Гамильтониан квадратичный

В этом разделе описаны некоторые следствия из теории,, развитой в гл. 12, относящиеся к диагонализации определенного класса гамильтонианов, квадратичных по спиновым переменным, которые могут описывать различные квантовые системы с взаимодействием. Результаты, о которых пойдет речь, достаточно интересны, чтобы рассматривать их независимо от их источника (разд. 12.3), и достаточно просты, чтобы прямое доказательство заслуживало быть приведенным здесь. [c.286]

Таким образом, с помощью КП можно преобразовать квадратичный гамильтониан к нормальной форме [c.384]

Мы получили следуюш ий результат движение системы, имеющей однородный квадратичный гамильтониан Н, устойчиво, если Н положительно определенная функция ). [c.385]

Итак, если кинетическая энергия — квадратичная форма скоростей с матрицей А, то гамильтониан содержит квадратичную форму импульсов с обратной матрицей Л . Например [c.230]

Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения. [c.204]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Отклонения можно рассматривать как координаты многомерного вектора. Переход к нормальным координатам в гамильтониане представляет собой процедуру диагонализации квадратичной формы. Из математики известно, что диагонализация квадратичной формы осуществляется при помощи линейного преобразования [c.59]

Динамический подход к вычислению формы оптических полос, развитый в десятом параграфе и опирающийся на модельный гамильтониан системы, наоборот, на количественном уровне объясняет электрон-фононную и ви-бронную структуру оптических спектров и ее зависимость от температуры. Однако пока он оставил без ответа вопрос, почему реальная БФЛ имеет полуширину на один-два порядка превышающую так называемую естественную полуширину линии, равную 1/Ti и обусловленную спонтанным испусканием света. Это происходит не потому, что динамический подход уступает в каких-то аспектах стохастическому, а потому, что мы до сих пор ограничивались рассмотрением только НТ-взаимодействия и линейного F -взаимодействия и пренебрегали квадратичным F -взаимодействием, которое и ответственно за уширение БФЛ. Рассматривая в основном ФК и колебательную структуру полос, мы игнорировали это взаимодействие потому, что его влияние на фононную и вибронную структуру реальных спектров мало и им в большинстве случаев действительно можно пренебречь. Однако квадратичное F -взаимодействие играет первостепенную роль в эффекте уширения БФЛ. [c.135]

Чтобы найти условия, при которых моды колебаний обмениваются энергиями, можно воспользоваться нестационарной теорией возмущений. Гамильтониан возмущения — это та часть потенциальной энергии смещенного атома, которая содержит степени отклонения большие, чем вторая (для определения энергии колебаний и теплоемкости обычно достаточно квадратичного члена). Тут могут быть кубический член, члены четвертого и более высокого порядка, но мы учтем только кубический член, который наиболее важен для теплопроводности во всех случаях, кроме, быть может, случая очень высоких температур это позволит продемонстрировать, к каким эффектам в теплопроводности может привести фонон-фононное взаимодействие. [c.50]

Теорема 4 [27]. Существует такой потенциал V ньютоновского тина с особенностями в точках гх,..., г , что гамильтонова система с гамильтонианом Н = Т + У имеет дополнительный аналитический интеграл, квадратичный но импульсам, причем [c.145]

Так как о иррационально, то по теореме Биркгофа уравнения Гамильтона с гамильтонианом (1.2) допускают два формальных интеграла 5 = щь +. ..(/= 1,2). Квадратичные члены этих разложений не определяют однозначно интегралы Зх и 82. Причина неоднозначности — наличие слагаемых специального вида [c.311]

Заметим, что при вьшолнении условий теоремы могут существовать независимые интегралы с зависимыми (при некоторых значениях е) квадратичными частями их разложений Маклорена. Вот простой пример канонические уравнения с гамильтонианом [c.320]

И гамильтониан (4) начинается с квадратичных членов, поскольку часть Н, пе зависящую от х, можно опустить [c.451]

Этот же гамильтониан описывает генерацию второй гармоники в среде с квадратичной нелинейностью [6] и колебания протонов в синхрофазотроне [131]. [c.257]

Теперь новый гамильтониан является квадратичной диагональной формой [c.271]

Гамильтониан (7) можно с асимптотич, точностью представить в виде квадратичной формы, т, е. привести к диагональному виду каноническим преобразованием aj = -Ь [c.260]

Гамильтониан системы представится суммой двух квадратичных форм, к-рые при нек-рых условиях, выполняющихся в реальных молекулах, единственным образом приводятся с помощью линейного преобразования к новым координатам. В такой новой системе нормальных координат ( . гамильтониан имеет вид [c.440]

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 347 [c.347]

Однако существеииым для расчётов является свойство К. с. быть производящей ф-цией для состояний — аналогов состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной формы по операторам координат и импульсов, это свойство нозволяет найти точно (не тю теории возмущений) через многомерные полиномы Эрмита Бсроятности переходов между уровнями энергии JV-иерного гармонич. осциллятора при параметрич, возбуждении самого общего типа [3]. [c.394]

Операторы A представляют собой я-кратные интегралы от (я — 1)-кратных коммутаторов операторов W t), взятых в разные моменты времени. В нек-рых случаях ряд в экспоненте (2) обрывается и оператор временной эволюции записывается в конечном виде. Так происходит, наир., в задаче об эволюции гармония. осциллятора, на к-рый действует произвольная ввеш. сила 14], ив задаче об эволюции в поле, линейном по координатам г и импульсам р произвольной квантовой системы с гамильтонианом, квадратичным по г и р [5]. М. р, используется при построении теории внезапных возмущений в процессах встряски типа рассеяния (см. Внезапных возмущений метод). В нулевом порядке по параметру мгновенности сот < 1 (т — х актерное время взаимодействия, йсо — типичные собств. значения невозмущёвного гамильтониана) оператор временной эволюции отличается от (2) заменой в Ап (ф-лы (3)) W t) на [c.24]

Этот гамильтониан представляет собой квадратичную форму относительно операторов Ъ и к приводится к диагональному виду с помощью Боголюбова канонического преобразования. Т, о., для энергии квазичастиц получается ф-ла (2). Анализ утой ф-jnii показывает, что модель слабонеидеального Б.-г, может объяснить свойство сверхтекучести, типичное для квантовых жидкостей, а также образование вихревых нитей. [c.219]

Полное теоретич. описание Д. нецентрально-симмет-ричиых систем требует учёта ванфлековского парамагнетизма. Д. является поляризационным магнетизмом, и соответственно энергия Д. (3) имеет квадратичную зависимость от магн. поля. Однако существует также поляризационный ванфлеков-ский парамагнетизм, к-рому в гамильтониане (1) соответствует член [c.613]

Особенности квадратичного F -взаимодействия. Квадратичным F -взаимодействием является та часть разности двух адиабатических гамильтонианов, которая квадратична по колебательным или туннельным координатам. В этом параграфе мы будем игнорировать туннельные степени свободы и ограничимся рассмотрением оператора электрон-фононного квадратичного F -взаимодействия, который в общем виде вьп-лядит так [c.136]

Здесь гамильтонианы Hi и Щ описывают осцилляторы при возбужденной и невозбужденной ДУС, а последнее слагаемое — рождение и уничтожение туннелона, т.е. туннелирование в ДУС. Разность двух колебательных гамильтонианов определяет туннелон-фононное взаимодействие Франк-Кондоновского типа, т.е. эта разность имеет линейную и квадратичную по фононным координатам R части. [c.247]

Мы получили другой известный закон для идеальных газов — энергия зависит только от температуры. Для бесструктурных частиц ffli Т) = 0] этот результат В 1ожно интерпретировать следующим образом каждая из 3 степеней свободы частицы дает в энергию вклад, равный Ч к Т. Такой результат представляет собой частный случай так называемого принципа равнораспределения, справедливого только для классических систем. Как будет показано в разд. 5.3, в случае, когда учитываются внутренние степени свободы, принцип равнораспределения можно сформулировать следующий образом. В классическом пределе каждому квадратичному члену в гамильтониане соответствует вклад в энергию, равный yj gT. Вычислим в заключение теплоемкость при постоянном объеме в расчете на одну частицу [c.177]

Очевидно, в этом классическом приближении удельная теплоемкость имеет значение 2 X отвечающее равнораспределению (жесткий ротатор соответствует двутл квадратичным членам в классическом гамильтониане). [c.180]

Функция Ш (x), фигзфирующая в выpaжeiЁии для теплоемкости, называется функцией Эйнштейна. Она хорошо изучена и подробно табулирована ). Общий вид этой фз кции представлен на фиг. 5.3.1 она стремится к значению 2 X IJ b при Т оо (нормальная мода дает два квадратичных члена в гамильтониане). [c.182]

Таким образом, переменные х,у разделяются. Функция (8.34) — гамильтониан Лиувиллевой системы с двумя степенями свободы. Уравнение (8.32) появилось в работе [214 в связи с задачей о наличии квадратичного интеграла. [c.168]

Действительно, предположим, что интеграл 8 содержит член специального вида (1.3), и что степень д этого члена — наименьшая из возможных. Тогда интеграл 5 — не будет содерь жать членов вида (1.3) степени д. Применяя последовательно эту операцию, не затрагивающую квадратичных слагаемых, построим два формальных интеграла з = ит +. .. (I = 1,2), не содержащих ни одного слагаемого специального вида. Далее, любой интеграл гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) есть ряд по степеням 1 и 82 (см. 11 гл. II). В частности, это относится к интегралу Я. Ввиду (1.2), разложение Я по степеням. ь г [c.311]

Гамильтониан. Пусть Ь(ж, ж, t) — лагранжиан системы с s степенями свободы, ж , Жп —обобщенные координаты и скорости [п = = 1,. .., s). Наша задача — перейти к новым независимым переменным Хп, Рп = дЬ/дхп и функции Я (ж, р, t), являющейся преобразованием Лежандра лагранжиана L x, ж, t). Предполагая, что квадратичная форма d L/dxmdxn)dxmdxn положительно определена, произведем преобразование Лежандра по переменным ж Е = РпХп — L x, ж, t), [c.251]

Эти добавления рассчитаны на любознательного читателя и не входят в программу обязательного общего курса. Некоторые из них могут составить основу специальных курсов (например, по асимптотическим методам теории нелинейных колебаний или по квазиклас-сическим асимптотикам). В добавления внесен также ряд сведений справочного характера (например, список нормальных форм квадратичных гамильтонианов). В то время как в основных главах книги автор старался проводить все доказательства как можно подробнее, избегая ссылок на другие источники, добавления состоят в основном из сводок результатов, доказательства же заменены ссылками на литературу. [c.10]

Следует заметить, что вообще из незнакоопределенности квадратичной формы dV не вытекает еще неустойчивость соответствующего течения. Вообще, положение равновесия гамильтоновой системы может быть устойчивым, несмотря на то, что функция Гамильтона в этом положении равновесия не является ни максимумом, ни минимумом. Квадратичный гамильтониан Л = — Р2 простейший пример такого рода, [c.303]

Эта оценка, как и приведенная выше оценка снизу, имеет вид таким образом, приращение переменных действия мало, пока время мало по сравнению с если е < Ео- Здесь е — величина возмущения, а d — заключенное между О и 1 число, определяемое, как и бд, свойствами невозмущенного гамильтониана При этом на невозмущенный гамильтониан накладывается некоторое условие невырожденности (конечнократность критических точек ограничений Яд на подпространства достаточна квадратичная выпуклость невозмущенного гамильтониана, т. е. знакоопределенность второго дифференциала функции Н )- [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...