Форма Биркгофа нормальная для гамильтониана

Будем искать каноническую замену, приводящую гамильтониан к нормальной форме Биркгофа, поставив целью уничтожить как можно больше членов в разложении возмущенной части гамильтониана [c.308]

Определение. Гамильтониан имеет нормальную форму Биркгофа, когда он зависит только от полиномиальных первых интегралов (от инвариантов) невозмущенной части. [c.309]

Более короткое определение таково гамильтониан И = Ho + W имеет нормальную форму Биркгофа, если Hq, Нт) = 0. Через H.Q, Н обозначена скобка Пуассона, равенство нулю которой и есть условие первого интеграла. [c.310]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Согласно теореме Биркгофа, гамильтониан Н можно привести к нормальной форме Н = 1<2+К +Кь + - ч где К2т — однородная форма степени m от произведений = х у . В частности, Кц — [c.326]

При пользовании теоремой Биркгофа полезно заметить, что система, гамильтониан которой является нормальной формой, интегрируется. Именно, рассмотрим канонические полярные координаты т,, ф,, через которые P и Q выражаются по формулам [c.354]

Замечание. Введем в множестве 3(ё новую топологию рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами Нн. все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами удовлетворяющими неравенствам 1Ак,—Лк, 1<в при 1 1-Ь + 5 Л для некоторых е>0 и N 3. Можно показать, что относительно топологии множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Действительно, если в формальных степенных рядах, задающих преобразование Биркгофа, мы отбросим члены степени больше Ы, а затем подправим коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то получим сходящееся каноническое преобразование, приводящее модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим, что топология конечно, много слабее топологии [c.255]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...