Дифференциальные уравнения равновесия и совместности

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Методы конечных разностей. В этих методах, впервые указанных для расчета дисков А. Стодолой, дифференциальные уравнения равновесия и совместности заменяют уравнениями в конечных разностях. [c.595]

Дифференциальные уравнения равновесия и совместности 119 [c.119]

Приведенные выше системы уравнений можно объединить с целью получения альтернативных форм дифференциальных уравнений, точное решение которых будет удовлетворять и исходным уравнениям. Эти альтернативные формы называются соответственно дифференциальными уравнениями равновесия и совместности. [c.119]

Что касается дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций, а также контурных условий, то они остаются здесь прежними. [c.129]

Толстостенные трубы. Дифференциальные уравнения равновесия и совместности. Рассмотрим толстостенную трубу, на-гру кенную внутренним (или внешним) давлением (рис. 220). [c.318]

Вышеизложенные краткие сведения о существующих методах решения задач теории пластичности свидетельствуют о широких возможностях метода линий скольжения, метода совместного решения системы дифференциальных уравнений равновесия и условия пластичности и метода конечных элементов и дают основание использовать их при анализе напряженного состояния и несущей способности сварных соединений тонкостенных оболочек давления. [c.100]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению трех составляющих напряжений — Ох, (jy и т у, которые должны удовлетворять двум дифференциальным уравнениям равновесия и уравнению совместности при заданных граничных условиях. Если считать, [c.10]

На основании уравнений равновесия и совместности деформаций, а также закона Гука для двухосного напряженного состояния может быть получено дифференциальное уравнение круглой пластинки в области малых перемещений см. гл. 2 [4] [c.238]

Распределение напряжений по толщине заготовки можно найти из совместного решения дифференциальных уравнений равновесия и уравнения пластичности. В рассматриваемом случае, учитывая постоянство кривизны по всей длине изгибаемой заготовки (по углу), для анализа поля напряжений используем полярную систему координат с полюсом, совпадающим с центром кривизны заготовки в данный момент деформирования. При этом следует учесть, что при изгибе моментом, ввиду отсутствия перерезывающих сил, касательные напряжения Тдр отсутствуют и напряжения Од и Ор являются главными нормальными напряжениями. Уравнение равновесия (рис. 53) получит вид [c.117]

Решение двумерных задач при помощи функции напряжения. Как было показано в предыдущем пункте, решение двумерных задач теории упругости сводится к интегрированию системы уравнений, образованной дифференциальными уравнениями равновесия и уравнением совместности деформаций. Ограничиваясь случаем, когда на тело действует только сила тяжести, получим следующие уравнения [c.581]

Напряжения, получаемые в результате решений каждой составляющей задачи, будут удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям совместности Сен-Венана и физическим краевым условиям — контурной нагрузке. Однако этих условий недостаточно для определения однозначного решения в случае двухсвязной области. Дополнительными условиями однозначности являются условия (IV. 36), позволяющие определить постоянные Шо, К я Ь [c.309]

Распределение напряжений по толщине может быть найдено из совместного решения дифференциальных уравнений равновесия и уравнения пластичности. [c.82]

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи. [c.176]

Если напряжённое состояние тела является однородным, то ответ на поставленный вопрос очевиден поскольку напряжения не зависят от координат тела, то и деформированное состояние, согласно (2.13), тоже является однородным дифференциальные уравнения равновесия и условия совместности деформаций выполняются тождественно, и массовые силы должны отсутствовать. Таким образом, напряжённое состояние определяется только граничными условиями, т. е. только [c.115]

Докажите, что они удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и выведите соответствующие им уравнения совместности. [c.124]

Применение метода Галеркина из разд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выражениям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же формулировка рассматривается с других позиций, а именно строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля. Здесь рассматривается функционал Рейсснера (П ) [6.16], которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание. [c.194]

Для тех задач, в которых на всей граничной поверхности известны поверхностные силы (2.88), с помощью дифференциальных уравнений равновесия (2.85) и закона Гука (6.4) уравнения совместности деформаций выразим через напряжения [c.118]

Очевидно, что дифференциальные уравнения равновесия (4.3) и условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) будут удовлетворены, если в произвольной точке М (Xk) бруса принять [c.85]

Мы уже показали, что решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с условием совместности и граничными условиями. Начнем со случая, когда единственным видом объемных сил являются силы тяжести. Тогда должны удовлетворяться следующие уравнения [c.49]

Решение плоской задачи теории упругости в декартовых координатах сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений равновесия (4,2) и совместности де- [c.68]

Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений статики) найти шесть неизвестных функций не представляется возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряжения не могут быть найдены нз одних уравнений статики, называются статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения в сплошной среде (за исключением так называемых простейших задач, о которых говорится в главе IX) статически неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле приходится кроме уравнений статики использовать и так называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными условиями для функций, входящих в уравнения (5.59), являются (5.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра [c.411]

Вариационный принцип Кастильяно. Пусть и и е относятся к одному состоянию тела, т. е. известно решение (15.19) уравнений совместности деформаций Сен-Венана или, иначе, удовлетворены уравнения Коши, а вместо х, о и pv рассматриваются их вариации бх, бо и 6pv, которые считаем возможными, т. е. удовлетворяющими дифференциальными уравнениями равновесия в области и уравнениям равновесия элементарного тетраэдра на границе тела [c.520]

Тогда нагружение элементов тела, как показал А. А. Ильюшин [ ], будет простым. В самом деле, пусть при t= в теле будут напряжения а х,. .. и деформации. .. Другими словами, этими значениями удовлетворены дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, условия совместности Сен-Венана и соотношения теории упруго-пластических деформаций (13.27) при законе (15.2). [c.56]

Такие напряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии объемных сил и условию совместности деформаций и воспроизводят равномерное растяжение и изгиб в двух на- [c.166]

Дифференциальные уравнения равновесия для многослойной оболочки в случае совместного силового и температурного нагружения можно записать через перемещения следующим образом [c.106]

Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемеш ениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, то из уравнений совместности деформаций и дифференциальных уравнений равновесия при Fi = О следуют уравнения Бельтрами-Мичелла [c.36]

Распределение напряжений в плоской задаче теории упругости в случае односвязной области вполне определяется дифференциальными уравнениями равновесия, условиями на контуре и условиями совместности деформации. В случае многосвязной области должны также удовлетворяться условия однозначности перемещений миг [c.342]

Каждая из четырех составляющих задач имеет вполне определенные краевые условия, позволяющие получить однозначное решение. Результаты решения первой составляющей задачи будут выражены через заданную внешнюю нагрузку Р на внутреннем и внешнем контурах, а в трех остальных — через неизвестные постоянные хи о, К тл I. Каждое решение будет удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, условиям на контуре и условиям совместности деформаций. Однако решения составляющих задач, каждое в отдельности, не будут удовлетворять условиям однозначности перемещений. Для удовлетворения условий однозначности перемещений постоянные К я I требуется подчинить условию (IV. 37), [c.343]

Поскольку деформации являются линейными функциями координаты у, компоненты тензора деформаций (8.23) удовлетворяют условиям совместности деформаций, а компоненты тензора напряжений — дифференциальным уравнениям равновесия. В каждом сечении при чистом упругопластическом изгибе выполняются условия равенства между внешними и внутренними силами [c.188]

При выполнении условий (10.41) и (10.43) компоненты напряжений а .у удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.135) и граничным условиям на поверхности (1.11), а ком-поненты деформаций е .у — условиям совместности деформаций [c.273]

Для решения задач неустановившейся ползучести необходимо располагать определенной системой уравнений. Полная система уравнений неустановившейся ползучести состоит из дифференциальных уравнений равновесия (1.135) (уравнений статики), физических уравнений (14.57) (закона неустановившейся ползучести), а также геометрических уравнений (15.7) (уравнений совместности скоростей деформаций), к которым необходимо добавить граничные и начальные условия. В условиях неустановившейся ползучести заданы поверхностные силы на части поверхности [c.443]

Функция напряжений. Мы показали, что решение плоских задач, задач в двух измерениях, сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с уравнением совместности и условиями на контуре. [c.36]

Установим дифференциальные зависимости Коши, дифференциальные уравнения равновесия и уравнения совместности деформаций в рассматриваемой системе крнввлинейных координат. [c.367]

Очевидно, что уравнения равновесия и совместности деформаций удовлетворяются. Эти уравнения дифференциальные, а панря-жения и деформации но равенствам (40) и (41) — постоянные ве- [c.473]

Определение условий прогрессирующего разру-щения сплошного тела (как и родственная проблема предельного равновесия) требует решения неклассической вариационной задачи, включающей дифференциальные уравнения равновесия или совместности, ограничения на величины переменных (напряжений или приращений деформации), входящих в соответствующие уравнения, и подлежащий максимизации или минимизации критерий оптимальности (целевая функция), которым обычно является один из-параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляемости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10, [c.37]

Поскольку шесть компонентов деформациий и искривлений выражаются с помощью дифференциальных операций по криволинейным координатам через три компонента вектора перемещения w точки серединной поверхности, они должны удовлетворять уравнениям совместности деформаций. В общем случае уравнения совместности можно выразить только через силы Т и моменты М, но в случае (4.83) они будут содержать ещё одну функцию координат е ,. Таким образом дифференциальных уравнений равновесия и условий совместности деформаций будет недостаточно для определения сил Гц Гд, Т 2, моментов Лi , Мд, М12 и неизвестной функции е . Недостающим уравнением и будет конечное соотношение (4.70 ) между силами и моментами. В виду того, что это соотношение не дифференциальное и из него следует, что силы и моменты и даже их квадратичные формы Ql, Q , Q ограничены по величине, ясно, что при произвольных внешних силах равновесие оболочки невозможно. [c.181]

В первом случае задаются только видом аппроксимирующей функции прогиба ш, удовлетворяющей соответствуго-пдим граничным условиям, а функцию напряжений ср определяют интегрированием дифференциального уравнения совместности деформаций (6.19). Затем найденную функцию ф II выбранную функцию ю подставляют в уравнение равновесия и к нему уже применяют процедуру Бубнова — Галеркина, которая была описана выше. [c.201]

Выражения а через % можно рассматривать как решение однородных дифференциальных уравнений равновесия, поскольку прн по,дстановке этих выражений в однородные дифференциальные уравнения равновесия последние обращаются в тождества. Аналогично и формулы (уравнения) Кошн, в которых компоненты деформаций выражаются через составляющие перемещения, могут рассматриваться как решение дифференциальных уравнений совместности деформаций Сен-Венана (поскольку подстановка выражений для компонентов деформаций согласно формулам Коши в последние уравнения обращает их в тождества). [c.452]

Используя зависимости (1.3.2), уравнения совместности деформации (1.1.33) и дифференциальные уравнения равновесия (1.2.18), можно получить шесть дифференциальных уравнений (уравнения Белырами - Митчела) [19, 25, 32, 51] [c.39]

Предполагаем, что в пределе площадь грани ab стремится к нулю тогда уравнения (1.8) дают связь между напряжениями в точке О по косой площадке с внешней нормалью г и по трем площадкам, параллельным координатным плоскостям. Если мы вырезаем тетраэдр ОаЬс у поверхности и грань ab принадлежит поверхности, то Х , Y , Z являются составляющими напряжения от внешних сил (нагрузок данного тела), приложенных на поверхности. Тогда уравнения (1.8) дают связь между внешней нагрузкой и внутренними силами. В этом случае они называются условиями на поверхности тела и оказываются весьма тесно связанными с дифференциальными уравнениями равновесия (1.5) действительно, если функции (1.7) таковы, что уравнения (1.5) и условия на поверхности (1.8) удовлетворены во всех точках тела и на его поверхности, то этим обеспечено равновесие всех элементов (параллелепипедов и тетраэдров), на которые было разбито данное тело значит, будет обеспечено равновесие всего тела в целом. Математический смысл этого заключения состоит в том, что уравнения (1.5) и граничные условия (1.8) необходимо рассматривать совместно, ибо уравнения (1.5) не могут иметь определенного смысла, пока не даны условия (1.8), заключающие в себе внешнюю нагрузку тела. [c.23]