Гамильтониан неавтономный

В неавтономном случае гамильтониан II выражается с помощью Т а и в виде равенства [c.198]

Для того чтобы эта система описывала исходную неавтономную систему с заданным гамильтонианом (<, д, р), достаточно положить [c.281]

Многообразие М называется пространством состояний или фазовым пространством гамильтоновой системы (1.1), а величина <ИтМ)/2 — числом ее степеней свободы. Часто приходится рассматривать неавтономные гамильтоновы системы, в которых гамильтониан Я зависит явно от времени. [c.20]

Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина. Укажем еще один случай существования инвариантного соотношения Гесса для неавтономной системы, описывающей падение твердого тела в жидкости без начального толчка 7 гл. 1. При этом поверхность, ограничивающая тело, осесимметрична, а ось симметрии перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида. Гамильтониан можно представить в форме [c.254]

Найдем прежде всего гамильтониан для отображения (6.1.12). Как и в п. 3.1в, преобразуем разностные уравнения (6.1.12) в дифференциальные с помощью б-функции. В результате получаем неавтономный гамильтониан с двумя степенями свободы [c.354]

В неавтономном случае (следуя 6 гл. I) полезно расширить фазовое пространство, ввести новые канонические координаты Хп+1 = t, Уп+1 И перейти к гамильтониану [c.187]

Все сказанное выше касалось автономного случая. Однако условие некоммутативной интегрируемости (2.3) легко переносится на неавтономный случай. Действительно, предположим, что интегралы (2.1) и функция Гамильтона Н(х,у,1) могут явно зависеть от времени. Расширим фазовое пространство, вводя новые сопряженные канонические переменные ж +1 = 1, Уп+1 и новый гамильтониан [c.193]

Этот результат распространяет на неавтономные системы теорему 2 из 10. Доказательство использует анализ классической схемы теории возмущений гамильтоновой системы с функцией Гамильтона (11.6), проведенный в [71], а также обобщенный вариант теоремы 1 из п. 3, касающийся аналитических гамильтонианов вида еЧ1г у) + Нк х, у. (р) + о е ). [c.249]

Условия отсутствия полного набора инволютивных интегралов многомерных гамильтоновых систем указаны С. В. Болотиным [28]. Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом Я = Но г) + Н1 г,Ь) + о ), периодическим по времени. Здесь 2 = (х,у) — набор 2п симплектических переменных. Предполагается, что невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия с различными вещественными собственными значениями, а также, что точки соединены двоякоасимптотическим решением t — Zo(t), I е Е. [c.264]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Отметим, что проведенный выше анализ применим к линейным неавтономным системам с одной степенью свободы, которые соответствуют некоторому специальному классу гамильтонианов с двумя степенями свободы. Так как неавтономные линейные системы второго порядка интегрируемы, то неудивительно, что всегда можно найти соответствующий инвариант. Попытки Саймона [397 ] и Левиса и Лича [260] обобщить эти методы на нелинейные системы не привели пока к новым полезным результатам. [c.46]

Пусть ( +, ) и [х , у ) — две гиперболические особые точки невозмущенной гамильтоновой системы (1.15) ц, = 0). Не исключается случай, когда х ,у ) и (х ,у ) совпадают. В этих точках собственные значения матрищ.1 линеаризованной системы вещественны и отличны от нуля. Возмущенная система л ф 0) неавтономна, гамильтониан H x,y,t, л) есть [c.374]

И гамильтонианом Н (см. 1). Согласно условиям ( ) и (с), функции Н = /1,/2,...,Л — независимые интегралы уравнений (3.14). Так как Pi,Pj = О, то функции Д,...,/ также инволютивны относительно симплектической структуры По теореме Лиувилля, уравнения (3.14) интегрируются в квадратурах. Импульсы у находятся из соотношений у = и х,с). Неавтономный случай сводится к автономному повышением размерности фазового пространства (см. 4). [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...