Преобразование Биркгофа

Преобразование Биркгофа. Приближенное интегрирование гамильтоновой системы уравнений вблизи положения равновесия. Пусть начало координат фазового пространства отвечает [c.398]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Несложные вычисления показывают, что преобразование Биркгофа р q р задаваемое производящей функцией qp + S4 q р ), где [c.404]

К. Зигель в 1941-1954 гг. исследовал вопрос об интегрируемости гамильтоновых систем вблизи устойчивых положений равновесия. Он доказал, что в типичной ситуации уравнения Гамильтона не имеют полного набора аналитических интегралов и преобразование Биркгофа расходится. Доказательство Зигеля расходимости преобразования Биркгофа в идейном отношении восходит к исследованиям Пуанкаре оно основано на тщательном анализе семейств невырожденных долгопериодических решений. [c.17]

И det >fms Ф о, то преобразование Биркгофа (И.2) сходится. [c.127]

В общем случае, когда не все собственные числа Л1,..., Л чисто мнимые, также можно привести уравнения Гамильтона к нормальной форме Биркгофа. Детальное обсуждение этих вопросов содержится, например, в книге [230]. В общем случае уравнения Гамильтона имеют инвариантные асимптотические поверхности Е, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к положениям равновесия при I —> оо. Оказывается, преобразование Биркгофа может задаваться расходящимися степенными рядами, однако эти ряды сходятся в точках из Е. [c.130]

Одна из асимптотических поверхностей задается уравнениями 771 =. .. = 7 = О, подставляя которые в (11.11) и (11.12), получим уже известные нам соотношения (11.5) и (11.6), определяющие эту асимптотическую поверхность. В частности, нормализующее преобразование Биркгофа (11.11) сходится при г/ = 0. Аналогичный результат справедлив и для другой асимптотической поверхности. [c.132]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Теорема 4. Пусть преобразование Биркгофа сходится и аналитически зависит от е. Если выполнено условие 1) теоремы 3, то при малых е Ф О уравнения Гамильтона не имеют полного набора независимых аналитических интегралов в инволюции. [c.265]

Композиция преобразования Биркгофа со степенями отображения за период позволяет продолжить функции с окрестностей критических точек и" е) на некоторые окрестности асимптотических поверхностей Л . Так как возможное расщепление поверхностей Л+ и Л имеет порядок , то при малых окрестности и пересекаются. [c.266]

В этом параграфе мы исследуем полную интегрируемость уравнений (1.1) в окрестности положения равновесия х = у = О и сходимость нормализующего преобразования Биркгофа. Рассмотрим [c.309]

Это утверждение доказывается в п. 2. Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в Н. В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Относительно расходимости преобразования Биркгофа справедлива более сильная [c.310]

Теорема 2 (К. Зигель [60]). Функции Гамильтона Н со сходящимся преобразованием Биркгофа образуют в Н подмножество первой категории Бэра ) в топологии Т. [c.310]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

В частности, все еще неизвестно, сходятся ли преобразования Биркгофа в ограниченной задаче трех тел при фиксированном отношении масс в окрестности лагранжевых равновесных решений. По поводу этой задачи К. Зигель заметил, что она, по-видимому, лежит вне возможностей известных методов анализа [60]. [c.311]

Следствие. Множество точек Н е Л, для которых преобразование Биркгофа расходится, всюду плотно. [c.316]

Введем на множестве степенных рядов Н новую топологию Т, рассматривая в качестве окрестностей рядов с коэффициентами все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами /ц , удовлетворяющими неравенствам /ц. - < е при А + 5 < для некоторых > О и 3. Можно показать, что в топологии Т множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Н если в формальных степенных рядах, [c.316]

До сих пор неизвестно, имеются ли в топологическом пространстве (Н, Т) такие точки, что некоторые их окрестности состоят только из гамильтонианов с расходящимися преобразованиями Биркгофа. Отметим еще одну нерешенную задачу верно ли, что гамильтоновы системы, допускающие дополнительный аналитический интеграл, образуют в Н подмножество первой категории Бэра в топологии Т По-видимому, это утверждение истинно. [c.317]

По-видимому, точки KgV, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме сходится, образуют в V подмножество первой категории. [c.319]

Их произведение — бильярдное преобразование Биркгофа (1927). [c.459]

Под прямыми преобразованиями Биркгоф понимает преобразования, сохраняющие ориентацию. [c.388]

Комбинируя метод преобразований Биркгофа гамильтоновой системы к нормальной форме [41] с теоремами Ляпунова о неустойчивости (см. 3.05) и со способом Четаева (см. 3.07), [c.845]

Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. 7, мы укажем, что ряды Биркгофа, как правило, расходятся. [c.126]

Теорема 9. Предположим, что преобразование Биркгофа сходится и аналитически зависит от е. Если выполнено условие [c.240]

Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в Ж В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Пусть [c.254]

Относительно расходимости преобразования Биркгофа справедлива более сильная. [c.254]

Теорема 15 ([36]). Функции Гамильтона Я со сходящимся преобразованием Биркгофа образуют в подмножество первой категории Бэра" в топологии [c.254]

Если в системе вообще нет резонансов, то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона до сколь угодно высокой степени (/ схэ). Нормализованная во всех степенях функция Гамильтона зависит только от переменных (qlpl) (/с = 1, 2,..., п). Тогда преобразованная система уравнений движения может быть проинтегрирована, причем для этого не надо пренебрегать в ее правых частях никакими членами. Казалось бы, что это должно означать локальную (в окрестности положения равновесия) интегрируемость уравнений движения. Однако это не так. Дело в том, что пре- [c.402]

Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.) аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными рядами, после которого уравнение Г амильтона просто интегрируется. Г амильто-новы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида. [c.15]

Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. VI, укажем, что ряды Биркгофа, как правило, расходятся. Теорема 2 сначала была доказана Рюссманом [228] для п= 2, а затем Веем [234] в многомерном случае. [c.127]

Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с вырожденными квадратичными частями. Пусть г = 2 и коэффициенты ьаг в квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции е удовлетворяют условию ГП]а1 + гпгаг О для всех целых т, т2, не равных одновременно нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает формальный интеграл Г = Гд + Гд+ +. .. д 2), аналитический по е, причем однородные формы Гд и Яг функционально независимы при всех е, то существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее от е. [c.130]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Функции lg встречались при анализе расщепления сепаратрис Г и Г" в 1. Отметим, что они аналитические и 2тг-периодические. Для случая гомоклинных движений их средние по периоду равны нулю. Однако в рассматриваемой ситуации это вовсе не обязательно. Необходимым условием непересечения возмущенных сепаратрис Г и Г является отсутствие перемен знака у функции Это условие предполагается выполненным. Более точно будем считать, что /1 О и /г 0. В этом случае картина расположения расщепленных сепаратрис именно та, что изображена на рис. 28 при малых положительных значениях е. При = О в окрестности точки Z2 можно выполнить такое каноническое преобразование Биркгофа ж, у - ,г], что (в новых переменных) Щ х,у) = Fo( ), С = и [c.289]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

Композиция преобразования Биркгофа со степенями отобра жения за период позволяет продолжить функции Н с окрестностей критических точек и (г) на некоторые окрестности W асимптотических поверхностей Л. Так как возможное расщеп- [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...