Асимптотическое Методы вычисления

Асимптотические методы вычисления интегралов [c.108]

Таким образом, задача сводится к отысканию коэффициентов Ki и Кц. Для этой цели пригодны в принципе все методы, упомянутые выше. Например, асимптотические методы обеспечивают решение системы из двух уравнений для каждого узла или точки, где вычисляются напряжения. Применимы и энергетические методы для криволинейной трещины достаточно эффективен вариант метода ее закрытия, для прямолинейной — метод виртуального роста трещины [24, 191]. Приведем выражения, вытекающие из (9.6), (9.8) для вычисления компонентов потока энергии Л и /г- [c.94]

Математически асимптотические методы являются методами для разложения функций, вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений их точность возрастает по мере приближения некоторого параметра к предельному значению. При применении этих методов приходится часто сталкиваться с интегралами типа [c.35]

Другой способ решения основан на формуле (7.104) при допущении, что выделена одна трещина, которая наиболее опасна. Распределение размера I этой трещины как функции времени найдем, применив асимптотический метод. Некоторые результаты вычислений с помощью этого метода приведены в работе [14]. [c.296]

Для вычисления элементов системы (2.35) необходимо знать решения интегральных уравнений (2.34), которые соответствуют хорошо изученной контактной задаче о кручении штампом упругого слоя, и поэтому для их решения с успехом могут быть использованы эффективные асимптотические методы [88]. [c.60]

В табл. 3.8 для сравнения приводятся значения величин q (f) и Р, вычисленные методом редукции и асимптотическим методом для некоторых значений х, Ь — Ь2, h — 0,5 и v — 0,3. [c.125]

В случае антиплоской задачи вычисление неоднородных решений не представляет трудностей, поэтому остановимся на решении интегрального уравнения. Интегральное уравнение (5.34) допускает точное решение, но в целях эффективной численной реализации всей схемы решения в целом воспользуемся асимптотическим методом больших Л, изложенном в 1.3. Выбор этого метода связан также с тем, что практический интерес представляет область значений параметров задачи, [c.193]

Асимптотические методы решения уравнений Навье — Стокса нашли применение к задачам обтекания малых препятствий или неровностей, расположенных в основании пограничного слоя [59, 60]. В работе [59] рассматривается обтекание несжимаемой жидкостью единичной шероховатости , т. е. выступа с высотой, много меньшей толщины пограничного слоя. Исследуется такой режим течения, при котором число Рейнольдса, вычисленное по характерному размеру выступа и скорости внутри пограничного слоя на высоте выступа, у таЪ, велико. Поэтому в первом приближении для области с характерным размером порядка высоты выступа задача сводится к решению уравнений Эйлера. Использование принципа сращивания асимптотических разложений позволяет определить граничные условия в набегающем на выступ потоке и вдали от него. В этих местах возмущения, вносимые выступом, должны затухать. Невозмущенный поток локально имеет вид и у, у = 0. Коэффициент пропорциональности в формуле для и должен соответствовать местному значению напряжения трения на дне невозмущенного пограничного слоя. В работе [59] исследованы также течения около выступов, постепенно понижающихся вверх и вниз по потоку. Показано, что при слишком резком [c.262]

Усреднённые уравнения (3.18), (3.19) описывают движение осесимметричного тела произвольной конфигурации, имеют гладкие правые части, их численное интегрирование не требует больших объёмов вычислений. Сравнительные расчёты по исходным уравнениям (3.5) и усреднённым (3.18)-(3.19) показывают совпадение результатов для случаев, когда критерий применимости асимптотических методов (1.52) для задачи спуска ju > 1. [c.97]

Далее следует подставить функцию и = и в правые части оставшихся уравнений (12), вычислить интегралы по сферической области V и согласно асимптотическому методу произвести усреднение по быстрым переменным I тр. Опуская достаточно громоздкие вычисления и сохраняя исходные обозначения, запишем усредненные уравнения для переменных действие в виде [c.391]

Часто оказывается, что интеграл в формуле обращения не выражается в замкнутом виде через известные функции или точный результат мало пригоден для использования (вычисление значений искомой функции требует слишком большого числа действий). Здесь существенную помощь могут оказать асимптотические методы, широко применяемые для исследования функций, заданных определенными интегралами, и во многих других случаях. [c.108]

В частности, = оо. Тогда при достаточно больших значениях / для вычисления значений и (/) можно использовать функцию ид (/) Очевидно, что сама функция и (/) является своей асимптотикой, однако задачей асимптотических методов является отыскание какой-либо более простой, чем и, функции, удовлетворяющей условию [c.108]

Первый вопрос касается граничных условий. На волновую функцию были наложены граничные условия периодичности, причем эти условия играли существенную роль при проведении всех вычислений. Хотя сами псевдопотенциалы не зависят от асимптотических граничных условий, но вся схема теории возмущений зависит от граничных условий периодичности. Именно вследствие наличия этих граничных условий имеет место сохранение импульса в каждом элементарном взаимодействии. Это приводит к уменьшению числа рассматриваемых матричных элементов и позволяет провести их классификацию по порядкам величины. Если наложить граничные условия, например, обращения волновой функции в нуль на поверхности большого ящика, то схема теории возмущений, возможно, и не будет работать. Возникает поэтому вопрос, зависят ли наши результаты от поставленных граничных условий. Пока отсутствует метод вычисления при произвольных граничных условиях, мы не можем дать строгого ответа на этот вопрос. Однако можно попытаться дать ответ, основываясь на физических соображениях. [c.480]

Влияние сдвига и инерции вращения на частоты и формы свободных колебаний стержней при помощи асимптотического метода исследовалось Е. П. Кудрявцевым [1.34] (1960). Рассматриваются колебания стержня, защемленного по концам. Вычислены волновые числа частоты, изгибающие моменты и поперечные силы, и дано сравнение с результатами классической теории. Для двенадцати форм колебаний вычислены волновые числа и частоты, и для шести форм — изгибающие моменты и поперечные силы. Из сравнения с результатами классической теории установлено, что с увеличением номера формы колебаний волновые числа мало изменяются, а частоты, изгибающие моменты и поперечные силы сильно уменьшаются по сравнению с вычисленными по классической теории. [c.82]

Численное решение задач оптимального управления предполагает неоднократное интегрирование прямой и сопряженной систем. В сингулярно возмущенных задачах эти динамические системы являются жесткими (см. п. 5Л.), и, как следствие, при вычислениях возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, тем более, что при их применении, как будет показано, происходит декомпозиция исходной задачи на задачи меньшей размерности. [c.83]

Во второй главе изложена методика отыскания асимптотически устойчивых предельных режимов движения машинных агрегатов. С помощью принципа сжимающих отображений построен равномерно сходящийся итерационный процесс, позволяющий с любой степенью точности находить предельные режимы. Принципиальной особенностью данного метода, отличающего его от других методов, используемых в динамике машин, является то, что он совершенно не связан со случайным выбором начальных условий, величиной промежутка и шага интегрирования, а приближения к искомому режиму находятся в виде функций, определенных на всем промежутке изменения угла поворота главного вала. Исследованы характер и скорость сходимости итерационного процесса. Найдены удобные для инженерных расчетов формулы, позволяющие программировать весь процесс вычислений и на каждом шаге оценивать погрешности, с которыми получаемые приближения воспроизводят предельный режим. [c.8]

Метод интегральных соотношений. Применение этого метода к решению задачи о движении газа в ламинарном пограничном слое различно в случае слоя конечной толщины и асимптотического. В случае слоя конечной толщины предполагается, что профиль скоростей, теплосодержаний и концентрации можно представить в виде полиномов от отношений 1/бг, где бг — соответствующие толщины, коэффициенты которых определяются из условий на стенке и на границе пограничного слоя. Из интегральных соотношений получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения толщин пограничного слоя. Условия на стенке получают из дифференциальных уравнений, предполагая справедливость их на стенке, причем число их может быть увеличено путем дифференцирования уравнений. В случае теплоизолированного профиля этот метод применялся в ряде работ [Л. 23— 24 и др.]. При более общих условиях на стенке вычисления несколько усложняются. [c.97]

Применимости метода расчленения и что 0=0. Этот случай рассмотрен в 20.10. Там для приближения (s) основного напряженного состояния выведены граничные условия (20.10.8). Положив в них s = О и отбросив величины с отрицательными нижними индексами (они равны нулю по предположению), убеждаемся, что слагаемые, связанные с простым краевым эффектом, выпадают. Однако уже при s = 1 они войдут в вычисления. Это значит, что для основного напряженного состояния без учета краевого эффекта может быть построено исходное приближение и только оно. Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае в (27.9.3) надо положить п = 1, и следовательно, погрешность основного напряженного состояния в итерационной теории будет порядка Она меньше погрешности теории Лява, имеющей порядок hi. Для показателей интенсивности а, Ь, с справедливы формулы (20.10.6). Из них следует, что краевой эффект в данном случае асимптотически эквивалентен основному напряженному состоянию по напряжениям и перемещениям 22.27. Поэтому на краю обе обсуждаемые теории дадут одинаковые погрешности порядка h. [c.418]

Основой для получения таких асимптотических выражений является общая теория асимптотического вычисления контурных интегралов в комплексной плоскости методом наибыстрейшего спуска [141]. Эта теория развита для интегралов типа [c.96]

Трансцендентные уравнения (2.16) и другие подобные уравнения, во никающие в родственных задачах о волноводном распространении, представляются не очень сложными для проведения вычислений с помощью современных ЭВМ. При этом рассматриваемая плоскость (I, Q) может быть покрыта системой точек — корней дисперсионных уравнений, вычисленных практически с любой точностью. Однако такой процесс может быть связан с большими затратами времени, и, кроме того, представленная в такой форме информация мало полезна, поскольку она не систематизирована. В связи с этим большое значение для систематизации расчетных данных и уменьшения объема вычислений имеют методы качественного анализа дисперсионных соотношений, развитые в работах [109, 236, 249]. Структура спектра и поведение соответствующих мод в значительной мере проясняются также асимптотическим анализом, развитым в работах [25, 103]. [c.119]

Традиционный подход к решению бесконечных систем, возникающих при рассмотрении граничных задач методом суперпозиции, состоит в исследовании их регулярности [64]. При этом устанавливается, что решение в принятой форме существует и задается алгоритм отыскания нескольких первых неизвестных. Исследование бесконечной системы (2.10) в таком плане содержится в книге [38]. Однако в связи с тем, что неизвестные в (2.10) являются, по существу, коэффициентами рядов Фурье искомых величин смещений, с точки зрения практических вычислений одинаково важно как знание конечного числа первых коэффициентов, так и характер их поведения с ростом номера. Анализ асимптотических свойств неизвестных в системе (2.10) также выполнен в работе [38]. Не останавливаясь на деталях, приведем самый важный результат такого анализа. Он заключается в том, что на частоте, не совпадающей с собственной, ограниченное решение системы (2.10) существует и его асимптотические свойства определяются равенствами [c.171]

Использование метода малых Л (см. 3) позволяет находить приближенное значение величин М и т р) по формулам (2.55), (2.56), (2.35) с использованием ПК с погрешностью, не превышающей 3% при Л 0,5. Если 0,5 < Л < 1, то для вычислений коэффициентов бесконечной системы (2.35) необходимо методом урезания находить решение системы (2.52), асимптотически не упрощая ее, как это было сделано в работе [40]. Относительно выбора щ здесь справедливо сказанное выше. [c.66]

Седьмая глава посвящена динамическим проблемам упругости властомерного слоя и многослойных конструкций. С по.мо-щью асимптотического метода построена динамическая теория слоя. Анализ гармонических колебаний сводится к решению уравнения Гельмгольца для функции относительного приращения объема, которое отличается от уравнения статики только коэффициентами, являющимися здесь функциями частоты. Ис-СледоваН вопрос о вычислении динамических жесткостей слоя. [c.28]

Из приведенных формул видно, что построение асимнтотиче- ской теории возмущений неавтономных многочастотных систем (75) представляет собой громоздкую аналитическую задачу из-за того, что функции преобразования Крылова — Боголюбова и,, v, выражаются через интегралы (89)—(94), и, следовательно,. эффективность построения асимптотической- теории зависит от эффективности аналитических методов вычисления интегр 1лов (89)-(94). [c.119]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Форма уравнений движения, используемых в численных расчётах или аналитических вычислениях, во многом предопределяет возможность успешного и экономного решения задачи. Естественно, что каждому варианту постановки задачи соответствует своя, наиболее рациональная форма записи уравнений. Поэтому здесь не будет использована некая универсальная система уравнений. Так, при решении задачи о движении тела в линейной постановке удобно использовать систему уравнений, записанную в связанных координатах. При исследовании движения тела с плоскостью симметрии предпочтительнее использовать уравнения в полусвязанной системе координат, а при изучении движения осесимметричного тела при больших углах атаки удобно записать уравнения в осях, связанных с пространственным углом атаки, что облегчает применение аналитических и асимптотических методов. Наконец, для тела произвольной формы, совершаюш,его свободное движение в атмосфере при произвольных углах атаки, наиболее экономичной, с точки зрения объёма вычислений при интегрировании, является система уравнений в направляюш,их косинусах, которая впервые была представлена в работе [41. [c.20]

Наиболее полное с математической точки зрения исследование системы уравнений (3.8), (3.10), (3.11) проведено В. Н. Кукуджановым (1965, 1967). В первой из его работ дано решение задачи о распространении упругой волны разгрузки, а во второй — выполнен анализ системы уравнений асимптотическим методом и с его учетом проделаны детальные вычисления на ЭВМ. [c.312]

Пластинка, защенлея-ная по контуру. Используя табл. 16 н услсвня склеивания (48), можно найти собственные частоты и формы колебаний для большого класса прямоугольных в плане пластинок. Пусть прямоугольная пластинка со сторонами а, и Ог защемлена по всему контуру 15]. Точного рещения этой задачи не получено. Имеются приближенные результаты для основной частоты, полученные вариационными методами. Для квадратной пластинки наиболее надежные результаты получены Игути [30], который искал решение дифференциального уравнения (42) в виде разложения по функциям, удовлетворяющим всем условиям на контуре (см. стр. 379—380). Для вычислений Игути брал шесть членов ряда поэтому его результаты, особенно в области низших частот, обладают большой точностью. Используем решение Игути в качестве эталона для оценки эффективности асимптотического метода. [c.410]

Значения основных частот колебаний для четырех случаев опорного закрепления (рис. 12), вычисленных асимптотическим методом и методом Ритца, приведены в табл. 19. Параметры первых шести частот [c.414]

Асимптотический характер описанного метода (вычисления Dn при п > оо) обманчив. На самом деле реально [например, в (5.4.45)] можно учесть лишь несколько близких п 1) корреляций С (п) = (sinOp sin 6, ). Как показано в работе [54] (см. также [464]) прямым вычислением С (п), соотношение (5.4.45) включает фактически только две из них С (2) =,— /г/2 и С (4) (С (1) = 0 С (3) = (/3—/ )/2 КГ ). Вопрос об асимпто- [c.332]

Мексин применил асимптотический метод, рассматривая а как большой параметр. Он не обнаружил неустойчивости до тех пор, пока параметр, указанный выше, не достиг значения 3,65. Вычисления, проделанные Ди Прима (1955) на основе метода Г алеркина, имеют тенденцию подтвердить первоначальные результаты Гёртлера. [c.124]

Существуют два метода вычисления коэффициентов Сп. Первый метод — это интегрирование уравнений (4.12) при заданных начальных условиях. Он будет использован пами при решении задачи об отражении заданного полутеневого поля от гладкого тела. Отраженное поле также будет нолутеневым, и начальные значения Сп для отраженного поля берутся и.э краевых условий на поверхности тела. Второй метод — сопоставление с известной неравномерной асимптотикой строгого решения ок используется при построении краевой волны в задаче днфракции произвольного лучевого поля на ребре. Назовем его .методом асимптотического сшивания . При решении вторым методом поле представляется в виде суммы двух полутеневых полей (отвечающих двум границам свет — тень ГО рещения), краевые волны которых, поскольку они определяются ребром тела, имеют одну и ту же фазу и могут быть поэтому объединены. Рещение ищется в форме [c.95]

Ряд авторов рассматривал задачи о распространении волн в наследственноупругих средах, описываемых дробно-дифференциальными уравнениями, используя для вычисления решений различные приближенные и асимптотические методы. Необходимые литературные ссылки будут нами даны по ходу дальнейшего изложения. Эти задачи несколько отличаются от рассматриваемых нами, а предложенные методы их решения не вполне удобны для наших целей. В связи с этим, несмотря на определенное сходство рассматриваемых нами задач с общими задачами наследственной упругости, целесообразно исследовать интересующие нас задачи и построить методы, позволяющие эффективно описывать процессы распространения переходных волн в средах, содержащих стохастические фрактальные структуры. Мы имеем в виду как удобство теоретического анализа, так и практических вычислений. [c.161]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

Определение коэффицие 1тов интенсивности напряжений. Все известные способы вычисления коэффициентов интенсивности напряжений можно разделить на асимптотические и энергетические. Вначале рассмотрим способы вычисления Ki на примере симметричной деформации берегов трещины, а в дальнейшем обобщим эти методы на случаи плоских несимметричных трещин и трехмерных задач. [c.88]

При этом условие асимптотической устойчивости КеХ<0, выраженное через собственные значения Л, принимает вид 1тЛ[у КеЛ > е. На рис. 7.4.1, 6 показаны результаты расчетов критического давления при е=0,01 для титановой оболочки с такими же геометрическими параметрами, как и в [69]. Оболочка разбивалась на 11 конечных элементов и размер матриц бьш 40x40. При фиксированном т критическое давление вычислялось с использованием процедуры дихотомии. Затраты процессорного времени 1ЪМ-РС/АТ для вычисления всех комгшексных собственных значений и собственных векторов при фиксированном значении давления составляли по ХЛ-алгоритму 1,5 мин и 15 мин по методу понижения нормы матрицы. При этом во втором случае заданная точность не достигалась и выход происходил по числу итераций. Резуль- [c.488]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...