Уравнения Навье — Стокса, вывод

Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка различных членов в уравнении Навье — Стокса показывает, что членом vAv можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях г от тела, удовлетворяющих условию rU/v 1 (ср. вывод обратного условия (20,16) ) это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Одиако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри следа, поскольку здесь поперечные производные d v/dy , d v/dz велики по сравнению с продольной производной д /дх . [c.104]

Этот вывод мог бы быть получен еще и следующим образом. Напишем осредненное уравнение Навье-Стокса для скорости w , которое имеет вид [c.409]

Таким образом, система уравнений Навье—Стокса является системой нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. В курсе гидромеханики для частного случая несжимаемого газа показано, что эта система параболического типа. Этот вывод сохраняет свою силу и для многокомпонентной реакционноспособной смеси. [c.139]

Это обстоятельство есть свойство уравнений Прандтля (3.1). Если применить преобразование (3.5) к уравнениям Навье—Стокса, то в результате получим безразмерные уравнения, содержащие параметр R, вследствие чего дальнейшие выводы теряют свою справедливость в применении к уравнениям Навье—Стокса. [c.124]

Уравнение движения. В классической гидродинамике уравне-нме движения вязкой несжимаемой жидкости записывается в форме дифференциального уравнения Навье—Стокса, которое выводится на основе второго закона Ньютона. В проекции на ось Ох 8 0 уравнение имеет вид [c.155]

Вывод уравнений движения в пограничном слое основан на оценках — гипотезах о порядке различных членов в уравнениях Навье — Стокса и пренебрежении малыми членами сохраняются только конечные члены. [c.254]

Прежде чем перейти к выводу уравнений Рейнольдса для турбулентного движения, напишем уравнение Навье — Стокса. Для компоненты это уравнение имеет вид [c.56]

Остановимся на этом более подробно. Известно, что формула (5-7-14) аналогична формуле Пуазейля, которая выводится следующим образом. Уравнение Навье — Стокса при течении жидкости по цилиндрической трубе с постоянной [c.360]

Однако опыты не подтверждают этого вывода теории. Экспериментально доказана возможность предотвращения отрыва от задней стороны круглого цилиндра путем отсасывания. Необходимую для этого скорость отсасывания можно определить из уравнений Навье — Стокса. [c.119]

В основе вывода уравнения Навье—Стокса лежит предположение о законе трения (6.2), которое может быть проверено только экспериментально. Имеющиеся немногие частные решения уравнения Навье—Стокса (например, ламинарное или слоистое течение в трубе) подтверждаются экспериментами. [c.141]

Уравнение количества движения. Уравнение количества движения можно получить путем интегрирования уравнения Навье— Стокса для движения невязкой сжимаемой жидкости вдоль линии тока, как мы это делали при выводе (6-68). Это уравнение можно интерпретировать так же, как уравнение, записанное для трубки тока, совпадающей с границами потока, в предположении, что v=V (средней скорости). Если мы снова пренебрежем силой тяжести, то вдоль трубки тока уравнение (6-68) может быть записано как [c.356]

Как уже было отмечено в конце 105, вблизи точки отрыва, так же как и вблизи любой другой точки резкого продольного изменения параметров в пограничном слое, нарушается основное допущение, использованное при выводе уравнений пограничного слоя, а именно, предположение о медленности изменения величин вдоль по потоку по сравнению с резким их изменением поперек потока. Восстановление роли продольных производных приводит к возвращению к уравнениям Навье — Стокса, имеющим в случае стационарных движений эллиптический характер. Кроме обычного для стационарных параболических уравнений пограничного слоя задания граничных условий в начальном сечении, на стенке и на внешней границе пограничного слоя возникает необходимость задания граничного условия где-то вниз по потоку, без чего эллиптические уравнения не дадут определенного решения. [c.707]

Ниже будут рассмотрены методы построения моделей сплошных сред, т. е. методы отыскания необходимого числа определяющих течение параметров и построения управляющих ими уравнений, с помощью кинетического уравнения Больцмана. В принципе соответствующие уравнения для макроскопических величин можно построить и из феноменологических (макроскопических) рассмотрений, минуя кинетическую стадию ). Однако входящие в эти уравнения кинетические коэффициенты (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и т. п.) не могут быть найдены из феноменологических теорий и для их определения требуются дополнительные соображения или эксперименты. Так, например, при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса, предполагая пропорциональность компонент тензора напряжений компонентам тензора деформаций, мы должны ввести 81 неизвестный коэффициент пропорциональности. Вводя дополнительные предположения об изотропности и однородности среды, все эти коэффициенты удается выразить через два коэффициента вязкости, кото- [c.96]

Вывод уравнений Навье — Стокса. Перейдем теперь к построению уравнений Навье — Стокса для газа с внутренними степенями свободы. В этом Случае уже нельзя пренебречь изменением функции распределения на длине порядка длины пробега или за время порядка времени между столкновениями. В то же время изменения будем считать малыми, так что функцию распределения можно представить в виде (см. конец 8) [c.185]

Именно этот случай рассматривается в подавляющем большинстве работ, посвященных выводу уравнений Навье — Стокса с учетом внутренних степеней свободы молекул. [c.185]

При выводе уравнений пограничного слоя Прандтля на плоской пластинке в уравнениях Навье—Стокса пренебрегают величинами порядка Rem — А, по сравнению с единицей. Так как учет скольжения приводит к поправкам порядка У А,, то при расчете пограничного слоя на плоской пластинке с учетом скольжения можно пользоваться обычными уравнениями пограничного слоя. [c.336]

Для вывода уравнений пограничного слоя на поверхности колеблющегося конуса в подвижной (неинерциальной) системе координат (t, х, у, z) воспользуемся классическими законами механики относительного движения [24]. При переходе от абсолютной неподвижной системы координат к подвижной, связанной с телом, в уравнениях динамики движения жидкой частицы появляются дополнительные силы инерции — переносные и кориолисовые, зависящие от выбора подвижной системы координат. Поскольку эти силы никак не связаны с вязкостью воздушной среды, обтекающей тело, то в уравнениях Навье-Стокса и пограничного слоя появляются дополнительные члены, которые не стремятся к нулю при Кеь -> оо. [c.145]

Другой тип коррекции БГК-модели получается при выводе модельного уравнения, приводящего к таким же уравнениям Навье — Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действительно, как будет показано в следующей главе, модельное уравнение (БГК) дает значение числа Прандтля Рг = 1, т. е. значение, отличающееся от получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для одноатомных газов (эти результаты согласуются друг с другом, они дают Рг 2/3). Чтобы иметь правильное значение числа Прандтля, требуется еще один свободный параметр, кроме уже использованного параметра V. Это приводит (см. указания) к обобщению БГК-модели путем подстановки локального анизотропного гауссовского распределения вместо локального [c.103]

Несмотря на значительную область применения уравнений Эйлера — Лагранжа, их, вообще говоря, больше не считают приемлемой основой для теоретической гидродинамики. Вместо этих уравнений используются уравнения Навье — Стокса, вывод которых мы сейчас кратко изложим. [c.47]

Они своеобразно подтверждают уравнения Навье — Стокса, показывая, что критическое число Рейнольдса Ке,ф., при котором имеет место переход к турбулентности, одно и то же для воздуха и воды и равно приблизительно 1700. Теоретически этот вывод можно было бы получить из теоремы 2. Большинство современных специалистов считают, что течение Пуазейля является просто неустойчивым при Ке > Кекр., а турбулентное течение все-таки удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса. Хотя из принципа подобия (7) теоремы 2 не следует справедливость уравнений Навье — Стокса, их пригодность в случае турбулентного течения подтверждается опытными измерениями скорости затухания однородной турбулентности ). [c.58]

Как указывалось в 19, при обычном выводе уравнений Навье—Стокса (1 ) мы имеем дело с двумя коэффициентами вязкости Яиц. Можно принять, что коэффициент вязкости (1 при сдвиге измеряется для течения Пуазейля тогда остается задача измерить коэффициент К и проверить следствия уравнений (1 ) для этого коэффициента X, который, вероятно, зависит от температуры Т и давления р. [c.70]

Вывод уравнений Навье —Стокса [c.628]

Ударный слой. В реальных газах прохождение частицы через ударный фронт представляет собой не мгновенный процесс, в котором состояние частицы меняется скачком из состояния перед фронтом в новое состояние за фронтом, а быстрый переход из одного состояния в другое в некоторой узкой области, или ударном слое. В этой области движение не может быть описано уравнениями движения идеальной жидкости, и, следовательно, возникают некоторые сомнения относительно справедливости предыдущего вывода соотношений Ренкина—Гюгонио. В силу этого вопрос о структуре ударного слоя представляет значительный интерес и ему посвящаются многочисленные исследования. Изучение ударного слоя позволяет глубже понять природу ударных волн, дает некоторую информацию о толщине ударного слоя и приводит к более обоснованному выводу соотношений Ренкина — Гюгонио. Кроме того, сравнивая полученные результаты с экспериментом, мы можем выяснить границы применимости уравнений Навье — Стокса. Из соображений [c.186]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

При выводе уравнений Навье—Стокса не делалось каких-либо предположений о режиме движения. Поскольку свойство вязкости присуще реальным жидкостям независимо от режима их движения и при переходе от ламинарного течения к турбулентному другие физические свойства не изменяются, можно предполагать, что обобщенная гипотеза Ньютона, а значит и опирающиеся на нее уравнения Навье—Стокса, справедливы как при ламинарном, так и при турбулентном движении жидкости. Однако в последнем случае использовать уравнения Навье—Стокса для получения каких-либо прикладных решений практически невозможно. Входящие в них мгновенные скорости и давление при турбулентных режимах являются пульсирующими величинами. Даже если бы эти параметры удалось найти путем решения уравнений Навье—Стокса, что представляет крайне трудную задачу, то использовать эти мгновенные значения величин в практических целях было бы весьма затруднительно. Поэтому для турбулентного режима ставится задача отыскания усредненных во времени скоростей и давлений. Эти усредненные величины сами могут оказаться зависящими или независящими от времени. В первом случае турбулентнсе течение считается неустановившимся, а во втором — установившимся. - [c.96]

В общем случае нестационарное течение однородной среды в пучках витых труб может быть описано математически дифференциальными уравнениями сплошной среды [39]. В данной работе рассматривается турбулентное течение. Дифференциальные уравнения, описывающие это течение, выводятся из системы уравнений Навье—Стокса, неразравности и энергии, используя правила усреднения во времени в фиксированной точке пространства. Действие пу тьсационного движения на усредненное движение проявляется при этом увеличением в усредненном движении сопротивления возникновению деформации, и возникает проблема замыкания системы дифференциальных уравнений, поскольку в них появляются коррелированные средние значения произведений пульсапионных величин йДГ Ф о, ЧY Ф о и т.д. [c.12]

Следует отметить, что уравнение движения плоского пограничного слоя (4-10) можно легко получить из уравнения Навье —Стокса. Естественно, многие авторы предпочитают этот путь выводу уравнений пограничного слоя непосредственно после введения основных допущений теории пограничного слоя. В первом случае сразу предполагается, что пограничный слой тонкий , и проводится анализ порядка величины отдельных членов уравнений Навье —Стокса. Такой анализ приводит к заключению, что критерием тонкости пограничного слоя на пластине, обтекаемой потоком с постоянной скоростью внешнего течения, является величина числа Рейнольдса Re, характерным размером в котором служит расстояние от передней кромки пластины х. Для того чтобы пограничный слой был тонким , число Rej = (u xp/[i) должно быть значительно больше единицы. Подробный анализ порядка величин отдельных членов уравнений Навье — Стокса можно найти, например, у Шлихтинга [Л. 1] или Стритера [Л. 2]. [c.42]

ГИЙ ничем не отличается от выЁОда уравнений (4-24) И (4-25). Так же, как и при выводе уравнения (4-25), уравнения Навье — Стокса комбинируют с уравнением энергии. При этом результирующее уравнение энергии упрощается и приводится к виду, при котором отдельные члены уравнения располагаются в том же порядке, что и в уравнении (4-25) [c.55]

Многие авторы предпочитают выводить дифференциальное уравнение движения пограничного слоя из более общего уравнения Навье—Стокса (4-13), пользуясь методом оценки порядка величины отдельных членов уравнения. Этот метод показывает, что уравнение (7-1) справделиво лишь при iRei= ( o.px/ i) > 1. [c.103]

Представим себе текучую среду в виде жидкости вихревой структуры, т. е. совокупность вихревых шнуров, движущихся поступательно. Известно, что решение уравнения Эйлера для вихревых течений приводит к теореме Гельмгольца о сохранении вихревых линий. Однако этот вывод находится в противоречии с опытом. На основе уравнения Эйлера нельзя объяснить процесс возникновения и исчезновения вихрей. Решения Навье —Стокса объясняют процесс затухания вихрей, а не процесс их образования. Поэтому возникает проблема обобщения уравнения Навье—Стокса. Впервые на это обратил внимание Н. П. Кастерин [Л.1-18]. Он предложил вихревую модель жидкости. [c.49]

Из рисунка с несомненностью следует тот вывод, о котором уже шла речь выше. Формулы акустической дисперсии, основанные на уравнениях Навье — Стокса, лучше описывают опыт, чем формулы, основанные на барнетовских и супербарнетовских уравнениях. [c.64]

Особый интерес представляет предложенное Эмерслебеном аналитическое решение уравнений Навье — Стокса для течения, параллельного круговым цилиндрам одинакового радиуса, расположенным в узлах квадратной решетки. Он представил квадратную решетку, образованную круговыми сечениями цилиндров, как набор контуров, на которых некоторая периодическая функция, а именно дзета-функция Эпштейна 2-го порядка [22], принимает постоянное значение. Такое представление все более ухудшается с уменьшением порозности, хотя эта функция хорошо аппроксимирует контуры истинных сечений при значениях порозности, суш,е-ственно превосходящих 8 = 0,8. Например, при г = 0,9 из уравнения Эмерслебена следует, что к = 6,3. Это хорошо согласуется 0 значением к = 7,3 из табл. 8.4.2. При меньших порозностях согласие хуже, но по мере увеличения порозности оно становится особенно хорошим. Как отмечалось выше, Хасимото [47] применил сходные периодические решения к исследованию разбавленных решеток сфер и цилиндров. В своем исследовании он использовал постоянную Маделунга, которая выводится из дзета-функции Эпштейна третьего порядка. Для концентрированных облаков сфер все еш,е нет точного решения, основанного на этом обш,ем методе. [c.458]

К спорным вопросам методики изложения, принятой в настоящем курсе, мы относим, например, предлагаемый авторами способ вывода общего уравнения энергии на основе первого начала термодинамики ( 4-2). Нам представляется, что традиционный способ использования первого начала термодинамики при выводе уравнения энергии, принятый в лучших отечественных курсах газовой динамики, является более корректным и дает возможность яснее представить сущность делаемых при этом термодинамических допущений. Недостаточно ясна с математической точки зрения трактовка понятий материального метода и метода контрольного объема в 3-6. Оба метода опираются на эйлерово представление о движении жидкой среды. Их противопоставление, как нам кажется, носит иногда искусственный характер. При выводе общих уравнений движения вязкой жидкости — уравнений Навье — Стокса — авторы, видимо, следуя Г. Шлихтингу , опираются на аналогию с напряженным состоянием упругого тела. При этом предполагается знание читателем некоторых вопросов теории упругости. Вряд ли такой способ вывода фундаментальных гидродинамических уравнений будет удобен для любого читателя. Еще одним спорным в методическом отношении местом является то, что изложение теории турбулентного пограничного слоя опережает изложение представлений о турбулентном течении в трубах. Между тем, как известно, теория пограничного слоя использует некоторые зависимости, устанавливаемые при изучении течений в трубах. Поэтому, может быть, естественнее начинать изложение вопроса [c.7]

Уравнение переноса вещества при турбулентном течении можно получить путем использования аналогии между молекулярной и турбулентной диффузией. Вывод этого уравнения переноса подобен тому, который использовался для получения уравнений Рейнольдса для турбулентного течения [уравнение (11-22)] из уравнений Навье —Стокса. Как и в 11-4, мы представляем компоненты мгновенной скорости в виде суммы средней по времени и флуктуациониой (пульсационной) составляющих. Так, [c.452]

Строгий вывод уравнений пограничного слоя как асимптотической формы уравнений Навье — Стокса при больпшх числах Рейнольдса требует весьма аккуратных исследований, которые были выполнены лишь в середине XX в. [c.297]

Из приведенного выше вывода уравнений Навье—Стокса может создаться впечатление, что эти уравнения применимы лишь тогда, когда навье-стоксовские (вязкие) члены малы по сравнению с эйле-ровскими. Тогда исследования, например, течений в пограничном слое или течения Стокса при малых числах Рейнольдса с помощью уравнений Навье—Стокса были бы незаконными. Покажем, однако, что это не так. [c.161]

Другой тип коррекции БГК-моделп получается при выводе модельного уравнения, приводяпхего к таким же уравнениям Навье — Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действительно, как будет показано в гл. V, БГК-модель дает значение числа Прандтля Рг = 1, т. е. значение, которое отличается от получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для одноатомных газов (которые, согласуясь друг с другом, дают Рг 2/з). Чтобы получить правильное значение числа Прандтля, требуется дополнительный подгоночный параметр, кроме уже имеющейся частоты V. Это ведет [25, 26] к обобщению БГК-модели путем подстановки локального анизотропного трехмерного гауссовского распределения вместо локального максвеллиана (который представляет собой изотропное гауссовское распределение) [c.114]

Теория движения вязкой жидкости в форме, весьма близкой к современной, была опубликована в 1845 г. Стоксом (1819—1903), который, выделив из общего перемещения элемента жидкости деформационную часть, указал простую линейную зависимость возникающих в жидкости напряжений от скоростей деформаций, г. е. дал обобш,е-ние ранее уже упомянутого закона Ньютона. До Стокса, основываяс1. на некоторых специальных молекулярных гипотезах относительно свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили в 1826 г. Навье (1785—1836), в 1831 г. Пуассит (1781 —1846) и в 1843 г. Сеп-Венан (1797—1886). [c.27]

Из анализа решения уравнений Навье — Стокса для перехода через скачок следует интересный вывод о том, что это решение существует для ударных волн произвольной интенсивности (0 Р2< ° )- Если же уравнения движения обобщить, введя в них члены, которые становятся существенными в течениях с большими градиентами (уравнения Барнета), то оказывается, что профиль начинает совершать затухающие колебания при М1 > 1,23 (Цоллер [27]), а при М1 > 2,36 вообще не существует решения задачи о переходе через скачок. По расчетам Града решение задачи о переходе через скачок перестает быть верным при некотором значении М1, при котором его метод неприменим (Мх= 1.65). Согласно этому методу применение уравнений Навье — Стокса ограничено условием М1 < 1,2. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...