Самосопряженность краевой задачи

Исследуем далее функцию Q t, х) в формуле (2.10). Заметим, что М (т, 0) = о в силу (2.1). Кроме того, ввиду самосопряженности краевой задачи (2.7), функция Грина О симметрична, т. е. С х, ) = = 6(1, х) (см. п. 4 из 1). Значит, О х, I) = 0. Поэтому, интегрируя по частям по 5 и т, получим [c.251]

Самосопряженность краевой задачи 373 Свойства системы инерционные 85, 10", [c.478]

Будем временно считать параметр д малым. и рассмотрим самосопряженную краевую задачу Ц, состоящую из двух уравне- [c.295]

Далее обсуждаются разные критерии устойчивости и введен кинематический критерий. Показано, что в частном случае самосопряженной краевой задачи кинематический критерий равнозначен бифуркационному. Ограничимся задачами нелинейной теории упругости и не будем обсуждать многочисленные решения, относящиеся к теории перемещений или малых деформаций. Здесь также выведены условие распространения волны слабого разрыва, управляющие амплитудой уравнения и уравнения акустического луча. Рассуждения иллюстрируются примером, в котором описывается распространение акустической волны в толстостенном цилиндре, подверженном действию внешнего или внутреннего гидростатического давления, а также дополняются обсуждением разных скоростей волны, т. е. фазовой скорости, групповой скорости и скорости сигнала. [c.9]

Подстановкой в (10.13) можно показать, что граничные условия (12.22) соответствуют самосопряженной краевой задаче. Умножим [c.85]

Правые части удовлетворяют аналогичным условиям (4.13). Задача (4.16), (4.17) является самосопряженной краевой задачей на отрезке (О, Ь). Легко показать, не обращаясь даже к общей теории, а непосредственным подсчетом, что для разрешимости (причем однозначной) этой задачи необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная задача имела только тривиальное решение, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы [c.255]

Самосопряженность оператора 113 Свободная конвенция 39 Сведение краевой задачи к нескольким задачам Коши 103 [c.313]

Краевая задача является самосопряженной, если при любом выборе функций VI и 42, удовлетворяющих граничным условиям, имеется равенство [c.373]

Однородное уравнение, соответствующее (1.18), — самосопряженное. Поэтому неод-нородная краевая задача (1.18), (1.14) разрешима в том и только в том случае, если правая часть Ф(ж, z) ортогональна решению соответствующей однородной задачи (см., например [5]) [c.385]

Так как однородное уравнение, соответствующее (3.7), самосопряженное, то неодно родная краевая задача (3.7), (1.10) разрешима только в том случае, если правая часть Ф(ж1, Х2, жз) уравнения (3.7) ортогональна к решению однородной задачи при задан-ных N = N ш т = ш Например, при 7V = 6, ш = 3 уравнение для С имеет вид [c.399]

Условия (3) могут быть одного из видов (4.13) — (4.16), (4.25), причем во всех случаях краевая задача в нулевом приближении является самосопряженной. [c.168]

Краевая задача (2.8) —(2.10) представляет задачу на собственные числа, где роль собственного числа играет полная энергия элементарной ячейки w. Поэтому решение задачи су- ществует только для вполне определенного множества значений W. Если это множество дискретно, то говорят о дискретном спектре если множество непрерывно, то говорят, что спектр — сплошной. Оператор W — самосопряженный, поэтому для конечной области V собственные числа да образуют действительное счетное множество. Для механики разрушения наибольший интерес представляет состояние с наинизшей энергией Шо в этом состоянии система может находиться сколь угодно долго. Другие стационарные состояния системы, соответствующие большим W, обычно квазистационарны, так как под действием внешних электромагнитных волн система через определенное конечное время с вероятностью, близкой к единице, переходит в более устойчивое состояние с меньшей энергией. Вблизи точки w = Wo на основании соотношения (2.13) нет других возможных стационарных состояний системы. [c.30]

Покажем, что краевая задача (11.19) и (11.39) самосопряженная. Поскольку пропорционален а = (Ь О, 0), то условие [c.79]

Существует много других нагрузок, изменяющих направление во время деформирования. Эти нагрузки трудно реализовать. Более того, соответствующие краевые задачи в общем не самосопряженные. Следовательно, существование нетривиальных состояний равновесия — только достаточное, но не необходимое условие потери устойчивости. В связи с этим ограничимся лишь записью основных соотношений, позволяющих определить граничные условия. [c.81]

Итак, состояние рассматриваемого параллелепипеда описывается однородной краевой задачей (13.12) и (13,17). При подстановке решения в (10.13) видим, что эта задача самосопряженная. Итак, потеря устойчивости наступает тогда, когда рассматриваемая краевая задача допускает существование нетривиальных решений. Последующие рассуждения в настоящем пункте необходимы для нахождения критических значений Xg, Xg. [c.91]

Можно показать, что краевая задача (14.8) и (14.9) самосопряженная. Соответствующее доказательство дано в работе [13]. Следовательно, потеря устойчивости наступает тогда, когда эта задача допускает существование нетривиальных решений. [c.98]

Условие самосопряженности (10.13) удовлетворяется тождественно, следовательно, цилиндр теряет устойчивость тогда, когда краевая задача (15.19) и (15.24) допускает существование нетривиальных решений. Общим решением уравнения (15.19) является функция [c.107]

Можно показать, что краевая задача (15.30), (15.32) самосопряженная. Если — с то общим решением уравнения (15.30) будет функция [c.108]

Поставленная краевая задача является самосопряженной [33]. [c.260]

Итак, краевая задача для нормальных возмущений равновесия проводящей жидкости в магнитном поле не является самосопряженной. Поэтому определяемые ею собственные числа — декременты возмущений Я — могут быть комплексными, а сами возмущения, вообще говоря, не являются монотонными. [c.181]

Рассмотрим сначала значение интеграла / на разных уровнях спектра при К = 0. Так как в этом предельном случае краевая задача является самосопряженной, можно выбрать амплитуды ф и совпадающими. Значение интеграла / при этом определяется четностью уровня. На четных уровнях фи = ри = О, [c.310]

Заметим, что при Сг = О краевая задача становится самосопряженной. [c.14]

Можно показать, что при Рг = О неоднородная краевая задача (25), (27) неразрешима при всех числах Рейнольдса, так как в этом предельном случае однородное уравнение есть классическое самосопряженное уравнение Лежандра, имеющее регулярное решение, а условие ортогональности не выполнено. Действительно, решение [c.272]

Таким образом, получаем задачу на собственные значения для эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на границе области. Подходящим образом вводя пространства обобщенных решений для соответствующей вырожденной краевой задачи, сведем задачу (3.6) к задаче на собственные значения для положительного компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, покажем, что задача (3.6) имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений [c.238]

Оказывается, что в данном случае решение задачи (53), (54) просто совпадает с функцией Римана уравнения (52) с точностью до постоянного множителя. Действительно, функция Римана W(r, I Го, Iq) должна быть, как функция переменных (г, I), решением того же уравнения (52) в силу его самосопряженности и должна удовлетворять следующим краевым условиям на характеристике г =- го - условию [c.165]

Пусть L — самосопряженный эллиптический оператор 2m-ro порядка при однородных краевых условиях и a v, w) — соответствующее скалярное произведение в энергетическом пространстве Ж в Если задача Lu = f имеет поверхность раздела или особенности на границе, аналогичные описанным в разд. 8.1, то оценки ошибок, полученные в разд. 3.4, уже не справедливы. В этом разделе мы модифицируем проведенные ранее исследования по нахождению правильных скоростей сходимости при наличии особенностей. [c.307]

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. По сути дела условие самосопряженности краевой задачи можно трактовать как форму записи этой теоремы. Выйолнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [c.373]

Обычная и обобщенная ортогональность собстаенных функций, так же как самосопряженность краевых задач о собственных значеннях, являются весьмя ценными свойствами, которые широко используются при теоретических исследованиях и в практических расчетах. [c.85]

Например, для цилиндрической оболочки при рассмотрении варианта теории оболочек, ипоженного в п. 9.6.4, приводящего к самосопряженным краевым задачам, операторы Lij ...) имеют вид [c.215]

Краевая задача (10.20) самосопряженная, если для любых двух векторных полей v , удовлетворяющих краевым услови- [c.70]

Соответс1вующая этим граничным условиям краевая задача самосопряженная. Ее легче доказать для произвольной формы, а не для шара. С учетом формулы (ср. с (8.20)) [c.80]

Вещественность декрементов при подогреве снизу и появление (при определенных условиях) комплексных декрементов при подогреве сверху связаны со свойствами краевой задачи для амплитуд возмущений. При К > О задача является самосопряженной, и потому собственные числа и собственные функ ции вещественны. В случае же К < О задача становится несамосопряженной, и собственные числа могут быть комплексными. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...