Координаты криволинейные ортогональные цилиндрические

Такую систему координат называют цилиндрическими ортогональными криволинейными координатами х , х , х = Xg. В зависимости от системы криволинейных координат на плоскости цилиндрическим координатам приписывается соответствующее название. Например, полярные цилиндрические координаты (рис. 6.2), эллиптические цилиндрические координаты (рис. 6.3) и т. д. [c.121]

Описанные выше одномерные и двумерные течения являются определенной идеализаций, которая практически применима для ряда технических актуальных задач. Но во многих случаях, когда течения даже приближенно нельзя рассматривать как одно- или двумерные, возникает необходимость решать более сложные задачи о пространственных или трехмерных течениях. Возможность их решения в значительной степени зависит от выбора системы координат. Часто оказываются удобными различные криволинейные ортогональные системы, например цилиндрическая и сферическая. [c.269]

С равенством (7.42). Вообще для любых криволинейных ортогональных координат матрица коэффициентов будет диагональной (но диагональные элемент-ы ее не обязательно будут равны, как в случае декартовых координат). В случае, например, цилиндрических координат элемент длины будет равен [c.259]

Упражнения к этой главе затрагивают также две дополнительные темы. Первая из них связана с условиями совместности и функциями напряжений. В задачах 18 и 19 дан систематический метод получения функций напряжений в случае растяжения пластины, а также ее изгиба с использованием условий совместности. Вторая тема относится к теории изгиба пластины, представленной в криволинейных координатах. Задачи 20—23 посвящены теории изгиба в неортогональной системе координат, в косоугольной системе координат, в ортогональной криволинейной системе координат и в цилиндрической системе координат соответственно. В задаче 24 рассматривается теория изгиба пластины с учетом деформации поперечного сдвига в неортогональной криволинейной системе координат. [c.248]

Задачи Q и Q12. Рассматривается цилиндрическое тело, описываемое в координатах а, (3, z а я j3 — криволинейные ортогональные координаты на плоскости) соотношениями а R, Bi (3 В2, —оо < [c.25]

Рассмотрим цилиндрическое тело, описываемое в координатах а, Р, Z а и Р — криволинейные ортогональные координаты на плоскости) соотношениями о R, В (3 В2, —оо < < оо. Пусть штамп жестко закреплен на поверхности /3 — В2 в области о А < [c.153]

Большая часть уравнений, приведенных в тексте, записана в прямоугольных, цилиндрических или сферических координатах. Заметное исключение составляют уравнения пограничного слоя, для вывода которых необходимо было использовать параллельные координаты, и решение обтекания эллипсоида, для которого были введены эллипсоидальные координаты. Унифицированная форма всех этих уравнений может быть дана в криволинейных ортогональных координатах. [c.376]

Рассмотрим в виде упражнения вывод уравнения неразрывности в цилиндрических, сферических и общих криволинейных ортогональных координатах. [c.27]

Кроме уже рассмотренной ортогональной декартовой системы, в дальнейшем широко используются системы криволинейных координат, такие, как цилиндрическая (7 , 0, г) и сферическая (г, 0, ф), изображенные на рис. 1.7. С этими системами связаны триэдры едп- [c.19]

Криволинейные координаты. Во многих случаях является целесообразным заменить декартовы координаты криволинейными например, при наличии осевой и шаровой симметрии цилиндрические и сферические координаты являются наиболее подходящими при решении задач. Чтобы провести наиболее простым образом преобразование основных уравнений, выразим сначала составляющие тензора деформации непосредственно в криволинейных координатах (ограничиваясь случаем ортогональности их) далее, при помощи минимальных принципов сформулируем условия равновесия. [c.56]

Часто весьма целесообразно оперировать основными уравнениями теории упругости в криволинейных ортогональных системах координат. Правда, это требует применения тензорного исчисления в общей форме, от которого в этой книге сознательно отказываются. Однако необходимые для дальнейшего основные соотношения для наиболее часто встречающихся криволинейных координат — цилиндрических и сферических приведены без вывода К [c.71]

Ортогональные криволинейные координаты (62).— 2Ю. Компоненты деформации в ортогональных криволинейных координатах (64). — 21. Объемное расширение и вращение в ортогональных криволинейных координатах (66).—22. Цилиндрические и полярные координаты (67). — 22С. Дальнейшая теория ортогональных криволинейных координат (68). [c.7]

Остановимся на двух наиболее употребительных криволинейных ортогональных координатах — цилиндрических и сферических, для которых соответственно [c.15]

Остановимся на двух наиболее часто встречающихся криволинейных ортогональных координатах х, — цилиндрических и сферических, для которых [c.30]

Наряду с прямолинейными декартовыми для записи уравнений и их решений используются ортогональные криволинейные координаты цилиндрические, сферические и т. п. Например, при движении гибкого стержня по цилиндрической поверхности наиболее удобными координатами для записи уравнений являются цилиндрические координаты. На рис. П.4 показаны цилиндрическая система координат и соответствующий базис е,)(ег, е,, еу). Более подробно о криволинейных осях сказано в п. 2.8. [c.291]

Однако не всегда удобно задавать поверхность именно в декартовых координатах. Целесообразно систему координат связать с самой поверхностью, выбрав на ней две системы координатных линий т . В качестве таких линий чаще всего выбираются линии кривизн, которые образуют на поверхности ортогональную сетку (рис. 7.4, а). Параметры , т) называются криволинейными координатами точек поверхности. Конкретный смысл этих координат может быть различным. На рис. 7.4, б, в показаны цилиндрические и сферические координатные линии. [c.199]

В приложении приводятся сведения об ортогональных криволинейных координатах и даются выражения для некоторых дифференциальных операторов поля в сферической и цилиндрической системах координат. [c.9]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Важнейшими ортогональными криволинейными координатами являются цилиндрические, сферические и (на плоскости) полярные системы координат (см. п. 4,1.1). [c.107]

Часто в приложениях, связанных с телами вращения, необходимо легко переходить от системы ортогональных криволинейных координат вращения к круговым цилиндрическим координатам, и наоборот. Соотношения, полученные ниже, аналогичны рассмотренным в разд. А.6, за исключением того, что настоящие результаты ограничены специальным классом систем ортогональных криволинейных координат, определенных в (А.14.1). [c.577]

Исходными координатами или переменными Лагранжа называют координаты (относительно принятой ортогональной, прямолинейной или криволинейной, т. е. декартовой, цилиндрической или сферической системы координат) геометрической точки, с которой совпадал рассматриваемый материальный элемент (материальная точка) физического тела, в некоторый определенный, предшествующий рассматриваемому текущему моменту времени (например, в начальный момент процесса деформации). [c.203]

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

Для удобства дальнейшего использования приведем записи уравнения неразрывности (1.26), уравнений движения (1.10) или (1.25), уравнений Громеки - Ламба (1.12) или (1.28) и уравнений Гельмгольца (1.14) или (1.29) в произвольной ортогональной системе криволинейных координат, а также в наиболее часто используемых случаях в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Отметим, что переход к уравнениям движения идеальной жидкости для любой формы записи уравнений формально получается, если положить v = О. [c.36]

Пусть х представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а — любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор х, имеющий декартовы компоненты х , называется радиусом-вектором произвольной точки Р (х1, х , х ) в декартовой системе. Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками Р (х) и (х + йх) дается формулой [c.25]

До сих пор мы использовали прямоугольную декартову систему координат. Однако оказывается, что во многих задачах теории упругости удобнее пользоваться ортогональными криволинейными системами. Так, в осесимметричных задачах удобнее пользоваться полярной или цилиндрической системами координат. В задачах, связанных с деформированным состоянием шара, оказывается удобной сферическая система координат, и т. д. [c.168]

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) —(2.77), (2.80), (2.81) и (2.84) — (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)). [c.63]

Скорость и ускорение движущейся материальной точки можно представить проекциями на оси любой системы криволинейных (как ортогональных, так и косоугольных) координат. Однако при решении практических задач чаще всего используется система декартовых, цилиндрических и сферических координат. [c.16]

Цилиндрические и сферические координаты — хорошо известные примеры ортогональных криволинейных координат. [c.477]

Для описания движения сплошной среды, моделирующей твердое деформируемое тело в процессе его обработки давлением, применяются скалярные, векторные и тензорные поля. Например, распределение температур в объеме деформируемого тела описывается скалярным полем. Распределение скоростей точек деформируемого тела описывается векторным полем. Напряженное состояние деформируемого тела описывается полем тензора второго ранга. С теорией скалярного и векторного полей в прямоугольных декартовых и некоторых ортогональных криволинейных (например, цилиндрических) координатах читатель знаком из курса математики. Вектор является тензором первого ранга, и нам предстоит сделать некоторые обобш,ения на случай тензорных полей более высокого, в первую очередь второго ранга, чтобы иметь возможность описать напряженное и деформированное состояния тела. [c.14]

Введем криволинейную ортогональную систему координат ( , С)- Поверхность 7] = О совпадает с поверхностью тела или некоторой поверхностью, лежащей внутри следа за телом, г] отсчитываем по нормали к этой поверхности. На цилиндрической поверхности = onst, нормальной к поверхности тела, заданы начальные данные, т. е. известны функции течения в зависимости от ( иг] ( = onst — цилиндрические поверхности, ортогональные семействам и rj). Необходимо найти производные по координате [c.317]

Рассмотрим решение уравнения Максвелла (3.256), (3.257) внутри зоны (канавки). Для этого сначала рассмотрим задачу о распространении электромагнитной волны внутри наиравдающей структуры (волновода). Предположим, что сечение вошовода представляет собой область, расположенную между двумя парами кривых, которые являются координатными линиями одной из криволинейной системы координат эллиптической, параболической, цилиндрической жлж декартовой. Название системы координат совпадает с названием кривой второго порядка, которая описывает сечение направляющей стру , ,ур Стецщ направляющей структуры будем считать идеально проводящими. Введем ортогональные криволинейные координаты по формулам X = х и, и), / = у и, ю). [c.196]

Трансверсально изотропная круговая цилиндрическая оболочка. Пусть срединная поверхность круговой цилиндрической оболочки с радиусом кривизны Д=соп81 отнесена к криволинейной ортогональной системе координат а, р так, что а направлена вдоль образующей оболочки, а р — по дуге крута поперечного сечения. Тогда для коэффициентов первой квадратичной формы [c.125]

Пусть а, р — расстояния в криволинейной ортогональной системе координат, связанной с линиями тока, причем координата а направлена вдоль линии тока, ар — в касательной плоскости к поверхности тела, перпендикулярно линиям а=соп81. Цилиндрическая система координат г, ф связана с координатами а, р соотношениями [c.275]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Исходная теория трехслойных оболочек произвольной формы была построена Рейсснером [232]. На оболочки с ортотропными несущими слоями и заполнителем она, по-видимому, впервые была распространена в работе Стейна и Майерса [268], где рассмотрены цилиндрические оболочки. Общей теории оболочек с анизотропными слоями посвящено удивительно мало работ. Можно отметить только исследование Ву [311], посвященное нелинейной теории пологих оболочек с ортотропными несущими слоями и линейную теорию Мартина [183], в которой трехслойные оболочки с анизотропными слоями описываются в общей ортогональной системе криволинейных координат. Осесимметричное нагружение трехслойных цилиндрических оболочек с ортотропными несущими слоями рассмотрено в работах Бейкера [25] и Элдриджа [91]. [c.247]

Поверхность, мысленно проведенная в напряженном теле, во всех своих точках касающаяся главных площадок с одноименными главными напряжениями (ai, или или Стд), называется изостатической. Через каждую точку напряженного тела проходят три ортогональные (в силу ортогональности главных напряжений) изостатические поверхности. Тремя системами изоСтатических поверхностей все тело разбивается на бесконечно малые криволинейные шестигранники, касательные плоскости к граням которых совпадают с главными площадками. При изменении нагрузки изостатические поверхности изменяются. В случае, когда напряжения зависят лишь от двух координат точек тела, например от X и и не зависят от г, одна из систем изостатических поверхностей превращается в плоскости, перпендикулярные оси г, а две другие представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные указанным плоскостям и ортогональные между собой. Следы, оставляемые этими поверхностями на плоскостях, перпендикулярных г, называются изостатами или иначе траекториями главных напряжений. [c.446]

Векторы и полиадики часто удобно выражать через их компоненты в некоторой системе криволинейных координат q , например в декартовых координатах х, у, z, сферических координатах г, 0, ф, в цилиндрических координатах р, ф, z. В этой книге используются только ортогональные криволинейные координаты, а приведенные выше системы являются примерами систем [c.599]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Из равенства (7.4.11) следует, что изотермическая сетка на поверхности I, г определяется при помощи интегралов (7.4.16). Заметим, что класс поверхностей вращения, цилиндрических и конических поверхностей при соответствующем выборе координатных сеток удовлетворяет равенствам (7.4.14). Действительно, выберем для произвольных поверхностей вращения в качестве криволинейных координат долготу и ширину д (рис. 74). Сети д1==соп81 и д2=сопз1 на поверхности будут взаимно ортогональны. Расстояние г точки, расположенной на поверхности вращения, до начала координат будет [c.162]

Во многих случаях, как, например, при изучении вопроса об обтекании цилиндра или сферы, бывает удобно пользоваться, вместо прямолинейных прямоугольных коордннат х, у, г, криволинейными координатами, чаше всего ортогональными, например, цилиндрическими или сферическими. Представляет поэтому интерес иметь [c.389]

В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69]

Зависимости Бельтрами — Митчелла в тензорной форме в записи, несколько отличной от (11.13), приводятся в книге Ю. А. Круткова (стр. 93). Выражения этих зависимостей в системе ортогональных криволинейных координат (11.17) автору не приходилось встречать в литературе в частном случае цилиндрических координат при наличии симметрии вращения зависимости Бельтрами—Митчелла получены довольно кропотливым путём в известном курсе С. П. Тимошенко (стр. 341), См. также (11.18). [c.70]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...