Поверхность гамильтониана

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Здесь Z,. — текущие координаты величины Хг — обычные постоянные, так как наша геометрия осуществляется в касательном пространстве >2л+1. Будем называть — поверхностью лагранжиана, а <5я — поверхностью гамильтониана. [c.232]

Рис. 33. Соотношение взаимности между поверхностью лагранжиана Sj п поверхностью гамильтониана S/J. [c.233]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Трубка интегральных кривых образована решениями системы уравнений Гамильтона, проходящими через заданный произвольный замкнутый контур Со начальных состояний системы в расширенном фазовом пространстве. Это — двухпараметрическая поверхность. Один из ее параметров — время, а другой определяет начальную точку на контуре Со. [c.659]

Показать, что элемент площади любой двумерной поверхности фазового пространства сохраняется в силу канонических уравнений Гамильтона. [c.701]

Частица движется по поверхности параболоида вращения. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби. [c.270]

Возвращаясь снова к телеологической стороне этого принципа и принципа наименьшего действия Гамильтона, заметим, что наименьшее действие при известных обстоятельствах может оказаться и наибольшим действием . Дело в том, что требование ... = О соответствует собственно не минимуму а, вообще говоря, лишь экстремуму. Проще всего это можно показать на примере геодезических линий, на поверхности шара, которые являются дугами больших кругов. Если начальная точка О и конечная точка Р траектории находятся в одном и том же полушарии, то дуга большого круга, непосредственно соединяющая эти две точки, будет, правда, короче всех круговых дуг, получающихся от пересечения сферы с плоскостями, проходящими через О и Р, но не через центр шара однако и дополнительная дуга большого круга, которая при противоположном начальном направлении движения проходит от точки О через все второе полушарие к точке Р, представляет собой геодезическую линию, причем эта линия длиннее всех остальных круговых дуг, проходящих от О к Р через второе полушарие. Отсюда [c.276]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Второе дифференциальное уравнение больше не нужно, поскольку точка Qi,. .., Q не должна лежать на обобщенной изоэнергетической поверхности К = 0. Более того, S является функцией только q , q , Qi, Q , t в то время, как главная функция Гамильтона зависит, кроме того, еще и от переменной t. [c.262]

При помощи S-функции Якоби производится преобразование изоэнергетических поверхностей Н = Е в плоскости Qn = Е. Смысл уравнения в частных производных заключается здесь в том, что в одну из новых переменных Q преобразуется функция Гамильтона. В гамильтоновом случае ситуация совершенно иная. Построение Гамильтона вовсе не преобразует изоэнергетические поверхности в плоскости оно целиком развертывается на изоэнергетической поверхности Я = , не выходя за ее пределы. В случае Якоби мы имеем регулярное преобразование, разрешимое как относительно Qk, Pk, так и относительно Qk, Pk- Здесь нет тождества, которому бы удовлетворяли координаты, так как уравнение в частных производных устанавливает некоторое соотношение не между одними qk, pt, а между q , Pk и Q . [c.293]

Это характерное свойство W-функций не имеет аналога в теории коби. Уравнение Гамильтона в частных производных приводит к некоторому тождеству, связывающему q , Pk, которое заставляет точку оставаться на определенной поверхности в фазовом пространстве. [c.294]

Такова картина преобразования, порождаемого главной функцией Гамильтона. Поверхность Н = Е преобразуется [c.296]

Резюме. В то время как преобразование Якоби переводит изоэнергетические поверхности в плоскости, а линии движения — в прямые, преобразование, порождаемое главной функцией Гамильтона, имеет совершенно другую природу. Оно осуществляется в пределах изоэнергетической поверхности Н=Е и носит вырожденный характер. Движение здесь проявляется как следствие того, что преобразование переводит точку в линию, а это в свою очередь вызывается обращением в нуль функционального детерминанта. [c.299]

Из такого построения следует возможность получения частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби при помощи последовательности бесконечно малых операций. Мы начинаем с любой заданной базисной поверхности в трехмерном пространстве и ставим ей в соответствие значение 5 = 0. Затем строим близкую поверхность S = е, потом поверхности S = 2е, S = Зе и т. д. В конце концов некоторая ограниченная область трехмерного пространства окажется заполненной поверх- [c.304]

Такая интерпретация S-функции сильно напоминает главную функцию Гамильтона 57. Единственное различие заключается в том, что в случае И -функции мы начинаем от некоторой точки, а не от поверхности. Действие вычисляется вдоль произвольной механической траектории, исходящей из точки А-, у, Z, вплоть до точки X, у, Z. в рассмотренном же выше случае S-функции можно начать с произвольной базисной поверхности, двигаясь затем от этой поверхности вдоль произвольной ортогональной траектории. [c.312]

Значение уравнения в частных производных Гамильтона в теории распространения волн. Выше было выяснено, что уравнение в частных производных Гамильтона (8.7.17) в оптике выражает принцип Гюйгенса в дифференциальной форме. Хотя принцип Гюйгенса основан на предположении о волновом характере движения, построение с помощью этого принципа последовательности волновых фронтов является методом геометрической, а не физической оптики. Для того чтобы более глубоко изучить связь между уравнением в частных производных Гамильтона и принципами физической оптики, мы несколько преобразуем определение волнового фронта. До сих пор мы рассматривали волновые поверхности в связи с распространением элементарных световых возбуждений в геометрической оптике, однако они имеют не меньшее значение и в физической оптике при изучении распространения световой волны определенной частоты. При этом волновые поверхности могут быть определены как поверхности равной фазы. Скорость распространения света является в то же время скоростью распространения фазового угла, например ф, в направлении, перпендикулярном волновым поверхностям. [c.315]

Это — выражение принципа Гамильтона для рассмотренного теперь случая Мы видим, что при желании применить принцип Даламбера или принцип Гамильтона к телу, частицы которого получают относительные перемещения, надо к работе Ь сил X, Г, 2 и давлений, действующих на поверхность, добавить величину Г, определяемую уравнением (18). Эту последнюю можно рассматривать как работу некоторых сил для рассматриваемых перемещений. Иногда эти силы называют внутренними, и в противоположность этому внешними силами — силы, работу которых обозначают через и [c.104]

Чтобы решить эту задачу, можно вычисленное с помощью уравнения (20) пятнадцатой лекции давление, производимое жидкостью на элемент поверхности тела, ввести в дифференциальное уравнение движения неизменяемого тела. Эго можно сделать более коротким путем, если исходить из принципа Гамильтона, который применим также и к настоящему случаю, как мы это показали в 6 одиннадцатой лекции, и который применялся Томсоном и Тэтой в подобных случаях. [c.198]

Примеры инвариантных областей. Рассмотрим систему, для которой функция Гамильтона ограничена снизу в фазовом пространстве. Можно считать, что точная нижняя грань функции Гамильтона равна нулю этого всегда можно добиться, если прибавить к этой функции надлежащим образом выбранную постоянную (что не изменяет уравнения движения) или изменить произвольную постоянную в функции V. Будем предполагать также, что поверхность Н = h (Л > 0) является замкнутой. Но функция Н представляет собой интеграл уравнений Гамильтона, гак что поверхность // = А (А > 0) является инвариантной областью. Замкнутая область, ограниченная двумя такими поверхностями (т. е. множество точек х, для которых hi Н (ж) Аг), также представляет собой инвариантную область. [c.441]

Чтобы произвести оптическое построение, используем прежде всего некоторое семейство волновых поверхностей, соответствующее нужной нам. частоте, т. е. возьмем некоторое решение уравнения Гамильтона (Г) с определенным значением Е это решение, которое мы обозначим буквой М, должно обладать также следующим свойством нормаль к поверхности постоянного уровня, проходящей в момент / через точку Р, например к поверхности [c.687]

Как мы видели, обобщая принцип Ферма, Гамильтон рассматривал v не только как функцию координат тонких, и но и как функцию от а, (направляющих косинусов луча по отношению к некоторой особой системе осей кристалла). Это дало ему возможность подойти к проблеме распространения света в двухосных кристаллах. Исследуя волновую поверхность в двухосных кристаллах, Гамильтон дал ясную картину ее геометрической формы и открыл существование четырех плоскостей, касающихся ее вдоль конических сечений. [c.816]

Это и является уравнением Эйлера, если Я отождествляется с давлением р. Таким образом, с точки зрения аналитической механики гидродинамическое давление р представляет реакцию, связанную с условием несжимаемости, которому должен удовлетворять выбор Я. Интеграл по поверхности, который также обращается в нуль согласно принципу Гамильтона, дает граничные условия, требующиеся для полного определения давления. [c.843]

Имеем теорему взаимности поверхность гамильтониана есть взаимнополярная поверхност,ъ лагранжиана, и обратно. Рис. 33 иллю-стрпрует это соотношение. [c.233]

Показать, что векторы гамильтонового векторного поля касаются поверхности уровня функции Гамильтона Я(p,q). [c.700]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Реэюж. Волновые поверхности распространения света могут быть определены как поверхности равной фазы. Уравнение в частных производных Гамильтона определяет в оптпке распределение в пространстве фазового угла стационарного оптического поля. Это диф-. ференциальное уравнение тесно связано с волновым уравнением Френеля и является его приближенным следствием. Это приближение переходит в точное уравнение в случае бесконечно малых длин волн, т. е. бесконечно больших частот. [c.319]

Из п поверхностей, пересечение которых определяет согласно (17) точку Q, все, кроме первой, закреплены (только первое из равенств (17) содержит время). Линия пересечения п — 1 закрепленных поверхностей определяет траекторию точки Q. Как нетрудно показать, эта линия пересечения является ортогональной траекторией семейства поверхностей W = onst. Функция W, по исходному предположению, удовлетворяет уравнению Гамильтона (Г) тождественно по Oj, .. ., а . Если продифференцировать теперь уравнение Гамильтона по (/с = 2, 3,. . ., п), то станет видно, что нормаль к [c.689]

Волновая теория делает теорему Малюса очевидной, ибо любое семейство волновых поверхностей имеет ортогональные траектории, которые и являются лучами. Это означает, что теорема Малюса заключена в скрытом виде в волновой теории света. Гамильтон залгечает по этому поводу ... более всего удивительно, что важная и оспаривавшаяся теорема была открыта и как нечто обыкновенное употреблялась Гюйгенсом более чем сто лет назад и затем была так полно забыта ). [c.806]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

При движении замкнутой системы её энергия не меняется, поэтому все точки в фазовом пространстве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать на нек-рой гиперповерхности, соответствующей нач. значению энергии Е. Ур-ние этой поверхности имеет вид Н(х,р) = Е, где Н(х,р) — Гамильтона функция системы. Движение системы из мн. частиц носат крайне запутанный характер, поэтому с течением времени точки, описывающие состояние, распределятся по поверхности пост, энергии равномерно (см. также Эрговическая гипотеза). Такое равномерное распределение описывают ф-цией распределения [c.666]

Реиормализационная группа (РГ) для критических явлений. Сочетание описанных выше операций крупнозернистого разбиения и изменения масштаба определяет совокупность преобразований РГ Д , обладающих групповым свойством = (точнее, полугрупповым, т. к. для них не определено обратное преобразование). Окончательно преобразование R, для РГ можно определить как преобразование = в т. н. параметрическом или (1-пространстве, где каждая точка ц представляет собой набор параметров эфф, блочного гамильтониана, а совокупность преобразований (/Ij—семейство нек-рых траекторий в нём. В общем случае размерность пространства ji превосходит размерность пространства параметров исходного ячеечного гамильтониана (го, и, г) и растёт по мере роста числа преобразований РГ, однако обычно удаётся ограничиться подпространством основных (доминирующих) взаимодействий. Наиб. физ. интерес в методе РГ представляют неподвижные точки ц, инвариантные относительно преобразований симметрии т. е. обладающие свойством при нек-ром конечном S (а следовательно, и в пределе s-> ). Для этих точек вводится понятие критической поверхности, [c.623]

За исключением самых низких температур, рассеяние на границах происходит одновременно с другими резистивными процессами рассеяния, имеющими место в объеме кристалла. Скорости релаксации последних процессов, вообще говоря, зависят от частоты, но тер-мализационный эффект шероховатых поверхностей не позволяет фононам, которые испытали слабое рассеяние внутри кристалла, удалиться из теплового потока. Совместное действие резистивных процессов, происходящих только на границах и в объеме кристалла, рассматривал Херринг [96], а позднее — Зай-ман [263], Гамильтон и Паррот [92], Сривастава и Верма [222]. [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...