методом сращиваемых асимптотических разложений (см., например, книгу [Ван-Дайк М, 1967]), получим оценки характерных масштабов величин в области сильного локального взаимодействия внешнего гиперзвукового потока с пограничным слоем около точки О. [c.262]

К сожалению, в уравнениях Эйлера нет никакого сильного источника диссипации, с помощью которого можно было бы исключить появление ложных нестационарных волновых возмущений. Следовательно, требуются какие-то дополнительные средства демпфирования, такие, как пространственное сглаживание [6.61] или использование искусственной вязкости в явном виде [6.63]. В работе [6.66] используются полные уравнения с искусственно введенной переменной времени в таком виде, чтобы обеспечивались сильное демпфирование и повышенная сходимость решений. В работе [6.61] при решении уравнений Навье—Стокса методом установления для обеспечения счетной устойчивости применен метод предиктор-корректор. Для трансзвуковой компрессорной решетки было продемонстрировано хорошее совпадение результатов расчетов с экспериментом. [c.195]

Величину Reo.np можно найти по графику [Л. 284], если знать второе слагаемое. Однако определение Re i = и тйэ/у затруднительно. Неясны методы оценки коэффициента фт (в примере принято фт = 1), а определение пульсационных скоростей частиц по выражению (б) верно лишь для закона Стокса. Пример расчета Арп, приведенный в [Л. 284], показал, что при р = 4%, Re=10 , 1 3 = 50 мк, рт=2-10з с точностью до 1% [c.65]

Движение частицы в жидкости, ограниченной бесконечной неподвижной стенкой, можно исследовать, распространив на этот случай метод Стокса [451]. Считая взаимодействие частицы со стенкой потенциальным процессом, движение частицы в направлении по нормали к стенке можно считать аналогичным ее движению [c.59]

Наряду с этим некоторые вопросы изложены в новой редакции и в книгу включена новая глава. Так, дано новое, более общее изложение теории гидравлических сопротивлений, заново написан параграф, посвященный численным методам решения уравнений Навье—Стокса, книга дополнена новой главой Обтекание тел. Кавитация . [c.3]

В этой главе рассмотрены только ламинарные течения. Они встречаются в разнообразных технических задачах. В частности, в зазорах-и малых полостях машин, в особенности при течении таких вязких жидкостей, как масло, нефть, различные специальные жидкости для гидропередач, образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут служить уравнения Навье—Стокса. Поэтому весьма актуален вопрос о методах решения этих уравнений при разнообразных граничных условиях. [c.289]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

Рассмотрим общую схему применения численного метода сеток к расчету плоского неустановившегося течения вязкой несжимаемой жидкости. В качестве исходных можно использовать как уравнения (5.10) Навье—Стокса в проекциях, так и их преобразованную форму [(8.4) и (8.5)] для плоских течений. Уравнения (8.4) и (8.5) обладают тем преимуществом, что не содержат давления и имеют две искомые функции гр и 2. Для построения численного метода уравнение (8.5) переноса вихря удобно использовать в консервативной или дивергентной форме [c.318]

Рис. 8.16. Схема к численному методу решения уравнений Навье—Стокса

Потери напора на начальном участке строго не подчиняются формуле Пуазейля, ибо здесь не выполняется основная предпосылка о прямолинейности линий тока. Расчет этих потерь может быть выполнен методами непосредственного решения уравнений Навье—Стокса или методами теории пограничного слоя, излагаемой в гл. 8. Для ориентировочной оценки падения давления на начальном участке трубы можно в первом приближении принять, что потери на трение определяются формулой Пуазейля. Тогда уравнение Бернулли, составленное для сечений О—О и 2—2 (см. рис, 69), дает [c.167]

В гл. 1—3 книги в форме вопросов и задач рассматриваются основные сведения из аэродинамики, кинематика и динамика газообразной среды, позволяющие глубоко изучить важнейшие математические модели аэродинамики (уравнения Эйлера, Навье—Стокса, неразрывности и цр.). В гл. 4 и 5 приводится необходимая информация о скачкообразных процессах и расчете параметров при сверхзвуковом течении газа (метод характеристик). Широкий круг вопросов и задач, помещенных в гл. 6—8, относится к одному из основополагающих направлений аэродинамики— теории и методам расчета обтекания профиля крыла, а также несущей поверхности как одного из элементов летательного аппарата. [c.4]

Приближенная оценка, основанная на анализе порядка величин, входящих в уравнение Навье — Стокса, показывает, что область применения методов теории пограничного слоя ограничена максимальным значением параметра В = [c.463]

Строгое аналитическое решение задачи о движении сферы в реальной (вязкой) жидкости было получено лишь применительно к условию Re 1, т.е. для весьма медленного обтекания жидкостью сферы малых размеров. Впервые эта задача была решена еще в 1851 г Стоксом, который ввел для анализа специальную функцию тока. Здесь будет представлен другой метод решения [26]. [c.191]

Эта формула совпадает с полученной Стоксом. Ее справедливость в рамках некоторых ограничений была подтверждена экспериментально современными методами фотоупругости ). [c.129]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье —Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. он представил доклад на эту тему Международному конгрессу математиков, собравшемуся в Гейдельберге. [c.103]

Сущность теории пограничного слоя состоит в упрощении уравнений, описывающих процесс теплообмена между твердым телом и омывающей его жидкостью (Навье —Стокса, сплошности и энергии), на основании применения их к малой пространственной области — пограничному слою и отыскании. методов решения, полученных после упрощения уравнений. [c.105]

Если в ряде (3.8.1) удержать два члена, то с помощью метода Энскога получим систему уравнений Навье—Стокса для химически реагирующего многокомпонентного газа. [c.136]

Седиментационный метод анализа основан на использовании известного закона Стокса [c.23]

Зная изменение скорости и радиус масляной капельки, можно было по формуле (9) определить силу Р, с которой электрическое поле действует на заряд электрона. Измерив предварительно сипу, с которой то же электрическое поле действует на какой-нибудь заряд, величина которого известна, можно, используя правило пропорциональности, вычислить и величину заряда электрона. В опытах Р. Милликена электрическое поле действовало на заряд электрона е с силой порядка 10" —10" мг, которая, по закону Стокса, могла быть измерена с точностью приблизительно 0,1%. Эти цифры показывают, какие тончайшие методы взвешивания мы получаем на основе законов трения. [c.32]

При применении этого метода поток аэрозоля засасывается снизу через опрокинутую воронку, затянутую сеткой. Благодаря сетке в зоне на некотором расстоянии выше (а также ниже) ее, например в плоскости АА, (рис. 11) скорости потока будут везде одинаковы и равны л, за исключением участков в непосредственной близости от боковых стенок воронки. Поэтому через плоскость А А пройдут те и только те частицы, скорость падения которых под влиянием тяжести будет меньше скорости потока V. Если применить формулу Стокса, то можно, зная V, найти верхний предел радиусов частиц, которые проходят через воронку с сеткой. Считая концентрацию частиц, проходящих при разных скоростях засасывания л, можно с помощью разработанного Г. Я. Власенко и автором поточного ультрамикроскопа за короткое время определить численность фракций с различными верхними пределами радиусов, т. е. узнать фракционный состав. Этот способ применим и для определения фракционного состава частиц, взвешенных в жидкости. [c.34]

Однако для очень вязких жидкостей капиллярные вискозиметры неудобны, так как требуют либо чрезмерно большой затраты времени на производство измерений, либо применения очень высоких давлений. В ряде случаев для вязких жидкостей удобен метод, основанный на измерении скорости падения твердых шариков п использовании закона Стокса — (формулы (9) и (12). [c.52]

Попытку расширить диапазон применимости аналитических решений по числу Рейнольдса предприняли Праудмен и Пирсон [282]. Они решали систему уравнений Павье — Стокса методом сращиваемых асимптотических разложений [38] в областях вблизи сферы и на удалении от нее. В итоге для коэффициента сопротивления было найдено три главных члена асимптотического разложения при Ке 0 [c.53]

Для области Стокса (п=1) решения, полученные на основе уравнения (3-35), верны. Однако при увеличении числа Рейнольдса Re>0,4 показатель степени п уменьшается и расхождение соответственно нарастает. В автомодельной области, где п = 0 сила сопротивления в уравнении (3-35) окажется по меньшей мере на порядок заниженной. Таким образом, решения, полученные на основе этого уравнения, нельзя считать справедливыми для всех турбулентных течений. Кроме того, такая неправомерная запись уравнений пульсационного движения значительно усложнила его решение, привела к не-об содимости использовать графический метод и интерполяционные формулы [Л. 36]. [c.104]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Стокса для гидравлики уравнения теилопроводностн для термодинамики и т. д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аипрокси-мирующая система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне. [c.6]

При мотсматическом моделировании движения жидкого металла В ближний аоне воздействия использовались нелинейные уравнения вязкой теплопроводной жидкости — уравнения Навье-Стокса. Для их численного решения использовался метод Маккормака, хорошо зарекомендовавший себя при решении данного типа задач. Расчеты показали, что под действием внешнего импульсного воздействия в расплаве возникают два типа движения среды регулярные акустические течения, охватывающие достаточно большие области пространства, и турбулентные течения непосредстноньо на фронте кристаллизации, имеющие характер многочисленных мелкомасштабных вихрей. [c.82]

Полностью поляризованный свет (линейно, циркулярно или эллиптически) удобно изображать с помощь.ю сферы, предложенной в конце XIX в. Пуанкаре. Кроме сферы Пуанкаре существует еще несколько методов описания поляризованного света (параметры Стокса, вектор Джонсона, квантовомеханпческое представление), однако мы остановимся на методе Пуанкаре, поскольку он прост, нагляден и позволяет кратчайшим путем решать проблемы, возникающие при использовании различных оптических поляризационных устройств >. [c.35]

Входной участок, на котором происходит существенное развитие проф)Илей скоростей, концентраций и радиуса струи, оказывает влияние на массообмен в струе 4]. В связи с этим н данном параграфе с помощью метода, изложенного 15], проведено исследование гидродинамики и массообмена осесимметричной струи жидкости с учетом входного участка на основании решения уравнений Навье-Стокса и конвек-тинной диффузии. [c.51]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

Рассмотрим общую схему ирим енення численного метода сеток к расчету плоского неустановившегося течения вязкой несжимаемой жидкости. Прежде всего придадим уравнениям Навье—Стокса удобную для численных расчетов форму. Поскольку для плоского течения = О, то уравнения движения имеют вид [c.354]

На двух примерах обнаруживается удивительное совпадение между порядком уравнений систем Эйлера и Навье— Стокса и числом членов в ряде (3.8.1). Взяв один член ряда, получим систему Эйлера, уравнения которого имеют первый порядок, а взяв два, — уравнения системы Навье—Стокса, имеющие второй порядок. Если с помощью метода Энскога получить уравнения сохранения в третьем приближении, то мы получим систему Барнетта, уравнения которой имеют третий порядок. Эта система уравнений имеет довольно громоздкий вид, и ее вывод лежит за рамками данного курса. [c.139]

Возникает вопрос о точности математических моделей Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта. Причины неточного описания реальных течений с помощью указанных выше методов могут быть разбиты на три категории. [c.139]

Следует также отметить, что уравнения Эйлера, Навье— Стокса и Барнетта становятся, как показал В. В. Стру-минский [15], применимыми лишь при времени, превышающем время формирования функции распределения, близкой к локальной максвелловской, так как в основу решения уравнения Больцмана по методу Энскога положена ф/нк-ция Максвелла, характеризующая равновесное состонние (см. также [1]). [c.140]

Более ста последуюш их лет развитие науки о равновесии и движении жидкости происходило по двум различным направлениям. Одно направление развивалось по линии строгих математических решений, используя уравнения Эйлера и принимая при этом ряд допущений (Лагранж, Лэмб, Навье, Стокс, И. С. Громека и др.). Однако наличие ряда существенных упрощений не позволило использовать полученные этим методом результаты для решения конкретных практических задач. Это заставило ученых и инженеров прибегать к экспериментированию и на основании опытных данных создавать расчетные формулы для решения разнообразных гидравлических задач, выдвигавшихся бурно развивавшейся техникой (Шези, Буссинек, Дарси, Базен, Вейсбах, Дюпюи и др.). Таким образом, независимо от аэрогидромеханики практическая гидравлика продолжала свое развитие как опытная наука, опережая первую в целом ряде областей. Однако без наличия серьезного математического аппарата она, естественно, не в состоянии была обобщить данные сложного эксперимента. [c.7]

Для ИПХТ-М, как и для ИТП, характерен турбулентный режим течения, и при определении движения расплава решающее значение имеет турбулентная вязкость v . Расчет поля скоростей движения в меридиональных плоскостях (v) ведется полуэмпирическим методом (методика 8) решается уравнение движения Навье—Стокса (с учетом дополнительных рейнольдсовых членов) совместно с уравнением несжимаемости жидкости, причем в решение вводится поле эффективной вязкости Нэ> базирующееся на экспериментальных данных о распределении V в исследованных типичных объектах. Здесь = v + v , где V — физическое значение кинематической вязкости (обычно вводится через "эффективное число Рейнольдса Reg = Vq Во мно- [c.93]

Наоборот, зная, что осаждение частиц из столба жидкости высотой к закончилось за время т, мон но заключить, что скорость падения частиц наименьшего радиуса, присутствующих в данном порошке, равна /г/т. Определив скорость, можно из формулы Стокса найти и радиус соответствующих частиц. Закон Стокса позволяет узнавать радиус даже самых малых частиц, р)азмеры которых невозможно определить непосредственно под микроскопом. Недостатком методов статического седпмеитационного анализа является возможность возникновения ошибок из-за потоков жидкости, вызываемых случайными разностями температур (тепловая конвекция). Эти ошибки особенно велики и трудно устранимы при статическом седимента-ционном анализе аэрозолей, т. е. систем, образованных частицами, взвешенными в воздухе (или в других газах). Для этого случая, однако, автор предложил поточный метод седиментационного анализа, в котором не только устранено влияние конвекции, но и резко сокращено затрачиваемое на определение время. [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...