Метод анализа размерностей физических уравнений

Очень широкое распространение в механике и физике получили так называемые автомодельные решения, характеризующиеся существованием некоторых комбинаций независимых переменных (автомодельных переменных), которые соответствуют опре деленным свойствам подобия или инвариантности рассматриваемых классов физи ческих решений. Методы анализа размерностей физических величин, определяющих задачу, позволили [8] осуществить понижение размерности для весьма широкого круга физических и механических задач. Особенно эффективным в конструктивном плане оказалось в ряде ситуаций сведение сложной исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой в качестве независимой переменной высту пает автомодельная переменная. Это позволило получать классы точных решений в замкнутой форме, например, знаменитое решение газодинамической задачи о точечном взрыве [8], и осуществить качественный и детальный количественный анализ важных задач в неинтегрируемых случаях. [c.17]

Анализ выше приведенных уравнений теплопередачи показывает, что наиболее сложной для определения величиной является определение коэффициентов теплоотдачи а. как от нагревающего потока к стенке, так и от стенки к нагреваемому потоку. Рещение этой задачи можно осуществить на основе использования теории подобия (если имеется математическое описание процесса в виде дифференциальных уравнений и известны условия однозначности для рещения этих уравнений). В том случае, когда нет аналитического описания процесса теплопередачи, но имеется полный список размерных величин, существенных для изучаемого физического процесса, критерии подобия можно установить методом анализа размерностей величин, описывающих данный процесс. [c.106]

Структура безразмерных комплексов — критериев — может быть найдена либо на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих явление и содержащих общие связи между величинами (метод теории подобия), либо на основе анализа размерностей физических величин, существенных для явления (метод анализа размерностей). [c.133]

Это уравнение позволяет сделать вывод о том, что не только на движение жидкости, но и на движение парового пузырька существенное влияние оказывает наличие в потоке турбулентных вихрей. Пользуясь методом анализа размерностей, можно установить влияние физических свойств жидкости и турбулентных вихрей в ее потоке на теплоотдачу при кипении. [c.163]

Таким образом, различия между методами анализа размерностей величин и анализом уравнений определяются лишь разницей в степени необходимой полноты знаний о физических свойствах процессов. В первом случае аппарат анализа размерностей применяется к формулам размерности физических величин, во втором случае — к аналитическим зависимостям между величинами. [c.51]

В данной главе при получении условий моделирования с по-мощью физических уравнений делается предположение о геометрическом подобии модели и натуры. Это предположение сближает метод анализа уравнений с методом анализа размерностей величин и при определенных условиях приводит к результатам, совпадающим с классической теорией подобия. [c.51]

В отличие от уравнений связи (3.31), полученных путем подобных преобразований физических уравнений, метод анализа размерностей в нашем случае приводит к пяти критериям подобия (/г — 8, г = 3, k = п — г — 5), из которых следуют несколько другие уравнения для выбора масштабов моделирования [c.65]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

Исходным для метода анализа размерностей является то, что любое математическое уравнение, описывающее какое-либо физическое явление, обязательно должно быть размерно однородным, т. е. все входящие в него члены, приведенные к основным размерностям длины времени I и массы т (или силы Р), должны содержать одинаковую степень каждой из этих размерностей. [c.270]

Существует теорема, с помощью которой можно определить количество безразмерных чисел, свойственное рассматриваемой задаче. Это так называемая л-теорема физическое уравнение, содержащее п размерных величин, из которых т величин имеют независимую размерность, после приведения к безразмерному виду будет содержать п — т) безразмерных величин (критериев). При этом если т = п, то вид функции в уравнении типа (15-11) может быть определен с точностью до постоянной, т. е. метод анализа размерностей позволяет получить решение задачи. [c.155]

Возможны два основных способа получения систем критериев подобия процессов структура критериев может быть определена методами анализа размерностей величин, характерных для данного процесса, или путем тождественных преобразований уравнений процесса. Законы подобия могут быть выведены из анализа размерностей физических параметров, обусловливающих данное явление. Поскольку два подобных явления отличаются лишь масштабом соответствующих величин, то из определения размерности следует, что соотношения, получаемые для безразмерных величин, должны быть одними и теми же в обоих случаях. В этом и заключается связь теории подобия с анализом размерностей. Рассмотрим технику использования метода анализа размерностей на следующем примере. [c.19]

Полученные уравнения дают представление о достоинствах и недостатках метода анализа размерностей. Главное достоинство метода — чрезвычайная простота и легкость получения безразмерных комплексов (отметим попутно, что приведенный способ составления комбинаций далеко не единственный в работах [48] и [63] рассматриваются иные, не менее простые, способы). Использование при этом я-теоремы дает возможность оценить по предварительным данным сложность результата анализа. К недостаткам метода следует отнести прежде всего некоторую неопределенность в составе критериев подобия (в примере произвольно выбраны независимыми т.1, 2 и /Л4) и полное отсутствие сведений об аналитическом виде функциональной зависимости между критериями. Кроме того, от интуиции исследователя зависит перечень физических параметров, принимаемых во внимание. Последнее обстоятельство наглядно поясняется на рассмотренном примере. Полученные уравнения выражают подобие процессов при установившемся движении через конкретный насос различных жидкостей, отличающихся значениями плотности. При этом не учтено влияние вязкости жидкости. Если включить в перечень исходных параметров величину (г (динамическая вязкость жидкости), то число определяющих критериев подобия увеличится на единицу за счет числа Re, характеризующего режимы течения жидкости. В данном примере допустимо этого не делать, так как в центробежном насосе реализуется лишь турбулентное течение, при котором коэффициент вязкого трения практически постоянен. Поэтому учет числа Re приведет лишь к масштабному изменению экспериментальных графиков. При желании распространить полученные условия подобия на серию насосов в число исходных величин должны быть введены размеры 1 , 1 , 1 yi критериальное уравнение примет вид [c.20]

Метод анализа размерностей. Если физический процесс не может быть описан системой уравнений, критерии подобия можно найти методом анализа размерностей. Этот метод применяют при наличии всех важных для данного процесса параметров, особенно успешно при анализе очень сложных задач обработки металлов давлением, математическое описание которых затруднено [78]. [c.150]

В тех же случаях, когда рассматривается новый и сложный процесс, для которого аналитического описания еще нет, выявление критериев подобия может производиться методом анализа размерностей. В этом случае сначала необходимо установить полный перечень существенных для процесса физических величин, т. е. тех величин, которые должны были бы войти в дифференциальные уравнения и условия однозначности, если бы математическое описание процесса было известно. Располагая списком размерных величин, существенных для рассматриваемого физического процесса, можно установить и список безразмерных переменных. [c.152]

Критерии динамического подобия могут быть найдены методами теории размерностей, базирующейся на свойстве однородности физических уравнений, или на основании анализа дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс. [c.382]

В первом и втором условиях не содержится каких-либо требований, ограничивающих численные значения постоянных, таких как физические параметры, характерные значения скорости и размеры. Такие ограничения накладываются третьим условием подобия, в соответствии с которым должны быть равны численные значения одноименных определяющих критериев. Список актуальных для рассматриваемого процесса безразмерных комплексов получают методами теории подобия или анализа размерностей (см. 1.2). Второе и третье условия подобия требуют соблюдения геометрического подобия модели и оригинала. Действительно, одинаковость граничных условий предполагает одинаковую форму записи уравнений поверхностей, на которых задаются значения температур, скоростей, концентраций если для описания геометрии системы необходимы-два или более характерных размера, третье условие подобия обеспечивает их одинаковое соотношение для модели и оригинала. Например, два кольцевых.канала подобны, если сохраняется отношение внешнего и внутреннего диаметров. [c.89]

Метод масштабных преобразований, использованный в 49, не является единственно возможным способом получения уравнения подобия. Для этой цели часто используется анализ размерностей, методика применения которого состоит в следующем. Составляют список размерных физических величин, от которых зависит искомая величина (например, коэффициент теплоотдачи). Путем анализа размерностей всех этих величин устанавливают число величин с независимой размерностью каждая из k величин с независимой размерностью такова, что любая комбинация размерностей k—1 величин не позволяет получить размерность k-й величины. После этого, используя все величины, составляют из них без- [c.340]

Анализ размерностей — метод установления связи между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин. В основе анализа размерностей лежит требование, согласно которому управление, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при любом изменении единиц входящих в него величин. Это требование совпадает с требованием равенства размерностей в левой и правой частях уравнения. [c.406]

Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей процесса, которые заранее неизвестны. По сути дела, анализ размерностей основывается на требовании независимости связи между физическими величинами от выбора единиц, что равносильно требованию совпадения размерностей в обеих частях уравнений. Позволяя в ряде случаев быстро установить характер искомой закономерности, анализ размерностей отнюдь не является всемогущим методом, и подчас его возможности оказываются весьма ограниченными. [c.79]

Оглавление дает достаточное представление о структуре- и содержании учебника. Для многих сплошных сред и тел с простыми и сложными физическими свойствами изучающий узнает полные замкнутые системы разрешающих уравнений, типичные граничные условия и условия на волновых фронтах, постановки краевых задач, простые методы их анализа на основе теории размерностей и подобия и получит доступ к свободной проработке и активному использованию любого из перечисленных выше разделов МСС но что, пожалуй, более важно — изучающий научится методам построения фундаментальных математических моделей механики сплошных сред, познакомится с методом построения полных систем уравнений МСС, особенно уравнений состояния среды, т. е. в определенной мере научится переводить на язык математики и ЭВМ интересующие естествознание и практику новые явления природы, процессы в новых материалах и средах с заранее неизвестными физико-механическими свойствами. Поэтому автор придает значение гл. III и V, в которых разъясняются особенности взаимодействия термомеханических и электромаг- [c.4]

Информация о профилях ветра и спектрах турбулентности в пограничном слое атмосферы получена в гл. 2 на основе анализа размерностей — метода, часто используемого для установления основных соотношений при моделировании. Если физические характеристики процесса настолько хорошо известны, что для него можно записать точные основные дифференциальные уравнения, то возможен и другой подход к установлению таких соотношений. Он основан на приведении этих уравнений к безразмерному виду (критериальная форма уравнений), что может служить глубокому пониманию суш,ности безразмерных групп параметров, от которых зависит рассматриваемое явление. Оба эти метода с примерами их использования рассмотрены ниже. [c.252]

В книге даны основы механики сплошной среды (МСС) физическая трактовка основных понятий и статистическое обоснование законов МСС аксиоматика МСС кинематика и теория внутренних напряжений в средах физические законы — сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии методы получения замкнутых систем уравнений, основные типы граничных условий и постановки краевых задач МСС. Даны замкнутые системы уравнений для классических сред (газов, жидкостей, упругих тел) и для сред со сложными свойствами (вязко-упругих, нелинейно вязких, упруго- и вязко-пластических, плазмы и др.) при действии электромагнитного поля. Дана теория размерностей и подобия с ревизионным анализом уравнений МСС, критериями подобия и моделирования, с примерами автомодельных решений. [c.3]

В результате различные физические величины обладают в Международной системе, как правило, и различной размерностью. Это делает возможным полноценный размерный анализ, предотвращая недоразумения, например, при контроле выкладок. Показатели размерности в СИ целочислены, а не дробны, что упрощает выражение производных единиц через основные и вообще оперирование с размерностью. Коэффициенты 4я и 2я присутствуют в тех и только тех уравнениях электромагнетизма, которые относятся к полям со сферической или цилиндрической симметрией. Метод десятичных приставок, унаследованный от метрической системы, позволяет охватить огромные диапазоны изменения физических величин и обеспечивает соответствие СИ десятичной системе исчисления. [c.27]

Этот курс, вероятно, должен быть годовым. В нем должны найти отражение вывод основных уравнений механики сплошной среды, физические допуш ения и возмож ные упрош ения моделей, постановки начальных и краевых условий, корректность этих постановок. Здесь же целесообразно изложить некоторые основные аналитические под ходы, используемые для анализа задач основные идеи асимптотических методов, ме тодов теории подобия и размерности, некоторых других аналитических конструкций, о которых шла речь в разделе 2. [c.26]

Решение задачи будем искать с помощью функции напряжений ф, удовлетворяющей бигармоническому уравнению (18.20) и граничным условиям (18.22). Для отыскания функции ф воспользуемся методом анализа размерностей. Любое уравнение, описывающее некоторый физический процесс, должно быть размерно однородным, то есть все слагаемые, входящие в это уравнение, долж-Рис. 18.6 ны иметь одинаковую размерность. [c.382]

В 1.4 было показано, что существует широкая свобода в способе построения системы единиц и, в частности, в выборе величин, единицы которых принимаются за основные. В то же время практические соображения накла-дьшают определенные ограничения на этот выбор. Иногда для описания какой-то совокупности физических явлений или для решения конкретной задачи методом анализа размерностей полезно выбрать в качестве основных такие единицы, которые позволят более просто выразить интересующие нас закономерности 1ши решить данную задачу. Подобные примеры можно найти в гл. 3 настоящей книги. Может даже оказаться целесообразным приравнять единице возможно большее число фундамен тальных постоянных, доведя число произвольно выби раемых основных единиц до нуля. При этом, разумеется значительно упростится вид соответствующих уравнений Подобным образом часто поступают в атомной физике в особенности при решении различных задач с помощью методов квантовой механики. Подробнее об этом будет сказано в 9.8. [c.42]

Наряду с рассмотрением традиционных вопросов теории механического подобия основанных на анализе размерностей физических величин, здесь подробно изложены методы подобия и моделирования о привлечением уравнений механики деформируемых систем. Эти методы положены в основу приближенного модё-лирования напряженного состояния и устойчивости тонкостенных конструкций, моделирования деформируемых систем с учетом геометрической и физической нелинейности. Изложены способы приближенного моделирования процессов циклического нагружения, ползучести и разрушения элементов машин и конструкций. [c.6]

Этот пример показывает, что преобразование уравнений к безразмерному виду при номощи анализа размерностей физических величин позволяет получать такие же критерии подобия (или эквивалентные им), как и метод преобразования масштабов. Критерии подобия процессов теплоотдачи тела при внешнем обтекании вынужденным потоком жидкости. Рассмотрим безразмерные величины, которые содержатся в уравнениях (5.5) и (5.7). Величину = a/iA называют критерием [c.243]

Анализ размерностей основывается на не требующем доказательства положении о том, что размерность всех членов одного и того же уравнения всегда одинакова. Следовательно, любое физическое уравнение может быть налисано в безразмерном виде. Для этого его следует разделить на один из членов. Для применения анализа размерностей необходимо знать все параметры, которые существенно влияют на развитие процесса, т. е. на величину опре-деляехмого критерия подобия. Метод анализа размерностей менее надежен, чем метод подобного преобразования уравнений, так как при его использовании легко упустить из вида какой-либо определяющий параметр. Уменьшить вероятность ошибки позволяет я-теорема если определяемый критерий подобия зависит от п размерных параметров, размерности которых составлены из к независимых единиц, то этот критерий всегда можно выразить через п = п—к безразмерных критериев подобия, составленных из различных комбинаций размерных параметров. [c.113]

Анализ (или метод) размерностей используется во многих задачах физики и механики, а особ нно в механике жидкости как для проверки предложенных panei , так и для составления новых зависимостей. Анализ размерностей основан на так называемой ПИ-теореме, которую можно сфо))мулировать следующим образом математическая зависимостг. между некоторыми физическими размерными величинами всегда может быть преобразована в уравнение, в которое войдут безразмерные комбинации тех же физических величин (так называемые числа ПИ), причем число этих безразмерных комбинаций всегда меньше, чем число исходных физических величин. Пусть Аи Лз, Аз,..., Ап —п размерных/физических величин, участвующих в каком-либо физическом явлении. Примером их могут служить скорость, вязкость, плотность и т. д. Пусть m — число всех первичных или основных единиц (наиример, длина, масса и время), с помощью которых может быть представлена размерность рассматриваемых физических величин. Физическое ураг нение или функциональная зависимость между величинами А может быть представлена в виде [c.148]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Методы теории подобия и анализа размерности. В том случае, когда физическое или механическое явление изучено настолько, что представляется возможным правильно матёматически поставить задачу, написать основные уравнения и сформулировать граничные условия, можно, не имея решения составленных уравнений, произвести масштабные преобразования этих уравнений и найти соответствующие критерии подобия. Именно этим путем были получены критерии статического подобия изгиба балок (25.23). Метод теории подобия, таким образом, предполагает наличие значительного объема информаций, относящейся к изучаемому объекту. [c.290]

На примере гидродинамики можно видеть, что требование физической наглядности, которого придерживаются в традиционньк формулировках при выборе динамических переменных, отнюдь не гарантирует простой картины эволюции в фазовом пространстве этих переменных. Напротив, в большинстве случаев мы имеем сложные в математическом отношении эволюционные уравнения, характерной чертой которых является нелинейность, нелокальность и высокая размерность фазового пространства (число динамических переменных). Отсутствие универсального рецепта для точного решения этих уравнений заставляет прибегать к асимптотическим методам анализа. [c.180]

Математической моделью технического объекта на макроуровне является система ОДУ с заданными начальными условиями. В основе ММ лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами. Предпосылкой создания единого математического и программного обеспечения анализа на макроуровне являются аналогии компонентных и топологических уравнений физически однородных подсистем, из которых состоит технический объект. Для получения топологических уравнений используются формальные методы. Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются следующие методы обобщенный, табличный, узловой и переменных состояния. Методы отличаются друг от друга видом и размерностью получаемой системы уравнений, способом дискретизации компонентных уравнений реактивных ветвей, допустимыми типами зависимых ветвей. Для сложных технических объектов размерность ММ становится чрезмерно высокой, и для моделирования приходится переходить на метауровень. [c.6]

Работа Римана [3] инициировала также очень большую серию работ по так на зываемым бегущим волнам в механике сплошной среды, в первую очередь в газо вой динамике [7]. В основе метода конструирования различных бегущих волн лежит предположение о функциональной зависимости между некоторыми искомыми функ циями, описывающими поля физических величин. Это предположение приводит к пе реопределенной систем уравнений с частными производными, анализ совместности которых для конкретных систем уравнений механики позволил получить классы точных физически содержательных решении и в ряде случаев понизить размерность задачи. [c.16]

Отправным пунктом вычислительного эксперимента является физико-математическая модель. Прежде чем переходить к построению численных алгоритмов, ее необходимо исследовать, так как для выбора наиболее эффективных методов численного решения задач большую роль играет знание основных закономерностей изучаемых явлений. При исследовании математической модели используются все традиционные методы и средства, которые включают в себя отыскание аналитических решений в частных случаях, построение асимптотик, применение теории размерностей и подобия [75] и т. д. Значительную помощь в получении информации об изучаемом процессе может оказать анализ инвариантных решений, вид которых определяется из теории групповых свойств дифференциальных уравнений [48, 63]. Наиболее распространенными типами инвариантных решений являются автомодельные решения и решения типа бегущих волн. Автомодельные решения позволяют дать качественную картину отдельных сторон исследуемых процессов. Следует отметить, что при учете большого числа физических эффектов класс автомодельных решений существенным образом ограничен. Однако несмотря на это их свойства зачастую характерны и для более общих случаев. Они могут дать достаточно широкую информацию о сложных нелинейных процессах и позволяют установить зависимости характерных величин от различных параметров задачи. Автомодельные решения представляют собой также хорошие тесты для отработки методов численного интегрирования. Сопоставление результатов расчетов с известными решениями позволяет судить о точности разностных схем, скорости сходимости и т. д. Поэтому построение тестовых решений, в том числе автомодельных, представляет собой необходимый элемент в общей программе конструирования численных методов. Следует подчеркнуть, что при выполнении [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...