Эйлера достаточное условие

Имеем функционал, для которого пределы интегрирования, а также начальная и конечная точки фиксированы. Необходимое и достаточное условие экстремальности есть уравнение Эйлера относительно функции [c.602]

Замечание. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация bW, где интеграл W имеет вид (1). В вариационном исчислении уравне-Hi/я (2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для вариационной задачи [c.107]

Функция F (р), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области, причем это определение предполагает однозначность функции F р) в области D, так как понятие производной определено только для однозначных функций. Необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции F р) являются условия Даламбера—Эйлера 158] [c.176]

Устойчивость вариационных критериев. Достаточные условия минимума. Удовлетворение уравнению Эйлера является лишь необходимым условием того,, чтобы закон движения сообщал минимум исходному функционалу и выбранному критерию оптимальности [48]. Строго гово- [c.76]

Таким образом, при заданных одинаковых граничных условиях тождественность критериев Струхаля и Рейнольдса составляет необходимое и достаточное условие подобия потоков в гидропередачах. Тождественность критерия Эйлера является не предпосылкой, а следствием подобия процессов, определяющегося критериями Струхаля и Рейнольдса. [c.15]

Так как уравнения Эйлера и естественные граничные условия являются необходимыми и достаточными условиями стационарности (гл. 1), то общую вариационную теорему можно сформулировать и как [c.31]

Равенство (5.3), являющееся необходимым и достаточным условием сохранения массы в каждом движущемся объеме, носит название уравнения неразрывности в форме Эйлера. Воспользовавшись формулой (3.6), мы можем записать уравнение неразрывности в другом виде [c.18]

В соответствии с принятым нами соглашением мы обозначаем через / также такую функцию от х и i, которая в точке X, (X, i) равна f(X) таким образом, необходимым и достаточным условием для того, чтобы геометрическое место точек / = О было материальной поверхностью, является условие (11), где теперь операция, указанная точкой, понимается в соответствии с (3)i. Поэтому при пространственном описании это условие превращается в условие Эйлера [c.95]

Дифференциальное уравнение, которое связано с вариационным принципом, известно как уравнение Эйлера — Лагранжа. Оно является необходимым, реже — достаточным условием, которому должна удовлетворять функция, максимизирующая или минимизирующая определенный интеграл. В простейшей задаче вариационного исчисления требуется найти минимум интеграла [c.34]

Если учащиеся достаточно хорошо прочувствовали, что такое гибкость, то, пользуясь условием применимости формулы Эйлера в виде [c.196]

Это требование к разностной схеме называют условием сходимости. Для сходимости разностной схемы необходимо и достаточно выполнения двух других условий — аппроксимации и устойчивости, которые будут пояснены ниже на примере схем Эйлера. [c.28]

Критерий Рейнольдса, называемый также критерием гидродинамического подобия, представляет собой условие, необходимое и достаточное для утверждения полного механического подобия движения двух подобных жидкостей, заключенных в геометрически подобные контуры и подверженных действию подобных между собой внешних влияний. Критерий Эйлера характеризует 614 [c.614]

Здесь kf (ж) — функциональные множители Лагранжа. Для определения п искомых функций у1 = у1 (д ) и k функций kj — kj (х) достаточно системы п уравнений Эйлера (вместе с заданными граничными условиями) для вспомогательного функционала F и k условий связи (П.25). [c.307]

В зависимости Ей = / (Ке) последнему условию не отвечает критерий Эйлера. Наряду с Ар и р он содержит квадрат средней скорости. Для того чтобы исключить VI, не внося ничего, кроме физических свойств и определяющего размера, достаточно умножить Ей на Ке . Тогда [c.271]

При исследовании возможности разрушения какой-либо машины или конструкции важно рассмотреть все вероятные виды разрушения, чтобы определить, какой из них наиболее опасен в тех или иных условиях эксплуатации. Расчет и исследование поведения стержней не представляют исключения. Возможность применения формулы Эйлера для критической нагрузки ограничена условиями упругого поведения материала. Если стержень достаточно короткий и жесткий, критическая нагрузка может превышать по величине нагрузку, при которой начинается текучесть в процессе сжатия. Это означает, что наиболее опасным видом разрушения является текучесть и что формула Эйлера в этом случае неприменима. [c.557]

Необходимым и достаточным признаком дифференцируемости функции w(z) в точке (П3.10) является выполнение в этой точке условия ЖД Аламбера-Л.Эйлера [c.289]

Обычно уравнения Эйлера приближенно примени.мы в условиях стационарного течения, когда р7 <1, но для этого не достаточно, чтобы v было мало. Это выразительно показано на фотографиях реальных следов. В частности, основной переменной, определяющей поведение реального следа, является безразмерное число Рейнольдса Re = vd/, определенное в 21. При этом дело сводится к выяснению природы реальных следов при Re >1. [c.111]

В случае жидких струй в воздухе и кавитационных течений это удается успешно выполнить, по крайней мере для простейших задач, если скорость достаточно велика, чтобы можно было пренебречь силами тяжести, а силы вязкости учитывать только в пограничном слое. В этих случаях с достаточной точностью применимы уравнения Эйлера для невязкой жидкости (п. 8), а для определения свободной границы течения можно воспользоваться условием постоянства давления на границе раздела. Таким образом, в случае жидких струй в воздухе мы будем пользоваться потенциальной теорией (п. 8) и будем предполагать, что [c.13]

Из стационарности функционала на собственных функциях однородной задачи, вообще говоря, не следует, что любая функция, на которой этот функционал стационарен, будет собственной функцией задачи стационарность функционала является лишь необходимым условием. Можно, однако, показать, что полученные выше функционалы обладают и свойством достаточности, или, что то же самое, что дифференциальное уравнение однородной задачи является для этих функционалов уравнением Эйлера. Это доказательство мы приведем в 17 для более общего функционала, из которого (15.9) (и другие функционалы такого типа в этой главе) получается как частный случай. Там же будут выписаны слагаемые, которые нужно добавить к функционалу, чтобы сделать те или другие граничные условия естественными. [c.151]

Чтобы иметь достаточное число уравнений для отыскания четырех неизвестных функций, нужно прибавить к этим уравнениям еще условие неизменяемости массы, которое в форме Лагранжа представляется иначе, чем в форме Эйлера. Выведем это условие. [c.696]

В этом разделе исследуются необходимые условия оптимальности в задаче 2.2. В силу отсутствия ограничений на величину управлений задача относится к числу задач классического вариационного исчисления. Но формальной попытке составить уравнения Эйлера-Лагранжа препятствует то, что мощность, а отсюда и гамильтониан не дифференцируемы в ситуации, когда или р = О, или д = О, т.е. задача принадлежит к числу задач негладкой динамической оптимизации [23]. Это заставляет предусмотреть участки оптимального управляемого процесса, на которых или р = О, или = О, и указать для них уравнения движения цилиндра. Как оказалось, достаточно ограничиться случаем интервала времени [ 1, 2], ДО которого д = О, а после р = 0. На интервале [0, х) цилиндр движется с сохранением вертикальной ориентации. Уравнения для работы и обобщенных координат цилиндра имеют вид [c.89]

Пусть для I = = (/°, /°) G А° частоты невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо соизмеримы. Тогда функция M i I°,u it,u 2t+ ) периодична по t. Обозначим через J i(/°, Л) ее временное среднее. Для того, чтобы на торе 1 = 1° рождались пары изолированных периодических решений, достаточно в силу теоремы Пуанкаре проверить выполнение следующих условий [c.93]

Рассмотрим некоторые общие свойства асимптотических решений уравнений Навье-Стокса при стремлении характерного значения числа Рейнольдса к бесконечности. Для определенности будем считать, что рассматривается задача внешнего обтекания тела с характерным линейным размером I сверхзвуковым потоком вязкого газа. Нетрудно установить, что в большей части течения при Де сх) влияние вязкости исчезает и уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера. Вблизи поверхности тела в пределе образуется поверхность контактного разрыва (благодаря чему выполняется условие прилипания), которая при некоторых условиях может отрываться от поверхности тела. Если вдоль такой поверхности продольные градиенты параметров течения достаточно малы, то, как известно, ее структура в первом приближении описывается уравнениями типа уравнений пограничного слоя Прандтля. [c.71]

Структура полученных уравнений достаточно проста (урав нения (7) и (15)), несравненно проще, чем в описании Лагранжа. Однако описание Эйлера в некоторых отношениях неудобно. В задачах нелинейной теории упругости, как правило, известны первоначальные положения точек и разыскиваются поля перемещений, вызванные деформацией тела. Граничные условия в виде заданных нагрузок или перемещений также просто выражаются в координатах Х . Неудобством является и то, что дифференцирование в уравнениях (7) производится относитель" но переменных содержащих разыскиваемые величины — пере мещения. [c.65]

Слабое взаимодействие (тонкие, хорошо обтекаемые тела при больших рейнольдсовых числах) в настоящее время хорошо изучено, так как представляет, если не достаточно строго, то во всяком случае четко поставленную задачу. Совершенно иначе обстоит дело с задачей о сильном взаимодействии. Необходимость совместного интегрирования разных по математическому характеру уравнений (Эйлера, Прандтля, Навье — Стокса) в граничащих друг с другом областях движения жидкости (внешний поток, пограничный слой, след), а затем сшивания этих решений приводят к значительным вычислительным трудностям, в первую очередь относящимся к установлению приемлемых условий на границах сшивания решений. [c.518]

Подробное и<хледование достаточных условий существования экстремума приводит к понятию о так называемых кинетических фокусах. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, скажем несколько слов об упомянутых достаточных условиях существования экстремума функционала, входящего в математическую формулировку принципа Эйлера — Лагранжа в форме Якоби. [c.204]

Если названную неподвижную точку принять за начало системы, связанной с телом, то перемещение твердого тела не вызовет смещения связанных с ним осей, а лишь изменит их ориентацию, Тогда согласно этой теореме систему осей, связанных с телом, можно в каждый момент времени t получить посредством одного поворота начальной системы осей (которая совпадает с неподвижной системой координат). Иначе говоря, операция, которую выражает матрица А, описывающая перемещение этого твердого тела, является вращением. Но характерной чертой вращения является то, что при этой операции не изменяется одно из направлений, именно направление оси вращения. Поэтому любой вектор, направленный вдоль оси вращения, должен в начальной и конечной системах координат иметь пропорциональные составляющие. Другое необходимое условие, характеризующее вращение, состоит в том, что величины преобразуемых векторов при этом не изменяются. Это условие автоматически обеспечивается условиями ортогональности и, следовательно, для доказательства теоремы Эйлера достаточно показать, что существует вектор R, имеющий одинаковые [c.136]

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. По сути дела условие самосопряженности краевой задачи можно трактовать как форму записи этой теоремы. Выйолнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [c.373]

А. Клеро в трактате Теория фигур Земли обобщая принцип Ньюто-да, вывел необходимое и достаточное условие равновесия жидкости, показав, что принцип центральных столбов Ньютона, даже взятый совместно с принципом Гюйгенса, еще не является достаточным условием равновесия. Вместо двух ньютоновых столбов Клеро рассматривал канал любой формы, выделенный внутри жидкости и заканчивающийся в двух точках свободной поверхности (или замкнутый). Он утверждал, что равновесие в таком канале невозможно, если усилия всех частей жидкости в нем не уравновешиваются. Под термином усилия (efforts) Клеро понимал то, что Эйлер назвал давлениями. Принцип Клеро содержит утверждение, что разность давлений, взятая по всему ходу замкнутого канала, при равновесии равна нулю. [c.176]

Упражнение II. 5.3 (Даламбер, Эйлер). Движение тела 3S называется зо- , хорическйм, если объем (х( . 0) конфигурации любой части 3 тела if остается постоянным во времени. Показать, что необходимым и достаточным. условием изохоричности движения является выполнение любого из следующих трех уравнений [c.92]

Представимость Лагранжиана в форме полной дивергенции ( ) является необходимым и достаточным условием того, чтобы он был нулевым. Достаточность проверяется прямым вычпсленпем оператора Эйлера в применеппи к ( ). Необходимость также без труда обосновывается. Мы приведем доказательство, сугцественно пспользуюгцее звездообразную геометрию области опре- [c.152]

Это условие достаточно, одиако, только при стационарном движении. При исстационариом движении необходимо выполнение еще одного условия. Пусть т и /—величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены d /dt и Vp/p в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины, и/т Ар//р или Ар /ри/т, а соответствующее изменение р есть Др /ри/тс 2. Сравнив теперь члены dp/dt и pdivv в уравнении [c.41]

Предполагается, что эти линейные комбинации независимы. Проверитк прежде всего, что это условие достаточно и что поэтому произвольным приращениям ои, Zv,. .., соответствуют вполне определенные приращення oQ oQy,. .., оКг, и обратно. По теореме Эйлера об однородных функциях имеем [c.252]

В разработанных алгоритмах углы вращения приняты по Эйлеру. При необходимости численного исследования вращения механической системы по кар-дановым, самолетным или корабельным углам, на основании блочной автономности условий интегрирования, достаточно заменить соответствующие блоки, и моделирование будет проводиться в представляющих интерес углах вращения. [c.352]

Минаков писал об организации самостоятельной работы студенчества Великие примеры (Ленин, Эйлер) учат нас, что в работе важна ее систематичность и непрерывность, то есть ежедневность, ежечасность. Именно эту непрерывность и надо стремиться осуществить каждому учащемуся. Это значит, что надо работать с первого дня семестра и до его последнего дня. Бывают случаи, когда студенты пытаются изучить какой-либо предмет в несколько предэкзаменационных суток. Предположим, что им удается удачно ответить экзаменатору. Но о чем это говорит Только о том, что студенты обладают хорошей формальной памятью. Освоить же в таких условиях предмет по-настоящему, понять его, продумать, научиться применять, конечно, невозможно. Ведь глубокое, прочное знание появляется лишь тогда, когда достаточно развиты навыки научного мышления.. ..Непрерывность в работе как в течение одной недели, так и на протяжении всех лет обучения в вузе является первым признаком правильной, рациональной организации времени . [c.174]

Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях приводит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, так как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротроп-ности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная. [c.121]

Укажем еи е одно простое условие того, чтобы при наличии неголономных нелинейных связей действительное перемеш ение было бы одним из виртуальных достаточно, чтобы каждая из функций фу (16.24) была однородной функцией некоторой степени Шу, (v= 1,. .., 51) от обоби енных скоростей дь действительно, в этом случае имеем по известной теореме Эйлера [c.493]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Углы Эйлера /, 0, ф - обобщенные координаты для задачи движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Для твердого тела особенно ярко выступает преимущество обобщенных координат. Число материальных точек N, из которых состоит твердое тело, может быть огромным. Но велико и число голономных связей I Гг-Г 1 = 5,у = onst, описывающих условие его твердости . Как мы знаем, для описания различных положений твердого тела в пространстве оказывается достаточным трех углов Эйлера. Или, если твердое тело свободно, еще трех координат его центра. [c.203]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Кок показывают рис. 6-1, 6-2згти условия не являются достаточными. Все найденные в данной задаче интегрируемые случаи сводятся к классическим (Л.Эйлер, Н Е. Жуковский, В.Вопьтерра) некоторой заменой времени. [c.38]

Уравнение Эйлера — Лагранжа эквивалентно требованию, чтобы его решение было критической точкой функционала F, определенного на множестве всех кривых [О, Т] —> М с данными граничными условиями, принадлежащих классу С . А priori такая критическая точка может не быть даже локальным, тем более глобальным миниумом. Ниже мы покажем, что если два граничных условия выбраны достаточно близкими, то существует единственное кратчайшее решение уравнения Эйлера — Лагранжа, которое на самом деле оказывается глобальным минимумом. Ситуация меняется, когда концы удалены друг от друга. Достаточно длинные отрезки решений уравнения Эйлера — Лагранжа, являющиеся траекториями, перестают быть минимумами. В 6 мы рассмотрим примеры орбит, которые являются глобально [c.373]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...