Кинетический фокус

Приводя здесь без доказательства ьти краткие сведения о связи между особенностями возникающей стационарной точки с особенностями краевой задачи, определяющей прямой путь, приведем лишь два примера, разъясняющих, каким образом в задачах механики появляются кинетические фокусы. [c.283]

Эти утверждения верны только в том случае, когда на выбор окольных путей не накладываются какие-либо дополнительные условия. Если же при наличии на прямом пути кинетического фокуса ограничиться выбором окольных путей, также проходящих через этот фокус, то на прямом пути будет достигаться минимум действия по Гамильтону, [c.283]

Теперь непосредственно видно, что точка + Фл. фл- является кинетическим фокусом для точки Фл. [c.284]

Обратимся вновь к рис. VI 1.3. Из точки А в точку В ведут два прямых пути —по меньшей и по большей дугам большого круга выбор одного из них определяется направлением начальной скорости. Путь по меньшей дуге не проходит через точку Л, и на этом пути действие по Гамильтону достигает минимума путь по большей дуге проходит через кинетический фокус А, и на этом пути действие также достигает стационарного значения, но уже не минимально. [c.284]

Перебирая таким образом индексы s=I, п, в случае п несоизмеримых частот находим п кинетических фокусов, сопряженных с начальной точкой Л . [c.286]

Условие 1° не будет достаточным для минимума интеграла, если пределы и не сколь угодно близки друг к другу. В общем случае нужно удовлетворить условию Якоби о кинетических фокусах ). [c.229]

Казалось бы, из наших рассуждений следует, что принцип Ферма является истинным минимальным принципом, а не принципом стационарного значения, если сравнение происходит в локальном ) смысле, т. е. если истинные траектории сравниваются с траекториями, находящимися поблизости. Однако для справедливости нашего вывода требуется, чтобы вдоль всей траектории Т волновые поверхности были хорошо определенными, однозначными поверхностями с определенными нормалями. Между тем может возникнуть и другая ситуация (рис. 22). Рассмотрим пучок лучей, исходящий из точки М. Эти лучи вначале расходятся, но затем они могут снова начать сходиться, так что соседние траектории Т и Т могут пересечься в какой-то точке /И. В этом случае волновая поверхность, которой принадлежит точка М., вырождается в точку, (В оптических инструментах каждому точечному источнику световых волн М должно соответствовать изображение Л1, где волновые поверхности вырождаются в точку.) Наше заключение о настоящем относительном минимуме справедливо лишь до точки Л1, но не может быть распространено на область яа точку /И, так как в этом случае близкие траектории проходят через область, где они не пересекают никаких волновых поверхностей. Тогда величина О перестает быть действительной, а неравенство > становится иллюзорным. При соответствующе ситуации в механике точка М называется кинетическим фокусом , сопряженным с точкой М на траектории Т. После того как мы проходим через кинетический фокус, принцип наименьшего действия перестает быть минимальным принципом. [c.310]

Задача 2. Найти кинетический фокус в поле тяжести Земли для частиц, вылетающих из определенной точки М в различных направлениях, но с одной и той же энергией Е. Исследовать свойство минимальности в принципе наименьшего действия в связи с этим кинетическим фокусом. [c.310]

Энергия кинетическая Кинетический фокус 310 Кинетическое взаимодействие [c.402]

При достаточном удалении точки A от точки Aq может оказаться, что краевая задача имеет решения, соответствующие бесконечно близким прямым путям, проходимым механической системой за одно и то же время — to. В этом случае точки Aq и Ai расширенного координатного пространства называют сопряженными кинетическими фокусами. [c.469]

Экстремальное свойство действия по Гамильтону. Рассмотрим окрестность начального положения системы, достаточно малую, чтобы в ней отсутствовали сопряженные кинетические фокусы. Тогда можно считать (п. 217), что за заданное время — to система может перейти из своего начального положения в конечное положение, расположенное в выбранной окрестности, только по одному прямому пути. Покажем, что в этом случае действие по Гамильтону на прямом пути будет наименьшим по сравнению с его значениями на окольных путях системы. [c.476]

Умножим обе части этого равенства на Шу и просуммируем по всем точкам системы. Замечая затем, что по предположению в рассматриваемой малой окрестности начального положения системы кинетических фокусов нет и, следовательно, среди величин 5sy = 1, 2,. .., N) хотя бы одна отлична от нуля, получаем неравенство [c.478]

Проведенное рассуждение показывает, что если конечная точка Ai лежит перед кинетическим фокусом, сопряженным с начальной точкой Ао, то действие по Гамильтону на прямом пути A Ai имеет минимум. [c.480]

Кинетическим фокусом, сопряженным с произвольной начальной точкой А, является диаметрально противоположная точка А на сфере, так как два больших круга, проходящих через А, пересекаются только в А. [c.481]

Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжу решается точно так же, как и для принципа Гамильтона-Остроградского при помощи рассмотрения сопряженных кинетических фокусов. [c.484]

Вопрос о минимальности действия решается в каждом конкретном случае при помощи привлечения кинетических фокусов. Если точка движется по развертывающейся поверхности т. е. по поверхности, которую после изгибания можно наложить на плоскость), например по конусу или цилиндру, то действие W на прямом пути обязательно будет минимальным, так как на плоскости прямые, проходящие через одну и ту же точку, никогда вновь не пересекаются (и, следовательно, кинетические фокусы отсутствуют). [c.485]

Теперь разыщем условие, необходимое для того, чтобы изученные нами в предыдущих разделах интегралы ] и первые вариации которых были равны нулю, оказались бы действительно минимумами. Это разыскание связано с трудным вопросом о вторых вариациях и с красивой теорией кинетических фокусов. [c.505]

Условие (А) не является достаточным, кроме того случая, когда границы интегрирования очень сближены. В остальных случаях необходимо наложить еще одно условие, которое я назову условием (В). Прежде чем сформулировать это условие, надо напомнить определение кинетических фокусов. [c.505]

Эта парабола является обвёрткой траекторий (17.1) на стр. 154. Прямую у = 0, которая также служит геометрическим местом кинетических фокусов, сопряжённых с началом координат, мы исключаем из рассмотрения, потому что частица, двигаясь по вертикальной прямой, дойдёт до фокуса, только пройдя положение, лежащее на прямой (44.42 Прямая (44.42) касается параболы [c.488]

Полюс функции U- -h лежит в начале координат. Геометрическое место кинетических фокусов, сопряжённых с положением (ро, 0), мы найдём, определив условие кратности корней уравнения (44.44) таким образом, мы получим кривую [c.489]

Если точка В достаточно близка к точке А, то эта краевая задача всегда имеет лишь когечное число решений ). При удалении точки В от точки А может, однако, оказаться, что существуют такие точки, что, выбрав их в качестве точки В, мы получим краевую задачу с бесконечным числом решений. Такого рода точки расширенного координатного пространства называются кинетическими фокусами, сопряженными с точкой А. [c.283]

Рассмотрим какой-либо прямой путь, идуш,ий из точки А в точку В. Если на этом прямом пути между точками Л и В нет кинетического фокуса, то интересуюший нас экстремум действия по Гамильтону является минимумом. В том же случае, когда между точками Л и 5 на прямом пути располсжен кинетический фокус, то действие по Гамильтону хотя и экстремально на прямом пути, но утверждение, что этим экстремумом всегда является минимум действия, уже не верно в зависимости от условий исследуемой динамической задачи это может быть минимум, максимум или экстремум иного типа ). [c.283]

Подробное и<хледование достаточных условий существования экстремума приводит к понятию о так называемых кинетических фокусах. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, скажем несколько слов об упомянутых достаточных условиях существования экстремума функционала, входящего в математическую формулировку принципа Эйлера — Лагранжа в форме Якоби. [c.204]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы. Геодезическими кривыми на поверхности сферы являются, как известно, дуги больших кругов. Кинетическим фокусом для произвольной точки на поверхности сферы является диаметрально противоположная ей точка. В этом случае смысл условий существования экстремума действия на отрезке MiM траектории точки очевиден. Если точка М% лежит на дуге большого круга ближе к точке Ml, чем диаметрально противоположная ей точка на поверхности сферы, то дуга М1М2 будет действительно кратчайшей дугой среди тех, которые можно провести через точки Mi и М2 на поверхности сферы. [c.207]

Если передвигать точку М2 по поверхности сферы вдоль фиксированной дуги большого круга, то после ее перехода через кинетический фокус дуга MiM2 не будет кратчайшей среди дуг, соединяющих точки Mi и Мг на поверхности сферы. [c.207]

Задача 1. Рассмотреть движение частицы по сфере в отсутствие внешних сил. Показать, что действие перестает быть минимальным, когда движущаяся точка проходит через кинетический фокус , находящийся в антиполюсе по отношению к точке М. [c.310]

Пусть теперь Ai — сопряженный кинетический фокус для точки Ао, а конечная точка прямого пути F лежит за точкой Ai (рис. 170). Здесь уже действие на прямом пути AqBAiF не будет минимальным. Для доказательства укажем такой окольный путь, на котором действие по Гамильтону меньше, чем на пути AqBAiF. Для этого на ранее построенном прямом пути AqHAi возьмем точку G, настолько близкую к F, чтобы действие на соединяющем эти точки прямом пути GKF было минимальным. Тогда [c.480]

Кинетические фокусы несколько различны в зависимости от того, рассматриваем ли мы действие Гамильтона или действие по Мопертюи. Чтобы лучше уяснить себе это, рассмотрим случай двух степеней срОбоды, и пусть X и у — две переменные, определяющие положение системы, которые мы можем рассматривать как координаты в плоскости. [c.508]

Можно показать, что действие по Лагранжу по взятому прямому пути будет минимумом относительно действий по окольным путям при одинаковых значениях начальной энергии, если конечное положение удалено от начального положения Ад не дапее ближайшего кинетического фокуса, сопряжённого с Ло (см. заключительные указания в 201). В отделе Интегрирование уравнений динамики мы ещё вернёмся к этому вопросу. [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...