Уравнение в частных производных типа Гиперболического

Представленные в виде (7.23) и (7.24) результаты относятся к квазилинейному уравнению в частных производных (7.19), если оно принадлежит к гиперболическому типу. Соотношения (7.23) и [c.236]

В этом параграфе изложены основные идеи разностной схемы, которая была разработана С. К. Годуновым для расчета одномерных нестационарных задач газовой динамики, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа. Обобщение метода на случай двумерных и пространственных стационарных сверхзвуковых течений дано в 6.3. Метод Годунова и его обобщения позволили рассчитать широкий класс внешних, внутренних и струйных задач газовой динамики, как [c.162]

Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений представляют линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеаризованной постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение газа дозвуковым (Моо < 1) или сверхзвуковым (М > 1), уравнения (16) и (17) будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу. В первом случае (Моо < 1) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (Мсо >1) переписать в виде [c.215]

Рассмотрим метод Фурье [139] применительно к нелинейным уравнениям в частных производных гиперболического типа,, близким к линейным. Он в сочетании с методом усреднения позволяет во многих случаях исследовать колебательные процессы в системах с распределенными параметрами. [c.159]

Уравнения малых колебаний струны, продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала относятся к одному классу уравнений в частных производных - к уравнениям гиперболического типа. В монографиях и учебниках, посвященных уравнениям математической физики, приводятся уравнения, не учитывающие сосредоточенные массы и сосредоточенные силы. В основном рассматриваются волновые уравнения или уравнения, когда действующие на струну, стержень или вал силы распределены по всей длине. В примерах на рис. 7.1—7.7 показано, что реальные задачи могут быть существенно сложнее не только классических задач, которые приводятся в математической литературе, но и тех, которые обычно рассматриваются в монографиях, посвященных теории колебаний. Эти уравнения, которые приводятся без вывода для наиболее общих случаев, имеют следующий вид (с учетом сил вязкого трения). [c.311]

Уравнения Сен-Венана представляют собой систе му нелинейных с переменными коэффициентами дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и относятся к разделу математической физики. Справедливость их подтверждена многочисленными наблю- [c.232]

Объединив это уравнение с соотношениями (7), (8), получим квазилинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с независимыми переменными t, X. Нетрудно показать, что при выполнении определенных ограничений, наложенных на полиномиальные разложения в (7) и (8), эта система уравнений есть система гиперболического типа. [c.154]

Ясно, что случаям дозвукового течения (М<1), звукового течения (М = 1) и сверхзвукового течения (М > 1) отвечают уравнения в частных производных соответственно эллиптического, параболического и гиперболического типов ). Это простое замечание уже указывает на то, что краевая задача корректно поставлена лишь в дозвуковом случае. [c.34]

Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, на самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой невязкой жидкости или любой вязкой жидкости. Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных. [c.180]

Франкль Ф. И. и Алексеева Р. И. Две граничные задачи из теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с применениями к течениям газа со сверхзвуковой скоростью. Математический сборник, 1934, т. 41. стр. 483—499. [c.92]

Определим, к какому типу — эллиптическому, параболическому или гиперболическому— относится это уравнение в случае, когда скорость движения газа во всех точках потока больше скорости распространения звука. Записывая дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем виде [c.402]

Если дискриминант уравнения (37.68е) равен нулю, то две системы характеристик сливаются в одно семейство кривых, когда же он отрицателен, то действительных характеристик не существует вовсе. Три соответствующих типа дифференциальных уравнений в частных производных, как известно, называются гиперболическим, параболическим и эллиптическим 2). Само собой разумеется, что характер дифференциального уравнения в частных производных общего вида (37.68) в различных областях поля координат может изменяться, а уравнение может быть гиперболическим в одной области и параболическим или эллиптическим в примыкающих областях и т. д. [c.624]

В противоположность поведению интегралов дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа [первое из уравнений (37.54)] интегралы гиперболических уравнений, имеющие различные аналитические выражения через две независимые переменные, могут склеиваться друг с другом вдоль характеристических кривых в плоскости х, у. Таким образом, интегральная функция, удовлетворяющая некоторым заданным граничным условиям вдоль кривой, может быть продолжена за пределы области, в которой она имеет силу, в соседнюю область, в которой может использоваться другая интегральная функция, и этот процесс [c.625]

Однако уравнения (15.38) позволяют нам теперь расщепить нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа (уравнение (15.37)) на три отдель-ных уравнения. Для этого заметим, что скобки в левой части уравнения (15.37) представляют собой величины (сТг — Ti) и 4т , которые можно выразить при помощи соотношений (15.38). [c.546]

Основу принципа максимума для данных задач составляют функции zг Ь, х), играющие здесь роль вектора "ф и удовлетворяющие системе уравнений в частных производных, канонически сопряженной с исходной системой. Аналогичные результаты получены и для управляемых процессов, описываемых краевыми задачами для уравнений эллиптического типа, задачей Гурса для системы гиперболических уравнений, а также подобными задачами для уравнений первого порядка. Здесь минимизируемыми функционалами также являлись в большинстве случаев интегральные выражения. [c.238]

Другое предположение состоит в том, чтобы преобразовать уравнение Лапласа в дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа, для которого потенциал в произвольной точке пространства может быть выражен в виде интеграла [350]. Решение первоначальной задачи также может быть найдено в виде конечного ряда Фурье — Бесселя [351]. Однако эти методы на практике обычно не используются. Магнитное поле без ферромагнитных материалов может быть легко реконструировано катушками с переменным числом витков [16]. [c.533]

В дальнейших рассуждениях мы не будем стремиться к матема-тической строгости, ограничившись ссылкой на уже упоминавшиеся книги по теории дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и ее приложениям к газовой динамике [5,9]. [c.162]

Как известно (например, [55]), существенное отличие нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа от линейных проявляется, помимо прочего, в том, что непрерывное решение задачи Коши для нелинейного уравнения существует, вообще говоря, лишь в достаточно малой окрестности начального многообразия. Это связано с тем, что заранее неизвестные характеристики нелинейного уравнения, выстраиваемые в процессе решения задачи Коши, могут пересекаться (даже при весьма гладких начальных функциях) и, следовательно, образовывать складки в решении на конечном расстоянии от начального многообразия (рис. 9.1). [c.252]

Система уравнений (56) представляет собой систему уравнений в частных производных гиперболического типа, т. е. обладает тремя действительными семействами характеристик, проходящих [c.135]

Разнообразны методы решения уравнений в частных производных, описывающих течения газа в соплах. Сложность задачи состоит пе только в большом числе таких уравнений, необходимых для описания неравновесных процессов, но и в том, что тип их различен в различных областях сонла. В случае стационарного течения в дозвуковой области соответствующая система уравнений в частных производных является эллиптической, в трансзвуковой — параболической, в сверхзвуковой — гиперболической. Таким образом, нри изучении течений в соплах приходится иметь дело с различными областями современной физики, а при решении уравнений, описывающих течение,— с основными типами уравнений математической физики. Отмеченные обстоятельства привели к тому, что сформировалась по существу самостоятельная ветвь газовой динамики — физическая газовая динамика внутренних течений. [c.7]

Построение аналитических и даже численных решений системы (1.18) — (1.21) связано со значительными трудностями ввиду сложности физико-химических процессов и того, что в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие важные качественные закономерности. В связи с этим в настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей движения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория простой волны или течения Прандтля — Мейера. [c.40]

Тема этой статьи охватывает весьма значительную часть общей теории существования решений для линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Действительно, в задачах стационарной теории упругости, теории распространения волн в упругих средах, термодинамики сплошных сред необходимы теоремы существования для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений, как линейных, так и нелинейных. Если даже ограничиться линейными задачами теории упругости, то и тогда надо рассматривать несколько разных типов дифференциальных уравнений. [c.7]

Как известно, переходные процессы в электрических и гидравлических линиях с распределенными параметрами описываются аналогичными дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа, которые получили название телеграфных . В связи с этим, для определения частотных характеристик гидравлических (пневматических) линий целесообразно использовать хорошо разработанные в теоретической электротехнике методы исследования стационарных процессов в длинных линиях электропередачи на переменном токе [3, 25, 42, 44, 51, 92, 120] или теорию пассивного четырехполюсника. [c.311]

Математики обычно довольствуются классификацией (линейных) дифференциальных уравнений в частных производных по следующим типам параболические, эллиптические или гиперболические. При такой классификации не делается различия между уравнением (2.5) переноса вихря и уравнением диффузии дуд ад%1дх , однако, как мы увидим ниже, наличие в уравнении (2.5) производной первого порядка (конвективного члена) делает его качественно отличным от уравнения диффузии, причем при численном рещении конвективный член играет важную роль. К сожалению, для двух указанных членов наиболее эффективными могут оказаться различные численные схемы. [c.32]

Гидродинамика особенно изобилует нелинейностями (Эймс 1965]), как это хорошо знает каждый изучающий ее студент. Она также изобилует уравнениями в частных производных смешанного, гиперболического и эллиптического типов, математическими особенностями различных видов, задачами с граничными условиями на бесконечности, В прошлом гидродинамика в значительной мере стимулировала развитие теории уравнений в частных производных, теории функций комплексного переменного, векторного и тензорного анализа, нелинейных математических методов. Не удивительно поэтому, что в настоящее время гидродинамика, с одной стороны, извлекает большую выгоду из применения численных конечно-разностных методов исследования, а с другой стороны, вносит значительный вклад в их развитие. [c.13]

Если В —АС>0, то уравнение характеристик имеет два решения, и основное уравнение (IX.14) называется в этом случае дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа. Если В —АС<0, то уравнение характеристик не имеет ни одного вещественного корня, а основное уравнение эллиптического типа. Если В —АС = 0, то уравнение характеристик имеет одно решение. Основное уравнение (IX.14) в этом случае называется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. В нашем случае в уравнении (1Х.13) Л = —1, B = tg20, С = 1, тогда [c.114]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

В настоящее время теории оболочек типа Тимошенко стали основными при решении ряда прикладных задач прочности и динамики оболочечных конструкций. Под теорией оболочек типа Тимошенко будем понимать теории, которые приводят в общем случае (без учета обжатия по толщине) к решению гиперболических дифффенциальных уравнений в частных производных десятого порядка. Число публикаций по данной проблеме чрезвычайно велико и достаточно полные сведения можно почерпнуть из работ обзорного характера [ 1.2, 1.6, 1.8, 1.13]. Отметим лишь некоторые ключевые и более поздние не отраженные в обзорах работы. [c.7]

Изложение единой методики, примененной к самому общему виду нелинейного уравнения в частных производных гиперболического типа, близкого к линейному, вызывает ряд существенных трудностей и громоздкие выкладки, поэтому нроиллюс риру- м ее на некоторых конкретных уравнениях в частных производных. [c.160]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Внося эти новые переменные в диференциальное уравнение (8а), получаем упомянутое уравнение в частных производных для Ф, причем ока- зываетсн, что полученное таким путем уравнение имеет эллиптический 1ИП, если чи) <С.с, я гиперболический тип, если w > . [c.121]

В отличие от исходного, это есть линейное уравнение в частных производных, с постоянными коэффициентами. В случае дозвукового пото1 а это уравнение относится к так называемому эллиптическому типу уравнений в частных производных в случае сверхзвукового —к гиперболическому К эллиптическому же [c.361]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Следует заметить, что в плоскостях поперечных сечений скручиваемого стержня границы между упругими и пластическими областями пересекают следы горизонталей / =соп81 функции напряжений пластического кручения внутри этого сечения (исключая случай кругового сечения). Эти последние кривые составляют одно семейство характеристик уравнения в частных производных гиперболического типа (35.15) для функции напряжений Р при пластическом кручении ). Мы можем заключить, что в общем случае, в телах с частичной пластической деформацией, граничные липип между упругой [c.568]

Согласно Р. Мпзесу ), составляющие перемещений для плоской пластической деформацпи при неоднородном напряженном состоянии можно определить прп помощи функции тока ф (подобно тому, как это было показано в случае однородного напряженного состояния для составляющих и , Му в прямоугольной системе координат). Функция тока должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа [c.625]

Методы получения решений, удовлетворяющих граничным условиям, требуемым в практических приложениях, основаны на принципе Римана, согласно которому для класса уравнений в частных производных гиперболического типа интегралы, имеющие различную аналитическую форму, могут гладко сопрягаться вдоль определенных линий скольжения, т. е. вдоль той или иной из характеристических кривых данной системы дифференциальных уравнений (см. т. 1, стр. 625). Раньше внимание концентрировалось на вопросе о том, какую форму следует припи- [c.556]

Мы ограничимся здесь простейшей иллюстрацией, показывающей возможность распространения метода осреднения на уравнения в частных производных. Следуя изложению 3. Ф. Сирченко и Лекций Ю. А. Митропольского, возьмем уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами вида [c.129]

Другой подход к решению вариационных задач газовой динамики был предложен Т. К Сиразетдиновым. Этот подход дает возможность решать задачи при произвольных ограничениях, накладываемых на на поверхность обтекаемого тела, и состоит в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, описывающих течение, используются в качестве связей между функциями в области влияния. При составлении функционала Лагранжа для задачи на безусловный экстремум эти. уравнения учитываются при помощи переменных множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума для такой задачи в общем случае представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на замкнутой поверхности, ограничивающей область влияния. При сверхзвуковых скоростях эта система, включающая уравнения для множителей Лагранжа, имеет гиперболический тип. [c.243]

Ф. И. Франкль (1944, 1945) обнаружил непосредственную связь плоских задач трансзвуковой аэродинамики с исследованиями итальянского математика Ф. Трикоми по теории линейных уравнений в частных производных второго порядка смешанного эллиптико-гиперболического типа. Франкль выяснил, что в окрестности скорости, равной скорости звука, уравнение Чаплыгина для функции тока в главном члене совпадает с уравнением Трикоми, что было положено в дальнейшем в основу многих важных исследований в СССР и за границей. [c.101]

При дозвуковом течении, так же как и в потоке несжимаемой жидкости, возмущение давления, плотности, температуры и др. в любой точке потока зависит от формь контура в целом. Изменения в форме контура вблизи какой-нибудь точки профиля отражаются на распределении давлений и других параметров во всем потоке-, таково основное свойство дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа (18). Пр( л1шеарнзованном сверхзвуковом течении изменение формы профиля вблизи одной его точки отражается на величине возмущения параметров только вдоль той линии возмущения, которая проходит через эту точку, во всем же остальном потоке такое местное изменение формы профиля не вызовет искажений в распреде-ленин возмущений. Такова особенность гиперболического (волнового) уравнения (31). [c.289]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

Определить характер поведения произвольного возмущения (сносится ли возмущение в каком-то направлении по х либо расширяется, захватывая новые области в -Ьх- и —ж-направлепиях), не анализируя конкретных решений типа (7.1), а используя лишь дисперсионное уравнение системы — в общем случае задача весьма трудная. Однако для широкого класса распределенных систем, а именно систем, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа, это можно сделать сравнительно просто (заметим, что гиперболическими уравнениями описываются и колебания в системе связанных маятников (см. рис. 7.2 и 7.3), и невязкий гравитирующий газ, и многие другие очень важные системы). Для таких систем поставленная задача решается просто — нужно лишь определить па плоскости х1 границы области [c.160]

Давыдова А. М. Достаточное условие отсутствия лакуны для дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа.— М. .МСУ, 1945.- 43.,с. . . [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...