Эквивалентность гамильтонианов

Если пространственное изменение мало, то полную производную по времени можно заменить частной производной, так что в дипольном приближении эквивалентный гамильтониан равен [c.79]

Гамильтониан системы бозонов, эквивалентный гамильтониану Гейзенберга—Изинга [c.108]

Алгебраическое удобство представления через непрерывную дробь можно использовать и далее с помощью еще одного вычислительного приема. Именно, можно ввести расширенное гильбертово пространство, в котором эквивалентный гамильтониан автомати- [c.413]

Полученные, таким образом, канонические уравнения (с) и (б) совершенно эквивалентны исходным уравнениям Лагранжа перед последними они имеют то преимущество, что производные по t находятся только в левой стороне уравнений, так как гамильтониан не содержит каких-либо производных от и р, по t. [c.876]

Наше изложение носит компромиссный характер. Аргументация не является достаточно строгой, чтобы удовлетворить современного чистого математика, но во всем изложении делается попытка представить математическую структуру независимо от предшествующей части этой книги (исключая допущения и истолкование). Все изложение основано на лагранжиане или гамильтониане, или на эквивалентной величине. Кинетическая энергия, столь важная в прямых физических приложениях ньютоновой динамики, играет второстепенную роль [c.199]

Система имеет лагранжиан L q, t, q) и движется в соответствии с лагранжевыми уравнениями движения ( 46) соответственно она имеет гамильтониан H(q, t, р) и движется согласно уравнениям Гамильтона ( 47). Мы будем называть систему консервативной, если t не входит явно в Н (или, что эквивалентно, не входит в L), так что имеем [c.201]

Для последующих целей представляется соблазнительным связать найденную функцию с физическими понятиями, назвав Н гамильтонианом, а у у — вектором импульса — энергии, ради краткости можно называть у просто импульсом, если нет опасности какой-либо путаницы. Так как для простейших систем гамильтониан равен энергии, то удобнее назвать (67.2) уравнением энергии, ибо оно эквивалентно уравнению (67.8) ). [c.221]

L(q, t, q), под гамильтоновой динамикой — теорию, развитую в 67 и 68, основанную на уравнении энергии Q(a , у) = О или гамильтониане H(q, t, р). Мы покажем, что эти две динамики, по существу говоря, эквивалентны, хотя гамильтонова динамика является несколько более общей в том, что касается определения вектора импульса — энергии. [c.226]

Возвращаясь к общему случаю частицы, движущейся в соответствии с некоторым уравнением энергии Q х, J/) = О или, что эквивалентно, в соответствии с некоторым гамильтонианом Н, получаем из уравнений (110.19) и (119.6) выражения [c.426]

Подчеркнем, что (6) является прямым следствием (5). Поэтому можно построить бесчисленное множество нелокальных гамильтонианов, удовлетворяющих условию (6) достаточно задаться унитарным оператором 8 а) и найти 1-1 из равенства (5). Однако при этом условие причинности будет, вообще говоря, резко нарушено. Это условие в общем случае никак не связано с условием совместности. Только для простейшего гамильтониана типа (2) оба эти условия эквивалентны. [c.112]

Ниже формулируются основные требования, предъявляемые к взаимодействию, и показывается, что существует дополнительное взаимодействие (именуемое ниже импульсным), которое удовлетворяет этим требованиям, но обычно не рассматривается. Устанавливается, что это взаимодействие физически эквивалентно наличию у частицы эффективной массы, растущей вместе с полем. Благодаря этому по мере приближения частицы к центру притяжения появляются дополнительные силы отталкивания (инерционного типа), связанные с увеличением массы частицы. Кроме того, гамильтониан частицы обладает существенной нелинейностью по полю, что, возможно, связано с множественными мезонными процессами. [c.246]

Будем считать параметр ц малым. Тогда рассматриваемая задача является возмущением интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо. Отметим, что исследование канонической системы уравнений с гамильтонианом 3 + при малых значениях параметра /х математически эквивалентно исследованию быстрых вращений тела в умеренном поле тяготения. [c.37]

Пусть (р(х, 1) = х — 1. Искомое уравнение эквивалентно задаче Коши х 1о) = л/1о для уравнения х = 2х) Гамильтониан задачи Н = р(2х) Решение канонических уравнений [c.448]

Следовательно, в присутствии движения центра инерции гамильтонианы не являются эквивалентными. В этом более глубокая причина появления в гамильтониане (14.37) дополнительных членов, таких как гамильтонианы Рентгена и другие. [c.446]

Первое обсуждение эквивалентности двух гамильтонианов взаимодействия А р и г Е [c.458]

Гамильтониан (М.4) не является калибровочно инвариантным, так как он содержит и векторный потенциал, и его первую производную. Чтобы выразить потенциал только через электрическое и магнитное поля, мы сначала вычислим соответствуюш,ий лагранжиан а затем прибавим к нему полную п изводную по времени. Исходя из этого эквивалентного лагранжиана мы получим соответствуюш,ий ему гамильтониан Заметим, что аналогичная процедура уже применялась в разделе 14.6.1, однако теперь будет также учтено движение центра масс. [c.723]

Система уравнений (2.6.1), (2.6.5) и (2.6.6) показывает, что мы пришли к обычной динамической задаче о влиянии нестационарного возмущения на частицу, совершающую финитные колебания, которые описываются гамильтонианом Неоднородность вдоль переменной 2 эквивалентна [c.118]

С помощью операторов вторичного квантования можно записать гамильтониан взаимодействующей системы электронов. Прн этом надо помнить, что речь идет о квазичастицах электронной жидкости. В нормальном металле мы пользовались двумя описаниями квазичастицами с энергетическим спектром е = и газовой моделью. Различие между этими моделями заключается, в частности, в то.м, что в первой из них задается химический потенциал, в то время как во второй задано полное число частиц. Как было выяснено в 2.4, изменение химического потенциала в случаях, представляющих физический интерес, является незначительным. Поэтому оба описания являются практически эквивалентными. [c.295]

Уравнения Пуанкаре-Жуковского. Под этими уравнениями понимается гамильтонова система на во(4) с квадратичным гамильтонианом (уравнения Эйлера-Пуанкаре на во(4), см. 2 гл. 1). В векторном представлении функция Гамильтона может быть представлена в двух эквивалентных формах [c.181]

В заключение этого раздела свяжем калибровочный потенциал Дирака-Гейзенберга (14.46) с калибровочным потенциалом Л (14.44), который используется в Приложении М, чтобы квантово-механиче-скрш образом показать эквивалентность гамильтонианов (14.34) [c.449]

Фьютак [18] (см. также [19]) обобщил это доказательство и показал, что в высшем приближении эквивалентный гамильтониан действительно соответствует мульти-польному разложению [c.79]

В п. 36 отмечалось, что некоторые авторы учитывали влияние движения электронов на колебательные частоты путем канонического преобразования, которое исключает из гамильтониана члены, линейные относительно координат фононов. Здесь мы будем следовать с некоторыми изменениями (см. [19]) исследованию Накаджимы, в котором с самого начала включено кулоновское взаимодействие между электронами. Хотя этот метод и аналогичен методу самосогласованного поля, он позволяет обойтись без слишком грубого адиабатического приближения при изучении движения ионов. Накаджима записывает гамильтониан в форме, эквивалентной следующей [c.761]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений q t) и p t) они приобретают значения, равные q t- -di) и p t- -di). Следовательно, изменение состояния системы за время dt можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за время от to до t можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от qito), р((о) к q(t), p t) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от t. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. [c.286]

Эта система ур-нин полностью эквивалентна исходному ур-нию ГИрёдингера с гамильтонианом U(r,It). Она может быть испол1.яована для прецизионных расчётов свойств квантовых систем, точность к-рых сравнима с точностью наилучших расчётов, проведённых вариационными методами. Такое описание квантовых систем получило в англоязычной литературе назв. метода возмущённых стационарных состояний в совр. литературе используют также термин адиабатич. представление , наиб, адекватно отражающий суть и особенности обсуждаемого подхода. [c.28]

Корреляционная длина и параметр обрезания. В основе построения преобразований РГ для описания критических явлений лежит общая физ. идея существенного сокращения эфф. числа степеней свободы микроскопия. физ. системы (аналогично тому, как это имеет место в термо- или гидродинамике при пертходе от микроскопии, к макроскопич. описанию). Условиями такого сокращения являются наличие в системе взаимодействий только с коротким радиусом, а также резкое возрастание корреляционной д л и н ы (или, что то же, радиуса корреляции го) вблизи критич. точки Т -, величина характеризует мин. размер области, в к-рой свойства вещества в достаточной степени передают свойства макроскопич. образца. При больших значениях весьма правдоподобной выглядит гипотеза подобия (см. ниже), приводящая к явлению универсальности, т. е. независимости физ. свойств системы от деталей строения гамильтониана (в т. ч. от значений входящих в него констант связи разл. взаимодействий). Существенными оказываются лишь значения размерностей п к d, где п характеризует симметрию параметра порядка (т. е. число компонент вектора спина или квазиспина см. Спиновый гамильтониан), а d—число измерений пространства дискретной решётки соответственно все квазиспино-вые модели подразделяются на классы эквивалентности (п, d) (рис. 1). [c.622]

Отметим, что в принципе оба описанных метода — использование формулы (52 ) и формулы (87) — эквивалентны, так как применение теории возмущений к системе, описьшаемой гамильтонианом (71), должно пр№ вести к формуле, аналогичной (52 ), описьшающей смешивание волновых функций основного и возбужденного состояний. Однако в некоторых случаях вычисление поляризуемостей по формулам (87) проще, особенно ког да для описания молекулы применяется метод типа INDO [46]. [c.58]

Для любых гамильтоновых систем оба описания эволюции эквивалентны при заданном гамильтониане Н оператор Лиувилля полностью определен уравнением (2.2.16). Различие между двумя описаниями заключается только в определении того, что называется состоянием системы, но не в законе эволюции системы. Стоит упомянуть, однако (хотя данная проблема и не обсуждается в нашей книге), что описание с помощью оператора Лиувилля открывает более широкие возможности. Ведь вполне можно себе представить системы, для которых гамильтониан не суш ествует, но для которых можно построить лиувилиан. Иными словами. [c.57]

Вращательный гамильтониан совпадает с гамильтонианом симметричного волчка, а свойства преобразования его собственных функций под действием операций группы Озн(М) могут быть найдены с использованием эквивалентных вращений, указанных в табл. А. 9. Инверсионный гамильтониан с любой функцией Ко(р) можно диаговализировать численными методами. Для определения типов симметрии собственных функций Ф можно [c.391]

Лемма Уинтнера для гамильтоновых систем. Согласно лемме Уинтнера [118] решение автономной гамильтоновой системы (q(t),p(i)) е с функцией H q,p), принадлежащее уровню ii(q, р) = h, эквивалентно решению гамильтоновой системы с гамильтонианом [c.221]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

В настоящей главе мы получим обе формы взаимодействия, стартуя с гамильтониана электрона и протона в электромагнитном поле и используя дипольное приближение. В отсутствие движения центра инерции оба гамильтониана эквивалентны, то есть существует калибровочное преобразование, которое связывает обе соответствующие волновые функции. Это преобразование, однако, не является столь же простым при наличии движения центра инерции. В этом случае, который очень детально обсуждается в приложении М, мы должны выйти за рамки простого дипольного приближения. В результате появляются дополнительные члены, такие как в гамильтониане Рентгена (Rontgen). [c.429]

Действительно, гамильтониан (14.26) нулевого приближения констатирует, что с векторным потенциалом взаимодействует импульс р относительного движения. В разделе 14.6 мы покажем, что в отсутствие движения центра инерции обе картины взаимодействия эквивалентны. Таким образом, нулевое приближение для тейлоровского зяда (14.23), которое не зависит от г, уже вносит дипольную структуру посредством относительного импульса р. [c.437]

Квантовое рассмотрение. Обратимся теперь к квантовому рассмотрению вопроса об эквивалентности двух гамильтонианов Я(0) и заданных выражениями (14.38) и (14.39). Мы снова пренебрегаем движением центра инерции и рассматриваем только волновую функцию 0(r,t) электрона. В частности, сосредоточимся на уравнении Шрёдингера [c.446]

Тем не менее при понижении температуры прежде всего появляется сверхпроводимость, а затем уже ферромагнетизм. Это можно объяснить только тем, что точка сверхпроводящего перехода лежит выше точки Кюри 9 ферромагнитного перехода. Относительно мы знаем, что, согласно формуле (16.26), Тег = (y/л) Д (0). Для того чтобы получить 9, применим метод самосогласованного поля Абрикосов и Горьков, 1962) [247]. Предположим, что возникло ферромагнитное состояние и в результате появилась поляризация электронного спина, т. е. <а>, где <... > означает равновесное среднее при заданной температуре. Согласно гамильтониану (4.39) это эквивалентно тому, что на каждый спин редкоземельного иона действует эффективнее магнитнсе поле, причем роль йРЯ играет (J/n) <а>. Свободная энергия всей системы ионных спинов на единицу объема равна п = п) [c.446]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...