Тензор первого ранга

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Тензором называют физический или геометрический объект, который в трехмерном пространстве аналитически определяется системой 3 чис л — компонент тензора. Число п определяет ранг тензора. Так, например, вектор аналитически определяется системой трех чисел — проекций вектора на оси координат или компонент вектора, а потому он является тензором первого ранга, так как 3" = 3 п /1=1. [c.110]

Тензору напряжений, как и любому другому тензору о двумя индексами (тензору второго ранга), можно поставить в соответствие геометрический образ — поверхность второго порядка, так же как тензору с одним индексом (тензору первого ранга, или вектору) можно поставить в соответствие прямолинейный отрезок, а числу (тензору нулевого ранга) — точку на числовой оси. [c.551]

Тензоры первого ранга (N=1) имеют в трехмерном пространстве компоненты п=3 =3, оии называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как числовым значением, так и направлением. При мерами векторов могут служить сила, скорость, ускорение и т. д. Графически вектор изображается направленным прямолинейным отрезком, длина которого в масштабе соответствует значению вектора или его модулю. Векторы обозначаются строчными буквами с черточкой вверху, например а, Б и т. д. Модули векторов означаются, как скаляры, т. е. а =а, 151=6 и т. д. Отрицательным по отношению к данному называется вектор с тем же модулем, но противоположно направленный. Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице. Единичные векторы обозначим крышечкой над буквой, например й, S, д. [c.7]

Тензоры первого ранга (векторы) иногда представляют в виде матрицы-строки или матрицы- столбца в круглых скобках [c.8]

Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются буквами с одним свободным индексом, например ai. Тензоры второго ранга (диадики) обозначаются символами с двумя индексами. Так, тензор (1.19) обозначается просто aj/. [c.11]

Равенство (1.40) дает закон преобразования декартовых тензоров первого ранга (векторов) [c.12]

Так как формулы преобразований (1.39) и (1.40) линейны относительно компонент тензоров, можно распространить аналитический закон сложения тензоров первого ранга (векторов) на тензоры второго ранга, а также на тензоры высших рангов. [c.46]

Сумма —результат действия свертывания по индексам а и Р, выполненного над тензором Т а.]. Покажем, что действие свертывания по одной паре индексов понижает ранг тензора на две единицы, т, е. величины являются компонентами тензора первого ранга, т. е. компонентами вектора. Чтобы это доказать, надо рассмотреть закон преобразования величии Та ,. На основании формул преобразования (1.71) имеем [c.57]

Примеры тензоров первого ранга (ранга 1). Как показывает формула (1.11) в совокупности с (1.15), вектор — элемент R является тензором ранга к [c.310]

По числу компонент — в случае вектора это три его проекции на оси координат — вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. [c.116]

В анизотропных кристаллах диэлектрическая проницаемость различна в разных направлениях. (Например, в кристалле тита-ната бария, имеющего тетрагональную структуру, в направлении оси четвертого порядка, в переменном поле частоты 1 кГц е=200, тогда как в любом направлении, перпендикулярном этой оси, е— =4000). Анизотропия диэлектрической проницаемости описывается тензором второго ранга ец. Это следует из уравнения (8.12), в котором D и Е — векторы, т. е. тензоры первого ранга. В тензорной записи это уравнение имеет вид [c.277]

Тензор первого ранга имеет истолкование не только как вектор. Рассмотрим, например, инвариантную линейную форму [c.392]

По аналогии с определением тензора первого ранга определяется тензор второго ранга. [c.392]

Например, в результате тензорного (внешнего.) умножения двух тензоров первого ранга (о ) и [bj), т. е. векторов, получим тензор второго ранга (С( ), который называется диадой. Компоненты диады [c.394]

По аналогии с представлением вектора (тензора первого ранга), контравариантные и ковариантные компоненты которого при повороте координатных осей преобразуются по формулам (2 . 11) и (2 . 14), можно дать следующее определение тензора любого ранга и любого строений (контравариантный, ковариантный). [c.410]

Путем свертывания данного тензора с метрическим тензором выполняется операция опускания или поднятия индексов у данного тензора. Эту операцию для вектора (тензора первого ранга) иллюстрируют равенства (2 .22) и (2 .23). Пусть, например, два раза контравариантный тензор а 1 дважды свертывается с ковариантным метрическим тензором. В результате получим два раза ковариантный тензор [c.411]

Сравнение этого равенства с уравнениями преобразования векторов [см. (4.14)] показывает, что тензор первого ранга эквивалентен вектору. [c.167]

Преобразований, которым она можег быть подвергнута, и может рассматриваться совершенно независимо от ее свойств при данных преобразованиях. Тем не менее, неправильно было бы всегда подчеркивать это различие, так как, оставаясь в пределах ортогональных преобразований, мы будем иметь здесь полную идентичность. Составляющие тензора и элементы матрицы преобразуются в этом случае одинаковым образом, и каждому тензорному равенству при этом будет соответствовать некоторое матричное равенство и наоборот. Эквивалентность между тензорами и матрицами не ограничивается тензорами второго ранга. Так, например, мы-знаем, что составляющие вектора, который в сущности является тензором первого ранга, образуют матрицу, состоящую из одного столбца, и поэтому действия над векторами можно трактовать как действия над соответствующими матрицами. [c.168]

При более изящном методе описания, принадлежащем Минковскому, событие определяется четырьмя координатами XI, Ха, Хз, Х4 = гс/. Четыре величины Хц образуют компоненты четырехмерного тензора первого ранга в декартовой системе координат или четырехмерного вектора ), и формулы преобразования Лоренца представляют ортогональное, т. е. сохраняющее длины, преобразование таких компонент. Отсюда следует, что [c.137]

В заключение отметим, что скаляры, векторы, тензоры второго ранга, а также более сложные объекты — тензоры более высоких рангов, могут быть объединены в общую систему и все рассматриваться. как тензоры разных рангов. Скаляр — как тензор нулевого ранга, вектор —как тензор первого ранга. При этом в пространстве п измерений тензор г-го ранга может быть [c.771]

Поскольку Хи и Хтй ЯВЛЯЮТСЯ векторами (тензоры первого ранга), то между ними возможно сочетание, но сочетание с Kj, Y , Y, невозможно согласно принципу Кюри. [c.28]

Все величины (скалярные, векторные и тензорные) можно считать тензорами различного ранга. Скаляр—это тензор нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, > [c.523]

Внешнее или степенное произведение двух тензоров ранга т VI п является тензором т п ранга. Например, диада АВ является внешним произведением двух тензоров первого ранга, (А и В) является тензором второго ранга [c.523]

Внешнее произведение тензора первого ранга (вектора) и тензора второго ранга является тензором третьего ранга [c.523]

Градиент от скалярной величины ф является вектором (тензор первого ранга) [c.12]

Полярный вектор (тензор первого ранга) Хд является термодинамической силой теплопроводности, поток которой равен / [c.25]

Следовательно, тензорные силы второго ранга могут сочетаться между собой или со скалярными силами (скаляр-тензор нулевого ранга), а векторные силы сочетаются между собой и тензорными силами третьего ранга, так как вектор —эго тензор первого ранга. [c.25]

Тензору напряжений, как и любому другому тензору с двумя индексами (тензору второго ранга), можно поставить в соответствие геометрический образ — поверхность второго порядка, так же как тензору с одним индексом (тензору первого ранга, или вектору) можно поставить в соотвегсгвие [c.568]

Мы можем дать другое определение вектору (тензору первого ранга), эквивалентное прежнему. Если для каждой декартовой системы координат х.-имеем совокупность величин а< (i=l, 2, 3), преобразующихся по формуле (1.41) в величины а для новой системы координат x i, то совокупность этих трех величин определяет вектор или тензор первого ранга. [c.12]

В трехмерном пространстве тензоры второго ранга иногда полезно представлять квадратными матрицами третьего порядка, а тензоры первого ранга (векторы)—матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Хотя скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно представлять матрицами, не каохдая матрица представляет собой тензор. Вследствие этого для тензорных величин вместо [c.17]

Произведения такого рода часто встречаются в МДТТ. Так, скалярное произведение двух векторов а-Ъ—Х (двух тензоров первого ранга) можно записать так [c.18]

Итак, абсолютные скаляры, векторь и мультипликативные тензоры являются тензорами различных рангов. Абсолютные скаляры — тензоры нулевого ранга, векторы — тензоры первого ранга, мультипликативные тензоры (1.37) и (1.39)—тензоры второго ранга. [c.45]

Перейдем к рассмотрению полей тензоров первого ранга (векторов). Чтобы образовать выражения, которые можно считать контра-вариантными комионентами дифференциала вектора а, обратимся к формуле (11.60а). На основании этой формулы можно записать [c.386]

Из основ тензорного исчисления следует, что обобщенные скорости у и обобщенные и.мпульсы Р] являются соответственно компонентами контрава-риантного и ковариантного вектора (тензора первого ранга) в системе обобщенных координат. Это, в частности, видно из содержания 61—64. [c.389]

Можно было бы сказать, что скаляр представляет собой тензор нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, а инертные свойства твердого тела характеризуются симметричным тензором, второео ранга. [c.561]

Тензор первого ранга — вектор. Связь между векторами о и с можно выразить через компоненты этих векторов (0 , 02, Оз и Си С2, сз) вдоль 0С6Й X, Y И Z [c.41]

Инвариантный объект, который в системе декартовых осей характеризуется тройкой чисел aj, преобразующихся при повороте осей по закону (1 .П), называется вектором или тензором первого ранга, а эти три числа —его компонентами. [c.392]

При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству [c.167]

Яз. Аналогично, в равенствах (1) преобразования компонентов тензора первого ранга (вектора) при переходе от одной системы ортогональных осей к другой системе, правые части представляют собой линейные функции (функции первой степени) относительно направляющих косинусов /i, т ,. ... з- Учитывая неизменность числа а, определяющего тензор нулевого ранга (скаляр) в любой системе координат, формулу преобразования для скаляра при ререходе от одной системы ортогональных осей к другой, аналогичной, можно представить в виде [c.772]

Тензоры различаются по валентности или по рангу, под которыми понимают измерения входящих в полиадные произведения векторов или количество индексов в обозначении компонентов тензора. Так, например, ранг тензора, составленного из полиадных произведений (1), равен п. Таким образом, очевидно, что векторы являются тензорами первого ранга и скалярные величины — нулевого ранга. [c.58]

Хт являются тензорами первого ранга, так как градиенты от скалярных величин Т и [l/T являются векторами. Термодинамической движущей силой химических и фазовых оревращений является величина химического средства Ai, нротюрциональная разности скалярных величин (р г—Pi), т. е. является тензором нулевого ранга. Перенос количества движения 1ЖИДК0СТИ или перенос импульса описывается тензором второго ранга. [c.13]

Термодинамические силы Х и Хт являются тензорами первого ранга (векторами) поэтому между ними возможно сочетание. Это сочетание дают налагающие явления переноса эффект Соре при молекулярном переносе тепла я эффект Дюфо при диффузии вещества. Одна1КО сочетания теплопроводности или диффузии с химическими и фазовыми превращениями быть не может, так как разница в рангах между силами А и и Ai или между Х . и Ai равна единице (нечетное число). Так же не может быть сочетания между молекулярными переносами тепла и количества движения или между диффузией и внутренним трением, так как термодинамические силы молекулярного переноса тепла и массы являются тензорами первого ра нга, а термодинамические силы молекулярного переноса количества движения — тензоры второго ранга (разница в рангах тензоров выражается нечетным числом). Однако в некоторых частных случаях внутреннее трение можно рассматривать как молекулярный перенос кинетической энергии движения потока жидкости, который происходит под действ ием термодинам1ической силы — кинетической энергии движения (градиент от скаляра). В этом случае возможно сочетание между молекулярными переносами тепла, массы вещества И энергии движения жидкости, так как все они описываются действием термодинамических сил, которые являются тензорами одинакового ранга (векторами). На основании принципа Кюри возможно сочетание между молекулярным переносом количества движения (объ-емиая вязкость) и процессами химических и фазовых превращений, так как в первом случае силы Л,- являются тензором нулевого ранга, а во втором случае — тензором второго ранга. Следовательно, разница в рангах тензоров равна двум (четное число), и поэтому сочетание между ними возможно. [c.13]

Обобщенная операция ди,ф ференцирования обозначается символом V (набла), называемым оператором Гамильтона. Эта величина является вектором (тензором первого ранга) и равна [c.524]

Величина М в общем случае является тензором. В случае ферромагнетиков и ферроэлектриков это тензор первого ранга (вектор), в случае сегнетоэластиков—тензор второ- [c.294]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...