Гиперболические уравнения в частных производных

Компоненты скорости м, v, w здесь предполагаются непрерывными функциями координат X, у, г. Из теории гиперболических уравнений в частных производных, к которым сводятся задачи пластичности, хорошо известно, что при заданном распределении напряжений может возникнуть слоистое пластическое течение, характеризуемое разрывными функциями и, v, w. Например, при простом растяжении или сжатии стержня в нем могут образоваться один, два или более пластических слоев, которые могут пересекать друг друга. Такие случаи не сопоставимы по затрачиваемой работе в смысле сформулированного выше принципа и нуждаются в дополнительных исследованиях. [c.167]

Указанные обстоятельства служат оправданием тому, что различные решения гиперболического уравнения в частных производных (3-20) будут выражаться в дальнейшем через функцню /( , т]). [c.57]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.124]

Гиперболические уравнения в частных производных 124 Гиперповерхность 138 Глобальный оптимум 141 Градиентные методы 168 [c.231]

Пользуясь терминологией гиперболических уравнений в частных производных, к которым принадлежит (1.1), мы скажем, что это уравнение обладает двумя вещественными характеристиками в плоскости (х, t) [c.10]

Построение аналитических и даже численных решений системы (1.18) — (1.21) связано со значительными трудностями ввиду сложности физико-химических процессов и того, что в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие важные качественные закономерности. В связи с этим в настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей движения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория простой волны или течения Прандтля — Мейера. [c.40]

Тем не менее можно выделить два основных класса волн. Первый класс описывается математически (гиперболическими уравнениями в частных производных) водны этого класса будут называться гиперболическими. Второй класс столь просто характеризовать нельзя, но, поскольку простейшими его представителями являются диспергирующие волны в линейных задачах, мы будем называть все волны этого класса диспергирующими и лишь постепенно разовьем более полное его описание. Наше деление на классы не является исчерпывающим. С одной стороны, эти классы пересекаются, так как в некоторых волновых движениях проявляются оба типа поведения, а с другой существуют исключения, не соответствующие ни одному из них. [c.9]

Если на границе тела заданы напряжения, то определение напряжений во всех точках тела связано с интегрированием гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (IX.11) при известных граничных условиях. Обычно эти уравнения решаются приближенными методами построения полей линий скольжения. Иногда удается построить решение краевой задачи, основываясь только на свойствах линий скольжения. [c.116]

Представленные в виде (7.23) и (7.24) результаты относятся к квазилинейному уравнению в частных производных (7.19), если оно принадлежит к гиперболическому типу. Соотношения (7.23) и [c.236]

В этом параграфе изложены основные идеи разностной схемы, которая была разработана С. К. Годуновым для расчета одномерных нестационарных задач газовой динамики, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа. Обобщение метода на случай двумерных и пространственных стационарных сверхзвуковых течений дано в 6.3. Метод Годунова и его обобщения позволили рассчитать широкий класс внешних, внутренних и струйных задач газовой динамики, как [c.162]

Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений представляют линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеаризованной постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение газа дозвуковым (Моо < 1) или сверхзвуковым (М > 1), уравнения (16) и (17) будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу. В первом случае (Моо < 1) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (Мсо >1) переписать в виде [c.215]

Рассмотрим метод Фурье [139] применительно к нелинейным уравнениям в частных производных гиперболического типа,, близким к линейным. Он в сочетании с методом усреднения позволяет во многих случаях исследовать колебательные процессы в системах с распределенными параметрами. [c.159]

Хорошо известен метод представления решений линейных гиперболических систем уравнений в частных производных в виде рядов [ 1 [c.332]

Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. — М. ГИТТЛ, 1957. [c.544]

Уравнения малых колебаний струны, продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала относятся к одному классу уравнений в частных производных - к уравнениям гиперболического типа. В монографиях и учебниках, посвященных уравнениям математической физики, приводятся уравнения, не учитывающие сосредоточенные массы и сосредоточенные силы. В основном рассматриваются волновые уравнения или уравнения, когда действующие на струну, стержень или вал силы распределены по всей длине. В примерах на рис. 7.1—7.7 показано, что реальные задачи могут быть существенно сложнее не только классических задач, которые приводятся в математической литературе, но и тех, которые обычно рассматриваются в монографиях, посвященных теории колебаний. Эти уравнения, которые приводятся без вывода для наиболее общих случаев, имеют следующий вид (с учетом сил вязкого трения). [c.311]

Уравнения Сен-Венана представляют собой систе му нелинейных с переменными коэффициентами дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и относятся к разделу математической физики. Справедливость их подтверждена многочисленными наблю- [c.232]

Существуют два основных подхода к рассмотрению временных эффектов. Один из них заключается в том, чтобы учитывать время явно, таким же образом, как и пространственные координаты, и производить численное интегрирование по отрезку времени так же, как и по геометрической границе тела. Такой метод применялся в работе [1]. Другой подход, более широко используемый в методе ГИУ, состоит в исключении времени из числа независимых переменных путем применения преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям в частных производных и граничным условиям. (Обсуждению такого подхода посвящается эта статья.) Этим способом параболические и гиперболические дифференциальные уравнения, как правило, могут быть сведены к более удобным эллиптическим уравнениям, которые решаются в пространстве преобразований методом ГИУ для [c.30]

Объединив это уравнение с соотношениями (7), (8), получим квазилинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с независимыми переменными t, X. Нетрудно показать, что при выполнении определенных ограничений, наложенных на полиномиальные разложения в (7) и (8), эта система уравнений есть система гиперболического типа. [c.154]

Уравнения (1) представляют для четырех функций о, а, о и иу замкнутую систему квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Эти уравнения имеют два семейства характеристик т] в плоскости хуЩ [c.106]

Ясно, что случаям дозвукового течения (М<1), звукового течения (М = 1) и сверхзвукового течения (М > 1) отвечают уравнения в частных производных соответственно эллиптического, параболического и гиперболического типов ). Это простое замечание уже указывает на то, что краевая задача корректно поставлена лишь в дозвуковом случае. [c.34]

Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, на самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой невязкой жидкости или любой вязкой жидкости. Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных. [c.180]

Франкль Ф. И. и Алексеева Р. И. Две граничные задачи из теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с применениями к течениям газа со сверхзвуковой скоростью. Математический сборник, 1934, т. 41. стр. 483—499. [c.92]

Определим, к какому типу — эллиптическому, параболическому или гиперболическому— относится это уравнение в случае, когда скорость движения газа во всех точках потока больше скорости распространения звука. Записывая дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем виде [c.402]

Если дискриминант уравнения (37.68е) равен нулю, то две системы характеристик сливаются в одно семейство кривых, когда же он отрицателен, то действительных характеристик не существует вовсе. Три соответствующих типа дифференциальных уравнений в частных производных, как известно, называются гиперболическим, параболическим и эллиптическим 2). Само собой разумеется, что характер дифференциального уравнения в частных производных общего вида (37.68) в различных областях поля координат может изменяться, а уравнение может быть гиперболическим в одной области и параболическим или эллиптическим в примыкающих областях и т. д. [c.624]

В противоположность поведению интегралов дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа [первое из уравнений (37.54)] интегралы гиперболических уравнений, имеющие различные аналитические выражения через две независимые переменные, могут склеиваться друг с другом вдоль характеристических кривых в плоскости х, у. Таким образом, интегральная функция, удовлетворяющая некоторым заданным граничным условиям вдоль кривой, может быть продолжена за пределы области, в которой она имеет силу, в соседнюю область, в которой может использоваться другая интегральная функция, и этот процесс [c.625]

Однако уравнения (15.38) позволяют нам теперь расщепить нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа (уравнение (15.37)) на три отдель-ных уравнения. Для этого заметим, что скобки в левой части уравнения (15.37) представляют собой величины (сТг — Ti) и 4т , которые можно выразить при помощи соотношений (15.38). [c.546]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Вероятно, наибилее часто встречающимся в инженерной практике видом гиперболического уравнения в частных производных является волновое уравнение, которое описывает различные виды колебаний — колебания струны или мембраны, распространение звуковых волн в жидкости и т. п. В общем виде это уравнение записывается следующим образом [c.124]

Исторически первым результатом, основанным на теории монодромии, является теорема Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов в 4.1 мы доказываем многомерные обобщения этой теоремы и приводим несколько новых формул Пикара—Лефшеца, естественно возникающих в этой задаче. 4.2 посвящен теории лакун Петровского, изучающей регулярнбсть фундаментальных решений гиперболических уравнений в частных производных вблизи волновых фронтов. Помимо прочего, здесь мы доказываем обращение локального критерия Петровского для гиперболических операторов общего положения. [c.9]

Если В —АС>0, то уравнение характеристик имеет два решения, и основное уравнение (IX.14) называется в этом случае дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа. Если В —АС<0, то уравнение характеристик не имеет ни одного вещественного корня, а основное уравнение эллиптического типа. Если В —АС = 0, то уравнение характеристик имеет одно решение. Основное уравнение (IX.14) в этом случае называется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. В нашем случае в уравнении (1Х.13) Л = —1, B = tg20, С = 1, тогда [c.114]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Уравнения (3.72), (3.76) и (3.84) образуют систему гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, которыми являются осевая координата х и время Решение этой системы находится путем интегрирования. Функцию можно проинтегрировать на некотором интервале, если она непрерывна на этом интервале. Метод характеристик позволяет проинтегрировать известные непрерывные функции, вид которых типичен для рассматриваемой системы уравнений. Поэтому метод характеристик представляет собой, по существу, строгую математическую процедуру замены квазилинейных неоднородных уравнений в частных производных системой общих дифференциальных уравнений, обычно называемых совместными уравнениями, которые справедливы и интегрируемы на поверхностях, называемых характеристиками или характеристическими поверхностями. Мы дали в какой-то степени упрощенное описание этой процедуры более строгое математическое описание можно найти в классической монографии Куранта и Фридрихса [50] или в содержательной работе Цукроу и Хофмана [41]. [c.340]

В настоящее время теории оболочек типа Тимошенко стали основными при решении ряда прикладных задач прочности и динамики оболочечных конструкций. Под теорией оболочек типа Тимошенко будем понимать теории, которые приводят в общем случае (без учета обжатия по толщине) к решению гиперболических дифффенциальных уравнений в частных производных десятого порядка. Число публикаций по данной проблеме чрезвычайно велико и достаточно полные сведения можно почерпнуть из работ обзорного характера [ 1.2, 1.6, 1.8, 1.13]. Отметим лишь некоторые ключевые и более поздние не отраженные в обзорах работы. [c.7]

В заключение следует указать, что возможности использования произвола, содержащегося в общем решении уравнений безмомент-ной теории, зависят от формы оболочки. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, к решению которых сводится определение усилий и смещений в безмоментных оболочках, принадлежат к разным классам для оболочек положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизны, а именно они являются эллиптическими для первых, гиперболическими для вторых и параболическими для третьих оболочек. Это вносит специфику в постановку граничных условий в каждом частном случае, что будет показано на примерах ниже. [c.89]

Изложение единой методики, примененной к самому общему виду нелинейного уравнения в частных производных гиперболического типа, близкого к линейному, вызывает ряд существенных трудностей и громоздкие выкладки, поэтому нроиллюс риру- м ее на некоторых конкретных уравнениях в частных производных. [c.160]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Внося эти новые переменные в диференциальное уравнение (8а), получаем упомянутое уравнение в частных производных для Ф, причем ока- зываетсн, что полученное таким путем уравнение имеет эллиптический 1ИП, если чи) <С.с, я гиперболический тип, если w > . [c.121]

В отличие от исходного, это есть линейное уравнение в частных производных, с постоянными коэффициентами. В случае дозвукового пото1 а это уравнение относится к так называемому эллиптическому типу уравнений в частных производных в случае сверхзвукового —к гиперболическому К эллиптическому же [c.361]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Следует заметить, что в плоскостях поперечных сечений скручиваемого стержня границы между упругими и пластическими областями пересекают следы горизонталей / =соп81 функции напряжений пластического кручения внутри этого сечения (исключая случай кругового сечения). Эти последние кривые составляют одно семейство характеристик уравнения в частных производных гиперболического типа (35.15) для функции напряжений Р при пластическом кручении ). Мы можем заключить, что в общем случае, в телах с частичной пластической деформацией, граничные липип между упругой [c.568]

Согласно Р. Мпзесу ), составляющие перемещений для плоской пластической деформацпи при неоднородном напряженном состоянии можно определить прп помощи функции тока ф (подобно тому, как это было показано в случае однородного напряженного состояния для составляющих и , Му в прямоугольной системе координат). Функция тока должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа [c.625]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...