Совместности условия при плоской задаче

Часть вопросов и задач данной главы знакомят с математическими основами метода характеристик, условиями, при которых имеются решения характеристических уравнений и возможен расчет газовых течений методом характеристик. Ряд из них посвящен выяснению физического смысла характеристик, рассмотрению условий совместности уравнений для таких характеристик. Особое внимание уделяется практическому использованию метода характеристик на примерах расчета течений Прандтля—Майера и решения отдельных задач, связанных со сверхзвуковыми плоскими или пространственными осесимметричными течениями. [c.138]

Решение плоской задачи в перемещениях сводится к отысканию таких функций перемещений и г, 0), у(г, 0), которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (5.10), (5.11) и условиям на границах тела. При решении задачи в перемещениях условия совместности деформаций удовлетворяются тождественно. [c.93]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению трех составляющих напряжений — Ох, (jy и т у, которые должны удовлетворять двум дифференциальным уравнениям равновесия и уравнению совместности при заданных граничных условиях. Если считать, [c.10]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Решение задач, в которых рассматриваются упругая и пластическая области около надрезов при плоской деформации, усложняется вследствие того, что должны удовлетворяться условия упругой и пластической совместности, а напряжения должны быть связаны как с упругой деформацией [по уравнениям (21)], так и с приростом пластической деформации (см. гл. III, раздел 16). [c.36]

Условия совместности деформаций. Если при исследовании задач теории упругости используется система уравнений (П.28), то необходимо иметь в виду, что шесть составляющих напряжения являются независимыми, но в то же время подчиняются соотношениям, которые следуют из того факта, что шесть составляющих деформации выражаются через три функции и, и, ш (см. соотношения (П.9)). Поступая так же, как и в случае плоской задачи, получаем [c.587]

Приведенный выше метод решения плоской задачи теории упругости и изгиба плоских плит разработан с учетом технических возможностей интегратора ЭМ (БУ)-6. Почти все задачи решаются по частям путем расчленения их на составляющие задачи. В число последних входит неопределенная краевая задача, представляющая собой совместное решение уравнения = Р у Р = О, удовлетворяющее двум заданным условиям для функции да. Метод решения такой задачи, включающий подбор неизвестных краевых условий для гармонической функции Р, был практически проверен в НИС Гидропроекта при получении численных данных для большого числа задач, включающих решение неопределенной краевой задачи. Как показывает опыт, подбор краевых условий гармонической функции по критерию, который можно замерить в процессе подбора непосредственно на сетках интегратора, не представляет больших трудностей и обеспечивает большую точность выполнения заданных краевых условий. Однако выполнение операции подбора на интеграторе ЭМ (БУ)-6 при выполнении граничных условий с точностью 332 [c.332]

Численное решение. Плоская задача идеально-пластического тела является статически определимой, так как дифференциальные уравнения (1) и (2) образуют замкнутую систему относительно х, у, а и (р при задании граничных условий для а и (р в задачах Коши или Гурса. Затем по граничным условиям для скоростей перемещений и уравнениям (3) можно вычислить поле скоростей при известном поле линий скольжения. Однако в рассматриваемой задаче граничные условия для напряжений и скоростей перемещений связаны условием стационарности течения (8) на неизвестной границе АВ пластической области. Поэтому построение совместных полей линий скольжения и полей скоростей перемещений должно определять неизвестную границу АВ и неизвестное распределение а на заданной границе контакта О А. [c.585]

Уравнения равновесия [18] или [19], вместе с условиями на контуре [20] и одним из написанных выше уравнений совместности, дают нам систему уравнений, которой обычно достаточно для полного выяснения распределения напряжений в плоской задаче. Частные случаи, при которых необходимы некоторые дополнительные рассуждения, будут рассмотрены далее (стр. 132). [c.35]

Выведем условия совместности для плоской задачи. При плоском напряженном и плоском деформированном состояниях все деформации не зависят от координаты у, перемещение у не зависит от координат. V и 2 и в плоскостях, нормальных к оси у, сдвиги отсутствуют. Учитывая сказанное, получим [c.113]

На стр. 49 отмечалось, что система уравнений для задач о плоском напряженном состоянии при сделанных предположениях (Од = Т ег = = О, а , Оу, Тху не зависят от 2), которую мы сочли достаточной, не обеспечивает удовлетворение всех условий совместности. Эти предположения требуют, чтобы величины Ех, Еу, 8 , Уху не зависели от 2 и чтобы ухг Ууг равнялись нулю. Первое из условий совместности (125) включалось в теорию плоского напряженного состояния в качестве уравнения (21). Легко проверить, что остальные пять уравнений удовлетворяются только в том случае, когда представляет собой линейную функцию от х и у, что является скорее исключением, чем правилом, в решениях, полученных в главах 3 — 6. Очевидно, что эти решения не могут быть точными, однако, как мы сейчас покажем, они являются достаточно близким приближением для тонких пластинок. [c.284]

И на самом деле, как уже указывалось ранее, полезность даже таких традиционных пар дифференциальных уравнений, как уравнения (6.31з) и (6.31к) или (4.13) и (4.18) для плоских пластин, сомнительна, так как такие системы совместных нелинейных дифференциальных уравнений редко можно решить непосредственно, а решения в рядах, которые при этом следует применять, могут иметь, а могут и не иметь преимущества перед обычным энергетическим методом. Но подход, основанный на использовании уравнения равновесия в сочетании с энергетическим методом, описанным выше применительно к уравнению (6.31к), имеет очень заметные преимущества, поэтому такой же способ можно применить и к уравнению (6.32в), где также задается выражение для w с неизвестными коэффициентами, а соответствующие выражения для перемещений и и v определяются из уравнений (6.32в), а окончательное решение задачи определяется с помощью энергетических методов. Использование уравнения (6.81к), несомненно, предпочтительнее в j ex случаях, когда требуется удовлетворить краевые условия относительно мембранных сил, а уравнения (6.32в) могут оказаться более удобными, когда краевые условия задаются относительно перемещений и и v. [c.460]

В работе [49] показано, что обычные краевые условия, заданные на поверхности тела и внешней границе пограничного слоя, и начальные условия не позволяют единственным образом определить решения задачи для режимов умеренного и сильного взаимодействия даже в первом приближении. Чтобы выделить единственное решение, необходимо задать дополнительное краевое условие — еще одну постоянную. Ею может быть величина донного давления за донным срезом, положение точки отрыва, которая может быть получена из условий совместности с решением, описывающим течение вниз по потоку. В работе [49] проведен анализ характера неединственности решения для течения около плоской пластины при х = °о (сильное взаимодействие). [c.258]

При аналитическом способе решения задач о равновесии произвольной -плоской системы сил необходимо составить уравнения равновесия (см. стр. 95) по одной из трех форм в соответствии с данными задачи и решить их совместно. Число неизвестных, очевидно, не может быть в задаче больше трех, так как условия равновесия дают возможность написать только три уравнения первой степени. [c.96]

Плоские и осесимметричные контактные задачи для физически нелинейного (линейного геометрически) и геометрически нелинейного (гармонического типа) материала исследовались И. В. Воротынцевой [13] совместно с В. М. Александровым [3] и с Е. В. Коваленко [14]. С помощью соответствующих интегральных преобразований задачи сведены к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости, а свойства символов их ядер позволяют использовать для решения асимптотические методы больших и малых Л , развитые в работах В. М. Александрова. Влияние нелинейных свойств среды и начальных напряжений на контактную жесткость, функцию распределения контактных напряжений и величину вдавливающей силы в плоском случае исследовано в [13], в осесимметричном случае — в [3,14]. В работах установлено, что начальные напряжения не влияют на порядок особенности на краях штампа, но влияют на проникающую составляющую решения как в области контакта, так и вне ее. Исследованы условия потери внутренней устойчивости среды в зависимости от начальных напряжений. Для ряда конкретных нелинейно-упругих сред построены области эллиптичности линеаризованных уравнений, при переходе через границу которых происходит либо потеря поверхностной устойчивости, либо потеря поверхностной деформируемости, связанные с потерей эллиптичности. В работе установлено, что при стыковке решений, полученных методами больших и малых Л , значение относительной толщины Л, на которой стыкуются эти методы, существенно зависит от параметров начального напряженного состояния среды. [c.237]

Тогда компоненты перемещений и, и и w вообще не зависят от 2. При этом кинематические уравнения соответствуют уравнениям (8.2) для плоского деформированного состояния, условия совместности — уравнению (8.4), уравнения равновесия — уравнениям (8.9), а краевые условия — условиям (8.10) в напряжениях для первой граничной задачи. [c.194]

Сен-Венан нашел способ определения положения нейтральной оси сечения при косом изгибе решил задачу определения больших прогибов консоли (в случае неприменимости приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси) решил задачу изгиба балки, материал которой не следует закону Гука исследовал изгиб кривых стержней плоских и двоякой кривизны вывел формулу для определения продольной деформации винтовых пружин провел дальнейшую разработку теории кручения призматических стержней развил вторую теорию прочности дал расчетную формулу для валов, работающих в условиях совместного действия кручения и изгиба показал, что в частном случае плоского напряженного состояния при аг = —вызывается чистый [c.562]

При освобождении жесткого бруса от связей получим пять реактивных сил , Т 2,, N2, которые вместе с активной силой р образуют плоскую систему сил, т. е. уравнений равновесия будет три. Задача дважды статически неопределимая. Как и ранее, запись уравнений начнем с условий совместности деформаций (для определения направлений продольных сил необходимо принять какую-нибудь форму деформирования системы). В нашем случае под действием силы Р жесткий брус будет поворачиваться относительно шарнира О. В силу малости перемещений (как и в ранее рассмотренных задачах) будем считать, что точки А, В, С перемещают- [c.519]

Соединение слоев при плоском напряженном состоянии. Второй подход расчета упругих характеристик трех-мерноармированных композиционных материалов основан на совместном деформировании слоев в условиях плоской задачи [4]. При этом, как и в первом случае, реальная структура материала сводится к двум слоям, параллельным плоскости 1/, где /, / = 1, 2, 3. Естественно, что данный подход позволяет получать более простые расчетные зависимости для упругих констант, чем первый [см. формулы (5.3)—(5.5)]. [c.123]

Отмеченные упругие свойства мгпе-риала 40 в системе осей 1 23 следует учитывать при описании поведения материала в конструкции, работающей в условиях плоской задачи или кручения. Решение плоской задачи, полученное прн осесимметричном нагружении в координатах 2 3, следует использовать для расчета перемеще 1ии вдоль оси 1 вследствие поперечного сдвига. При решении задачи о кручении моментом, направленным вдоль оси 1, необходимо затем определить перемещения в плоскости 2 3. При совместном действии нагрузок в плоскости 2 3 и перпендикулярно ей задача кручения и плоская задача не разделяются. [c.193]

Условия (136) не исключают зависимости остальных напряжений и деформаций от переменной Хд, т. е., строго говоря, плоская задача является трехмерной, и ее решение связано со всеми трудностями, характерными для пространственных задач. Если пластина является достаточно тонкой, вводится дополнительное предположение о том, что напряжения и деформации незначительно изменяются по трлщине, т. е. что e j и (г, / = 1,2) зависят только от переменных Х2- Необходимо, однако, иметь в виду, что такое предположение является приближенным, так как при этом в общем случае невозможно удовлетворить всем уравнениям совместности деформации, которые сводятся к (132) и [c.44]

Выше отмечалось, что в случае неравномерного распределения по торцам нормальных сил сечения перестают быть плоскими (деплакируют). Однако на большей части длины стержня, за исклю чением частей, примыкающих к торцам, сечения практически остаются плоскими. Если к промежуточному поперечному сечению стержня приложена неравномерно распределенная нагрузка, сводящаяся к силе, действующей вдоль его оси, то заметные отклонения от плоской формы сечений наблюдаются и вблизи этого промежуточного сечения. Возмущения имеются в районах изменения сечений, в том числе — ослаблений. Однако при,сравнительно небольшом удалении от всех этих мест возмущений поперечные сечения стержня при деформации практически остаются плоскими. Поэтому можно принять упрощающую расчет гипотезу о том, что при растяжении или сжатии стержней поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и параллельными друг другу и после деформации. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений (гипотеза Мариотта — Бернулли) ). Применительно к телам, имеющим форму брусьев, в сопротивлении материалов она заменяет собой условия совместности деформаций, используемые при решении задачи о распределении напряжений в более точной науке — в теории упругости. Такая замена, естественно, приводит к искажению истинной картины распределения напряжений, ощутимому лишь в указанных выше областях. [c.97]

Этот вывод справедлив только для односвязных тел в плоских задачах, так как уравнения совместности, которые удовлетворяются при У ф = О, обеспечивают непрерывное поле перемещений только для одпосвязных тел. Для многосвязных тел (пластины с отверстиями) сделанный выше вывод, вообще говоря, не точен. Если же равнодействующая всех внешних сил, приложенных на контуре каждого отверстия, равна нулю или если такие силы приводятся к моменту, то напряжения не зависят от упругих констант (условие Леви) [8]. [c.229]

В оболочке возникает два вида напряженного состояния мембранное и изгибное. Мембранное напряженное состояние соответствует плоской задаче теории упругости. Для решения плоской задачи теории упругости наиболее распространены два типа прямоугольных конечных элементов элемент Мелоша [4 ] (поле перемещений задается в виде линейчатой поверхности) и элемент Клафа [5] (нормальные напряжения изменяются по линейному закону, касательные напряжения постоянны). Элемент Клафа не удовлетворяет условию совместности по перемещениям между соседними элементами, но соответствующее ему поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия. При использовании элемента Мелоша условие совместности перемещений между элементами удовлетворяется, но не удовлетворяется условие равновесия внутри элемента. [c.224]

Формулы (7.2) —(7.5) можно взять за основу при выводе жесткостных характеристик конечных элементов, оеуществт ляя при этом независимую аппроксимацию функций Uz, Х и 9у по их узловым значениям. Как следует из (7.1), совместность перемещений обеспечивается, если каждая из этих функций непрерывна на границах между элементами. Так же как и в случае плоской задачи теории упругости, выполнить это условие можно, например, с помощью изопараметрической формулировки конечных элементов. Следовательно, здесь открываются широкие возможности для введения конечных элементов произвольной формы, в том числе криволинейных. Но применение подобных элементов к расчету тонких пластин до последнего времени было ограниченным из-за чрезмерной жесткости элементов, которая обусловлена ложными деформациями поперечного сдвига и появляющимися при чистом изгибе пластины. В работе [38] показано, что и в случае изгиба пластин эффективным средством борьбы с ложными деформациями поперечного сдвига является использование минимально допустимого порядка интегрирования соответствующих членов при вычислении матрицы жесткости элемента. Несколько конечных элементов, полученных таким способом, представлено в следующем параграфе. Они могут успешно использоваться при расчете как тонких, так и сравнительно толстых пластин. [c.230]

При решении плоской задачи методом конечных элементов должны иыполняться условия совместности перемещений, условия равновесия и краевые условия. [c.65]

Т = + То21пр. Эти формулы вытекают также из решения осесимметричной плоской задачи термоупругости в напряжениях без привлечения условий однозначности, что объясняется понижением порядка уравнения совместности деформаций (4.2.39) в осесимметричном случае ( =0) (см. уравнение (4.2.45)) при подста-I (1Р [c.125]

К числу осесимметричных и плоских задач, для которых метод интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности дает при вышеуказанных предпосылках точные замкнутые решения, например, относятся пластическое равновесие толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений (А. Надаи [56]), сжатие бесконечной полосы между шероховатыми плитами при и = onst (Л. Прандтль [103]), сжатие клина (А. Надаи [56]), равновесие пластической массы, заполняющей форму конуса (В. В. Соколовский [91]), осадка без трения толстостенной трубы, замкнутой в матрицу (Л. Г. Степанский [94]) и др. [c.177]

Теоретической основой постановки экспериментальных исследований для многочисленных механизмов, работающих в масляной среде, является контактно-гидродинамическая теория смазки. Контактно-гидродинамический режим смазки является типичным для условий работы зубчатых и фрикционных передач, подшипников, катков и других механизмов. Основная задача теории заключается в определении контактных напряжений, геометрии смазочного слоя и температур при совместном рассмотрении уравнений, описывающих течение смазки, упругую деформацию тел и тепловые процессы, протекающие в смазке и твердых телах. Течение смазки в зазоре описывается уравнениями, характеризующими количество движения, сплошность, сохранение энергии и состояние. Деформация тел определяется основными уравнениями теории упругости. Температурные зависимости находятся из энергетического уравнения с использованием соответствующих краевых условий. Плоская контактно-гидродинамическая задача теории смазки решалась с учетом следующих допущений деформация ци-лидров рассматривалась как деформация полуплоскостей упругие деформации от поверхностного сдвига считались малыми для анализа течения смазки использовалось уравнение Рейнольдса при вязкости смазки, явля- [c.165]

Проблема совместного действия свободной и вынужденной конвекции в задачах внешнего тепло- и массопереноса привлекла к себе внимание уже свыше сорока лет тому назад. Известны тщательно поставленные опыты Карриера, опубликованные в 1918 г. [1]. Результаты этих опытов установили для горизонтальной плоской поверхности линейное влияние скорости вынужденного движения на интенсификацик> гравитационного переноса массы и тепла. Опыты Юргеса [2] и Франка [3] по теплообмену вертикальной плоской поверхности выявили в указанных условиях аналогичную закономерность до определенного-значения продольной скорости вынужденного потока. Основным и серьезным недостатком всех этих экспериментов с точки зрения возможности их обобщения является незначительный диапазон значений Аг(Ог). Положительной стороной является широкий диапазон изменения скорости движения жидкостей. В 1947—1948 гг. в ЦКТИ Д. Н. Ляховским были поставлены опыты по теплообмену шариков при совместном действии свободной и вынужденной конвекции в интервале значений 14 Ог - -,Л500 и 5 Ре 142. Результаты этих опытов даны в виде серии кривых Пи=/(Ог, Ре). [c.281]

Во многих случаях удовлетворение двух мембранных и двух изгйбных условий будет достаточно для практических целей, например для свободно опертых или защемленных краев, тогда как в других случаях, например при незакрепленных краях, гипотеза Кирхгофа — Лява для случая совместного действия. поперечных сил и крутящих моментов может быть использована для удовлетворения по крайней мере интегральных краевых условий с большим числом таких же, как и в случае плоских пластин, ограничений и приближений, которые уже обсуждались в 4.5 и 5.5. Удовлетворение интегральных краевых условий, т. е. условий, налагаемых на равнодействующие силы или моменты, а также перемещения одной поверхности, "такой, как срединная, было бы достаточно для задач, ограничивающихся тем, что было определено понятием тонкие оболочки, но если скажется необходимым удовлетворить в каждой точке поперечных сечений более полные условия, то в большей части задач для оболочек можно применить, достигая весьма высокую точность, вспомогательные методы и решения, которые обсуждались в связи с плоскими плайтинами. Более детальное обсуждение и примеры применения всего сказанного к цилиндрическим оболочкам будет дано в главе 7. [c.443]

Как уже было во многих других вопросах, чисто теоретический вклад в вопросы распространения взрывов, внесенный А. Югоньо и Ж. Адама-ром в течение некоторого времени не находил практического выхода в теории пластичности, хотя теория упругих волн интенсивно развивалась. Естественно, что первые успехи в этой области связаны с описанием распространения плоских волн в одномерном случае. Согласно решению, впервые данному X. А. Рахматулиным , при ударе по концу стержня в нем начинает распространяться волна нагружения, причем упругие деформации распространяются с постоянной скоростью упругих волн (скоростью звука), а пластические — с меньшей скоростью. На фронте упругой волны деформация и напряжение испытывают скачок от нуля до некоторой конечной величиныг . Вслед за волной нагружения в некоторый момент начинаетраснространятьсяволна разгрузки. На фронте волны должны выполняться кинематическое и динамическое условия совместности. Первое выражает непрерывность перемещения на фронте волн, второе — теорему о количестве движения для узкого слоя, прилегающего к фронту волны. Решение задачи получено X. А. Рахматулиным в рядах и Г. С. Шапиро с помощью метода характеристик. [c.269]

Так как не удается решить совместно гидродинамическую задачу о росте пузырька и нестационарную задачу теплопроводности, то можно поступить следующим образом. Считаем, что рост пузырька описывается формулой (6.6) или (6.8), (6.9) в зависимости от того, какое из неравенств (6.10), (6.11) выполняется. Температура жидкости, окружающей пузырек, усредняется по его высоте. Радиус пузырьков, полученный в таком приближении для тепловой модели, обозначим <г>. Рост пузырька в равномерно прогреваемой жидкости при заданной скорости повышения температуры происходил бы быстрее, т. е. <г>/г 1. Отношение <г>/г характеризует замедление роста пузырька из-за охлаждающего действия недогретой жидкости. Величина <г>/г определяется условиями обтекания пузырька. Если пузырек поднимает над собой .папку горячей жидкости, то (г>/г— 1. Минимальное значение этого отношения соответствует случаю, когда пузырек идеально раздвигает жидкость (изотермические поверхности остаются плоскими). Тогда [c.176]

Здесь и далее и = О в. 1 в плоском и осесимметричном случаях соответственно р, р н V - плотность, давление и модуль скорости а угол Маха У максимально допустимая величина у, нижний индекс приписывается параметрам в соответствуюгцей точке. Первое равенство из (1.1) вместе с условием совместности для с+-характеристик и интегралами энергии и энтропии позволяет (при выбранной точке Н на ас) построить характеристику НЬ, а из условия равенства расходов, нротекаюгцих через отрезки аН и кЬ, найти ее концевую точку Ь. Два произвола в выборе ас и точки Н используются для того, чтобы при Хь = X удовлетворить второму или третьему условию (1.1), которые определяют уь. Носле того как характеристика кЪ построена, контур сопла аЬ находится как выходягцая из а линия тока течения, которое определяется решением задачи Гурса с данными на характеристиках аН и НЬ. Не останавливаясь на дальнейших деталях, в частности на дополнительных условиях, имеюгцих вид неравенств, которые должны выполняться на /г6 и в точке Ь (во всех приводимых ниже примерах эти условия выполнялись), перейдем к результатам расчетов. [c.515]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...