Гамильтониан статистической системы

Гамильтониан статистической системы 38, [c.428]

Сохраним обозначения задачи 3.4. Классическая статистическая система находится при температуре Т и описывается гамильтонианом [c.86]

Рассмотрим систему N тождественных частиц в объеме V. Пусть гамильтониан Н системы имеет форму (14.1), но только входящие в него величины надо понимать как операторы. В координатном представлении ру = — гAV , а потенциал Vlj, зависящий от аргумента г,- — Tj, имеет вид, показанный на фиг. 95. Статистическая сумма выражается формулой [c.332]

В микроскопической теории исходным моментом является задание характерных микроскопических свойств статистической системы (проще говоря, задается гамильтониан системы в заданном поле), на основе чего уже на теоретическом уровне (в основном аналитическими методами) делаются выводы о широком классе ее свойств, включающем также и восприимчивости системы по отношению к конкретным видам возмущений. Основная математическая проблема в этом подходе — расчет статистических средних, для реализации чего в том или ином приближении требуется разработка специальных методов (с некоторыми из них мы уже знакомы по разделу курса, посвященного неидеальным классическим газам). [c.235]

Предположим теперь, что статистическая система определена гамильтонианом Я + 6Н, таким, что собственные функции оператора Я [c.350]

Как следует из уравнения Неймана (11.36), равновесный статистический оператор коммутирует с гамильтонианом Й и для покоящейся системы является его функцией р=р[Я]. Поэтому необходимо задать зависимость коэффициентов Wu от энергии Если число квантовых состояний изолированной системы, имеющей энергию Е с определенным отклонением А <- , равно ЛГ( ), то в соответствии с постулатом равной априорной вероятности состояний таких систем имеем квантовое микроканоническое распределение [c.216]

Центральными понятиями в статистической механике являются представление о микроскопических состояниях макросистемы, характеризуемых значениями обобщенных координат qi и импульсов pi , и понятие о плотности вероятности распределения микросостояний, определяемой энергией (гамильтонианом) системы H = H qi , pi ) и характером взаимодействия системы с окружающей средой [c.144]

МИТЬ Д/ к нулю, такому М. р. Г. соответствует статистический оператор (матрица плотности) р= 1У б(Й — ), где й — гамильтониан системы. [c.137]

РЕАКЦИИ ФУНКЦИЯ (отклика функция)в статистической физике — ф-ция, представляющая реакцию статистик, системы на зависящее от времени внеш. возмущение. Если на систему действуют зависящие от времени внеш. силы j(i) (напр., электрич. или магн. ноля), то вызываемое ими возмущение можно представить в виде добавки к гамильтониану члена [c.299]

Смешанные квантовые ансамбли. Описание многочастичных систем на основе решения уравнения Шредингера является столь же безнадежной задачей, как и описание классических многочастичных систем на основе решения уравнений Гамильтона. С математической точки зрения ясно, что точные решения уравнения Шредингера в большинстве случаев не могут быть получены в явном виде. Физическая же причина невозможности динамического описания состоит в том, что невозможно экспериментально привести макроскопическую систему в чистое квантовое состояние. Кроме того, реальные системы не являются полностью изолированными и в гамильтониане никогда не удается учесть вклад всех степеней свободы, связанных с внешним воздействием на систему. Поэтому в квантовой статистической механике приходится вводить ансамбли более общего типа, чем чистые ансамбли, а именно, — смешанные ансамбли (или смеси ), которые основаны на неполном наборе данных о системе. [c.26]

В котором сделаем замену переменной t = 2tr — t. Предположим, что система обладает симметрией относительно обращения времени, т. е. ее гамильтониан удовлетворяет условию (1.2.96). Тогда мы сразу видим, что преобразованный статистический оператор [c.44]

Для термодинамического описания неравновесного состояния всей системы построим квазиравновесный ансамбль, который характеризуется средними значениями гамильтонианов подсистем Я и дополнительных медленных переменных m. Очевидно, что статистическое распределение для этого ансамбля может быть записано в виде [c.102]

Рассмотрим другую ситуацию, в которой удается использовать теорию возмущений для построения неравновесного статистического распределения. Предположим, что гамильтониан системы можно представить в виде суммы Я = Я + Я, где Я — главная часть гамильтониана, а Я — малое возмущение ). Для определенности рассмотрим квантовый случай, когда оператор Лиувилля L выражается через квантовые скобки Пуассона, и запишем уравнение (2.3.13) для статистического оператора в виде [c.115]

Имеется тесная связь между методом источников для обратимых уравнений эволюции (типа уравнения Лиувилля или уравнения Шредингера) и методом квазисредних разработанным Боголюбовым [8] в равновесной статистической механике. Квазисредние вводятся для систем, обладающих некоторой симметрией. Математически симметрия описывается унитарным оператором f/, который действует на волновые функции системы и коммутирует с гамильтонианом [c.122]

Задача состоит в том, чтобы вывести уравнение, описывающее релаксацию среднего импульса примеси (Р) Чтобы применить метод неравновесного статистического оператора, нам нужно выбрать базисные динамические переменные Рт- Из сказанного выше ясно, что такими переменными являются гамильтониан системы Я и импульс примеси Р. Так как изменениями температуры мы пренебрегаем, то квазиравновесное распределение (2.1.20) в данном случае запишется в виде [c.135]

Выражение для времени релаксации (коэффициента трения) через корреляционную функцию случайных сил было получено Кирквудом [103]. Это был первый результат в теории неравновесных процессов, выведенный из первых принципов статистической механики. Поучительно отметить, однако, что в формуле Кирквуда эволюция описывалась полным оператором Лиувилля L, а не оператором + L, как в формуле (2.5.24). Кроме того, корреляционная функция вычислялась по каноническому распределению Гиббса с полным гамильтонианом Я. На первый взгляд различия в формулах для времени релаксации могут показаться несущественными, но это не так. Строго говоря, формула Кирквуда дает для времени релаксации значение = оо, а формула (2.5.24) дает конечное значение. Кирквуд привел некоторые интуитивные соображения, согласно которым интегрирование по времени в его формуле должно выполняться по интервалу Гц, значительно меньшему, чем само время релаксации Чтобы обосновать предположение Кирквуда, нужно выяснить поведение точной корреляционной функции (2.5.21) и роль проектирования в операторе эволюции. Исследование корреляционных функций такого рода будет проведено в главе 5. Здесь мы только отметим, что при описании системы полным гамильтонианом (2.5.1), который включает кинетическую энергию примесной частицы, необходимо отделить динамику случайных (микроскопических) процессов от среднего детерминированного движения примеси. Фактически это делает проекционный оператор в формуле (2.5.21). Отбрасывая проектирование в операторе эволюции, мы должны также отбросить кинетическую энергию примесной частицы в гамильтониане, т. е. вычислять корреляционную функцию случайных сил для неподвижной примеси. В этом самосогласованном приближении время релаксации дается выражением (2.5.24). [c.138]

Следуя методу неравновесного статистического оператора, начнем с граничного условия для Д/ -частичной функции распределения д х которое определяется соответствующим квазиравновесным распределением Qq x ,t). Последнее находится из условия максимума информационной энтропии при заданных неравновесных значениях наблюдаемых величин. В нашем случае такими величинами являются одночастичная функция распределения и среднее значение плотности энергии Н г))К Предполагая, что система описывается гамильтонианом (3.1.1), имеем [c.208]

Объектом изучения в этом параграфе будут квантовые системы с гамильтонианом Ht = Щ + Я, где основной член яг описывает невзаимодействующие частицы или квазичастицы (возможно, во внешнем переменном поле), а член Н — слабое взаимодействие. Мы хотим вывести для таких систем кинетическое уравнение, раскладывая неравновесный статистический оператор д 1) по степеням Я. [c.248]

Построим квазиравновесный статистический оператор, в котором учитываются многочастичные корреляции, связанные с сохранением энергии ). С этой целью возьмем одночастичную функцию Вигнера / (г,р ) и среднюю плотность энергии Н г)У в качестве независимых наблюдаемых, характеризующих неравновесное состояние системы. Для простоты мы рассмотрим однокомпонентную ферми- или бозе-систему, гамильтониан которой в представлении вторичного квантования имеет вид [c.289]

По своей структуре член Ii t) аналогичен интегралу столкновений Левинсона (4.5.13), за исключением того, что в формуле (4.5.47) поправки Хартри-Фока включены в невозмущенный оператор эволюции. Новый член Ii (t) учитывает вклад неравновесных корреляций в интеграл столкновений. Даже не производя явных вычислений, легко заметить, что в тепловом равновесии Ii t) и Ii t) точно компенсируют друг друга и, тем самым, полный интеграл столкновений (4.5.46) обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, проще всего вернуться к выражению (4.5.45) для статистического оператора. Мы уже отмечали, что в тепловом равновесии квазиравновесный статистический оператор (4.5.26) переходит в распределение Гиббса Заменяя в (4.5.45) Qq на равновесный статистический оператор и учитывая, что коммутирует с гамильтонианом системы, находим, что д = д . Отметим, что при этом каждый из интегральных членов уравнения (4.5.45) в равновесном состоянии не равен нулю [c.318]

Мы уже отмечали, что в некотором смысле теорию Кубо можно рассматривать как частный случай подхода, развитого в разделе 5.1.1, так как в теории Кубо используется специальная форма граничного условия статистического оператора [см. (5.1.52)]. Отметим, однако, что это условие далеко не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Оно означает, что сначала система находилась в тепловом равновесии с термостатом, а в дальнейшем влияние термостата не учитывается, поскольку гамильтониан Я + Н] относится лишь к самой системе. Другими словами, формулы Кубо (5.1.57) и (5.1.59) описывают отклик изолированной системы на внешние механические возмущения. Вообще говоря, этот отклик не обязан совпадать с откликом системы, находящейся в процессе эволюции в контакте с термостатом. Так как реальные системы всегда взаимодействуют с окружением, исключение влияния термостата не вполне соответствует условиям реальных экспериментов. С этой точки зрения метод, изложенный в разделе 5.1.1, кажется более последовательным, поскольку использование квазиравновесно-го распределения Qq t) для формулировки граничного условия к уравнению Лиувилля можно рассматривать как нарушение абсолютной изоляции системы. [c.351]

Мы закончим наше краткое обсуждение линейных кинетических уравнений одним замечанием. Обратим внимание на то, что после линеаризации квазиравновесного статистического оператора (5.4.7) все равновесные корреляционные функции, определяющие статические восприимчивости и кинетические коэффициенты, вычисляются с полным гамильтонианом системы Н. Таким образом, в кинетическом уравнении (5.4.18) точно учитываются равновесные многочастичные корреляции. С этой точки зрения формализм функций памяти напоминает подход к кинетической теории плотных систем, который обсуждался в разделе 4.3.4 в связи с выводом квантового аналога уравнения Энскога ). [c.390]

Другой пример процессов, для которых кинетические коэффициенты выражаются через временные корреляционные функции с обычным определением эволюции микроскопических потоков, это медленные (марковские) процессы в системах, состоящих из слабо взаимодействующих подсистем. В таких случаях корреляционные функции вычисляются с частично-равновесным статистическим оператором (6.2.7), где T t) = l/P t) — неравновесная температура подсистемы и — некоторый эффективный гамильтониан. Кинетический коэффициент в частично-равновесном состоянии имеет вид [c.36]

Более строго надо рассматривать общую волновую функцию [ > системы и источника. Пусть интересующая нас система А взаимодействует или взаимодействовала с другой системой В (например, с термостатом или источником), тогда отдельной волновой функции для А ] не существует. Легко показать, что все свойства А можно задать с помощью некоторого оператора, называемого оператором плотности (или статистическим оператором). Пусть наблюдаемая / относится к системе А, и нас интересует = ( I / I Разложим вектор )> по собственным векторам = [и ) каких-либо операторов (например, гамильтонианов Ж А И Ж В, относящихся соответственно к системам А ш В), тогда [c.58]

Чтобы достичь нашей цели, покажем сначала, что при вычислении низколежащих энергетических уровней неидеального газа гамильтониан системы может быть заменен эффективным гамильтонианом, в который явно входят только параметры рассеяния, в частности длина рассеяния. Статистическая сумма неидеального газа вычисляется на основе этого эффективного гамильтониана. Этот метод, впервые предложенный Ферми [21] ), называется методом псевдопотенциалов 2). [c.301]

Предположим, что гамильтониан рассматриваемой системы, деленный на температуру, Н/в (в таком виде он входит к статистическую сумму Z) определяется п параметрами X, = Х, ..., Х ). Для рассмотренной ранее системы Изинга это параметры, пропорциональные внешнему магнитному полю h = oH/в и энергии взаимодействия ближайших соседей К = 1/в. Масштабное преобразование Каданова определяло новый гамильтониан Н /в, имеющий структуру исходного Н/в, но характеризующийся новыми параметрами [c.365]

Энтропия в неравновесной статистической физике зависит от способа описания неравновесного состояния системы. Напр., неравновесное гидродинамич. состояние однокомпонентных газов и жидкостей определяется неоднородными распределениями ср. значений плотностей энергии <Я(д )> , числа частиц , т. е. плотностей интегралов движения. Динамические переменные Н х), п х), р(х) в классич. случае являются ф-циями координат и импульсов частиг1, а в кван. случае—соответствующими операторами. Операция усреднения <...) выполняется с неравновесной функцией распределения /(/ , q, t), удовлетворяющей Лиувы-пл.ч уравнению dfjdt— H, /] Я—гамильтониан системы, Н, [c.617]

Обычный метод изучения равновесных свойств состоит в вычислении статистической суммы Z Т, Т, N). Для классической системы с гамильтонианом (6.1.1) выражение для статистической сушш находим из (4.3.26) [c.210]

Квантовое уравнение Энскога. Мы применим теперь квазирав-повеспый статистический оператор (4.3.35) для вывода кинетического уравнения в рамках приближения парных корреляций, сформулированного в разделе 4.3.1. Для определенности будем считать, что система описывается гамильтонианом (4.3.32) или, что то же самое, гамильтонианом (4.2.1). Предположим также, что потенциал Ф соответствует малому радиусу взаимодействия и поэтому эффекты экранирования можно не учитывать. [c.291]

Немарковский интеграл столкновений с учетом корреляций. Посмотрим теперь, к каким изменениям в немарковском интеграле столкновений приводит новое выражение для квазиравновесного статистического оператора. Чтобы учесть поправки Хартри-Фока в энергию квазичастиц, запишем гамильтониан системы в виде (4.5.29). Тогда вместо (4.5.8) мы получим следующее интегральное уравнение для неравновесного статистического оператора [c.317]

Здесь необходимо сделать еще одно замечание относительно полученного нами выражения (5.1.16) для статистического оператора. Мы предполагали, что равновесное состояние системы описывается большим каноническим ансамблем, поэтому гайзен-берговское представление для мнимого времени (5.1.7) определяется с эффективным гамильтонианом % = Н — jllN. С другой стороны, операторы эволюции (5.1.15) выражаются через Я независимо от равновесного распределения. То есть, строго говоря, динамические переменные в (5.1.16) можно считать функциями одного аргумента ti - -ij3hx только для канонического ансамбля. Отметим, однако, что в теории линейной реакции интересующие нас динамические переменные, как правило, коммутируют с оператором числа частиц N. Для таких переменных справедливы равенства [c.342]

Так как эти функции — основные математический объекты в теории линейной реакции, имеет смысл хотя бы кратко остановиться на их свойствах ). Для определенности мы рассмотрим квантовые системы и будем считать, что равновесное состояние описывается большим каноническим ансамблем со статистическим оператором (5.1.2). Тогда в (5.1.27) A t) и B t ) — некоторые квантовые операторы в представлении Гайзенберга с эффективным гамильтонианом 7/, т. е. [c.345]

Вообще говоря, в неравновесной статистической механике мы встречаемся с корреляциями двух типов. Термодинамические корреляции описываются оператором энтропии S t) в квазиравновесном распределении Qq t) = ехр — 5( ) , в то время как динамические корреляции описываются членом взаимодействия в гамильтониане Я. В теории линейной реакции обычно нет необходимости разделять термодинамические и динамические корреляции, поскольку оператор энтропии в равновесном распределении Гиббса полностью определяется гамильтонианом системы. Это обстоятельство позволяет учесть корреляции обоих типов в рамках единого метода. Наиболее популярным методом такого рода является формализм функций Грина, зависящих от мнимого времени . Он впервые был предложен Мацубарой [126] и затем развивался многими авторами. Метод мацубаровских функций Грина и его многочисленные приложения излагаются, например, в книгах [1, 64, 123]. [c.8]

Действительно, когда мы говорим о повторении опытов, служаш их для проверки вероятностного закона распределения, то мы говорим всегда о некоторых идеализированных условиях, в частности — о некотором идеализированном описании системы ансамбля, и всегда считаем, что во всех опытах мы имеем дело с точно такой же (идеа-лизированнс>й) системой. В квантовой механике эти идеализированные условия опыта принципиально однородны (см. 12). В классической механике совершенно однородные условия опыта привели бы к совершенно тождественным результатам испытания поэтому, в соответствии с Гиббсом, считают, что закон распределения результатов испытаний заранее заключен в законе распределения начальных условий,— даже тождественным образом совпадает с ним (с точностью до однозначного преобразования, производимого уравнениями динамики). О недопустимости — с физической точки зрения — предположения о том, что в классической теории законы статистической физики могут основываться на суш ествовании определенных законов распределения начальных микросостояний, уже много говорилось раньше. Здесь отметим лишь, что и в классической теории представление об идеальном ансамбле основано, в соответствии с точкой зрения Гиббса, на представлении совершенно тождественных (по гамильтониану) систем, находяп1 ихся в различных микроскопических состояниях. [c.86]

На практике часто приходится сталкиваться с трудностью, зайлю-чающейся в том, что системы (здесь спины), образующие ансамбль, иногда статистически отличаются своими гамильтонианами, а также и своими волновыми функциями (коэффициенты а ) при = 0. Например, вследствие неизбежной неоднородности внешнего поля в пределах ансамбля ларморовские частоты всех спинов будут распределены в соответствую- [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...