Вейерштрасса теорема

Вейерштрасса теорема 92 Вольтерра полином 104, 106 Вольтерра функционал 99, 101 Винера-Хопфа уравнения 18, 20 [c.213]

На основании теоремы Вейерштрасса о факторизации можно получить [c.108]

Замечание. В задаче трех тел тройные столкновения возможны лишь при Л=0 (теорема Вейерштрасса без доказательства). [c.194]

Однако это предположение опровергается, если обратиться к теоремам Вейерштрасса и Бернштейна о точности приближения непрерывных на данном отрезке функций полиномами. [c.133]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

По поводу этого интересного письма необходимо отметить, что С. В. Ковалевская совершенно не упоминает о работах Римана, которые не могли быть ей не известны, так как книга Неймана, о которой она говорит в письме, написана именно с точки зрения Римана. Как известно, центральной и исходной теоремой, на которой построена теория Вейерштрасса, является теорема сложения абелевых интегралов, знаменитая теорема Абеля, представляющая, в свою очередь, гениальное обобще- [c.20]

Допустим, что функции Г(х), (х, //) аналитичны. Тогда каждый из членов итерационной последовательности (5) будет аналитической функцией параметра /X. Отсюда по теореме Вейерштрасса о сходимости последовательности аналитических функций [11] следует, что и предельная функция ж (//) аналитична (см. также [6], [10]). Таким образом, сходимость итерационного процесса достаточна для сходимости ряда (4). [c.409]

Замечание. С помощью теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении [5] можно доказать, что множество М С , I ) является ключевым для класса А Г, Г ) тогда и только тогда, когда М имеет предельную точку, лежащую внутри интервала (/, /"). [c.26]

Абелевы функции одного комплексного переменного — это в точности эллиптические функции. Согласно теореме Вейерштрасса — Пуанкаре, между любыми т + 1 абелевыми функциями с одинаковыми периодами всегда существует алгебраическое соотношение. [c.112]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Изучим теперь уравнения Гамильтона с гамильтонианом (6.5), где функция Л — тригонометрический многочлен. Этот случай представляет значительный теоретический интерес, так как по теореме Вейерштрасса системы такого вида образуют всюду плотное множество. [c.406]

Примем два допущения. Первое из них имеет чисто математическое содержание и опирается на известную теорему Вейерштрасса, утверждающую, что любую непрерывную в замкнутом промежутке функцию можно приблизить равномерно полиномами. На основе этой теоремы можно предположить, что приближенное решение задачи (компоненты вектора смещения и и тензора напряжений) можно искать в виде полиномов некоторой степени N по переменной —Ь к). [c.272]

И, наконец, если члены ряда (1) являются аналитическими функциями в замкнутой области О с контуром С и ряд равномерно сходится на контуре С, то он сходится равномерно и во всей области О, сумма-его представляет собой аналитическую функцию внутри области О, а ряд (1) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз (теорема Вейерштрасса). [c.530]

Наконец, отметим необходимый для дальнейшего факт. Так как ряд (3) сходится равномерно внутри своего круга сходимости, то к нему применимы теоремы, сформулированные выше для общего случая рядов с переменными членами, в частности, и теорема Вейерштрасса. Поэтому сумма степенного ряда (3) является аналитической функцией внутри круга сходимости этого ряда, а ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз. [c.530]

Доказательство. По предложению 4.1.15 достаточно показать, что временные средние каждой функции из плотного множества непрерывных функций равномерно сходятся к константе. По теореме Вейерштрасса тригонометрические полиномы образуют плотное множество в пространстве всех непрерывных функций в равномерной топологии. Кроме того, равномерная сходимость к константе — линейное свойство если функции 1р и ф обладают этим свойством, то оно также выполнено для функции а(р Ьф, где а и Ь — постоянные числа. Таким образом, достаточно проверить равномерную сходимость для любой полной системы функций, например для набора функций Хт(х) = е . При тфО получаем Хт( а ) = = [c.156]

В силу равномерной сходимости ряда отсюда следует, что нужно. Ввиду особого значения этой теоремы для дальнейшего приведем еще одно доказательство, могущее также представить самостоятельный интерес. Из теорем, соответствующих теоремам Вейерштрасса в комплексной области, следует утверждение о том, что гармонические полиномы Р[ х) образуют в пространстве С полную систему на контуре для любой односвязной области, ограниченной спрямляемой кривой [c.399]

Здесь уместно вспомнить, что по определению гильбертово ( -пространство является полным. Это означает, что любая последовательность подчиняющаяся сильному условию Коши, т. е. Н / — -> О, является в этом пространстве сильно сходящейся. Однако гильбертово пространство обладает полнотой также и в слабом смысле ([947], т. 1, стр. 71). Множество векторов называется компактным, если во всякой принадлежащей ему последовательности содержится сильно сходящаяся подпоследовательность множество векторов называется слабо компактным, если из каждой последовательности, входящей в это множество, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Часто оказывается полезным то обстоятельство, что любое ограниченное (в сильном смысле) множество в гильбертовом пространстве является слабо компактным ([947], стр. 79). Это утверждение— слабый аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, которая не справедлива для гильбертова пространства в сильном смысле. Верно и обратное утверждение каждая слабо сходящаяся последовательность является ограниченной в сильном смысле ([947], стр. 71). [c.163]

Представления с использованием полюсов (для потенциалов с конечным радиусом действия). Целую функцию f (k) можно представить в виде бесконечного произведения. Если считать, что f (0) Ф О, то, согласно теореме о факторизации Вейерштрасса ) в форме Адамара, [c.338]

Но / — голоморфная функция которая для всех значений может быть разложена в абсолютно сходящийся ряд по степеням Следовательно, по теореме Вейерштрасса правую часть (8) можно представить рядом по степеням , который сходится в области (9) для всех значений lf . Но этот вывод, очевидно, нельзя получить, если величина 1 -)- а — 2 а os /о при определенном значении /о становится равной нулю. [c.498]

Этот результат принадлежит Зундману (1913 г.) он следовал более ранним работам Пуанкаре и Вейерштрасса, в которых были получены разложения решений задачи п тел в сходящиеся ряды по степеням вспомогательной переменной ш при отсутствии соударений. Что касается возможности соударений, то в задаче трех тел они бесконечно редки с помощью теоремы [c.73]

Замечание. Существование А вытекает из подготовительной теоремы Вейерштрасса [229]. Всякая голоморфная функ- [c.97]

Подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть (а )—отображение конечной кратности и еь.... .., вц — система образующих его локальной алгебры Qf. Тог- [c.169]

Величина / называется моментом функции / х) в отношении полинома Рп(х). Согласно теореме Вейерштрасса всякую непрерывную функцию на любом конечном сегменте можно приблизить с помощью полиномов от х >. Поэтому искомые величины —компоненты вектора перемещения щ, тензора напряжений и тензора деформаций 6, (г, /=1,2,3), рас- [c.184]

Зундманом была доказана важная теорема позднее выяснилось, что эта теорема была известна Вейерштрассу, но не была им доказана. Теорема гласит [c.46]

Это означает, что соотношение (7) справедливо для всех функций = (Л — г) (Л + г)- , где А ,/—целые неотрицательные числа. Учтем еще, что согласно одному из вариантов теоремы Стоуна—Вейерштрасса (см. [19], т. 1) любая непрерывная стремящаяся к нулю функция может быть аппроксимирована в С(М) полиномами от (Л — + 0 Поэтому (6) будет выполняться для произвольной (р С (М). [c.256]

Выберем теперь в фазовом пространстве произвольную е-ок-рестность, целиком лежащую внутри Д-окрестности и содержащую начало координат в качестве внутренней точки. На границе этой е-окрестности функция Е непрерывна и ограничена, а сама граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек. Поэтому в силу теоремы Вейерштрасса существует принадлежащая границе е-окрестности точка, где Е достигает минимума на границе. Пусть этот минимум равен Е = Е. В связи с тем, что всюду на границе е-окрестности > О, во всех точках этой границы [c.226]

Так, например, 1-я теорема Вейерштрасса в формулировке И. П. Натансона [13] говорит о том, что всякая непрерывная на сегменте а, Ь) функция служит пределом некоторой равномерно сходящейся последовательности полиномов. И, следовательно, може быть разложена в равномерно сходящийся ряд полиномов. [c.133]

Например, если функция f x) на данном интервале а<х<Ь непрерывна, то её можно равномерно апроксимировать при помощи полиномов (теорема Вейерштрасса). Это означает, что абсолютную величину разности между f(x) и суммой [c.262]

Для регуляризации ограниченной задачи трех тел Г. Армеллини предложил преобразование переменной более простое, чем Сундман. В случае общей классической задачи п тел он доказал, что при наличии только парных соударений между точками с интервалами, имеющими отличную от нуля нижнюю границу, координаты точек и время являются аналитическими функциями некоторого аргумента вдоль действительной оси. Б. П. Ермаков показал, что при комплексных значениях времени теорема Слудского— Вейерштрасса не правомерна. [c.113]

Яг-и г+ь Як по теореме Вейерштрасса ) она достигает при условиях (15.16) своего наименьшего значения которое, как сказано выше, дЬлжно быть положительным. Таким образом, при условиях (15.16) и при = е справедливо неравенство V > 0. Рассмотрев все значения I от 1 до к, получим положительные числа Уи Уи Выберем еще одно положительное число Уо, меньшее каждой из этих величин — это всегда можно сделать, ибо число к степеней свободы системы конечно. [c.430]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Очень жаль, — пишет она о работах Вейерштрасса 8.1.1881г., — что мы, может быть, никогда не увидим полного изложения его теории абелевых функций, потому что, по моему мнению, одна из величайших заслуг Вейерштрасса состоит в единстве его метода и в способе, одновременно логическом и естественном, какими он выводит всю теорию из одной основной теоремы и представляет ее действительно как органическое целое но как раз эту сторону его гения теряют полностью из вида при печатании его исследований отдельными кусками, как это делалось до сих пор, и это правильно оценивается только небольшим числом его учеников. [c.20]

По теореме Вейерштрасса об апроксимации [46] существует тригонометрический полином Р ср), для которого [c.168]

Общая теория обобщенных аналитических функций w t, t) была построена И. Н. Векуа [51] в предположении, что козффициенты А В суммируемы со степенью р> 2. В частности, доказаны изолированность нулей и полюсов, справедливость теоремы Сохоцкого — Вейерштрасса для окрестности существенно особой точки, аналог теоремы Лиувилля и т. д. Были получены обобщенная формула Коши и обобщенный интеграл типа Коши. Подобные функции под названием псевдоаналитических изучались Л. Берсом [172] и др. [c.236]

Система круговых полиномов содержит - (n-f 1)(п- -2) линейно независимых полиномов степени п. Следовательно, любой одночлен х уЦ1 0, j O — целые числа) и любой полино.м по х и у можно представить в виде линейной комбинации конечного числа круговых полиномок V . Тогда в соответствии с теоремой Вейерштрасса ) такая система будет полной. [c.704]

Необходимое условие п-кратного соударения теорема Вейерштрасса — Слудского — Зундмана) [5], [6], [61]. Необходимым условием м-кратного соударения в задаче п тел в конечный вещественный момент времени является равенство нулю момента количества движения с системы. [c.819]

Требуемую плотную последовательность векторов можно построить так. Возьмем все полиномы по переменным xi,. .., Хп, действительные и мнимые части коэффициентов которых — рациональные числа, и умножим их на последовательность бесконечно дифференцируемых функций, равных 1 внутри сферы радиуса га, и О вне сферы радиуса /г + 1. Получающееся множество счетно и в соответствии с теоремой Вейерштрасса, по которой непрерывную функцию можно аппроксимировать компактным множеством полиномов, вполне правдоподобно, что наше, множество имеет любой вектор в S и своей предельной точкой. Здесь это показано не будет. (Доказатёльство см. в ссылке [24], стр. 373.) [c.57]

Выполняется теорема Вейерштрасса, знакомая из теории голоморфных функщ1Й одного комплексного переменного, согласно которой такой ряд можно дифференцировать почленно. Пользуясь этим, имеем [c.74]

Эта теорема приведена в статье Ф. А. Слудского [30], ее знал, по-видимому, Вейерштрасс и независимо доказал К. Сундман в своей знаменитой работе, посвященной регуляризации решений задачи трех тел [51], [3], [5]. [c.36]

Действительно, при отображении >1 рассматриваемая сфера За, будучи замкнутым множеством, переходит в некоторое- ограниченное замкнутое множество эвклидового пространства. Но последнее, по теореме Больцано-Вейерштрасса, компактно в себе, а следовательно, компактна в себе и сфера 5о. [c.157]

Оператор (I+Bo)" ограничен, (I-l-Bo) (B—Во)—вполне непрерывен в /2°(0<сг<1) и при достаточно малых т) сколь угодно мал по норме. Тогда, если В(т)) и t(ri) аналитичны в окрестности точки TjsO, то, с учетом теоремы А, признака равномерной сходимости Вейерштрасса [11] и оценок (3.4.20), (3.4.21), из (3.5.2) вытекает аналитичность Р(т)) в окрестности точки т) = 0. Таким образом, требуется доказать аналитичность В(т)), 1(т)), определяемых соотношениями (3.4.10), (3.4.11). [c.132]

Функции ул(т)) в условиях теоремы аналитичны >>. Учитывая этот факт, легко установить аналитичность An(ri) fi—7п)= (л) и dp(Ti) на римановой повер 10сти логарифма [10]. Далее, из теоремы А и упомянутого выше признака Вейерштрасса вытекает аналитичность B(ti), t (ifi). Теорема доказана. [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...