Гамильтониан гармонических осцилляторов

Выражение (8.28а) является суммой гамильтониана жесткого волчка и гамильтонианов гармонических осцилляторов остальные члены в выражении (8.28) создают эффекты центробежного искажения, кориолисова взаимодействия колебаний и ангармоничности ). Сначала мы определим точные собственные функции разделяющегося гамильтониана в выражении (8.28а), а в гл. 10 воспользуемся этими собственными функциями для определения типов симметрии уровней энергии. Запишем [c.192]

Их коммутаторы с гамильтонианом гармонического осциллятора [согласно уравнениям (8.144) и (8.145)] равны [c.210]

Гамильтониан гармонического осциллятора для молекулы, согласно формуле (8.28а), равен [c.214]

С этой целью произведем вначале КП А, г Л q, т А — q- - гтг) / д/2, где q, тг — координата и импульс. Это преобразование приводит (3) к гамильтониану гармонического осциллятора [c.426]

Техника лазерного охлаждения сделала возможным уменьшить кинетическую энергию накопленных в ловушке ионов до такого уровня, когда движение центра инерции иона должно рассматриваться на основе квантовой механики. Поскольку удерживающий ионы потенциал квадрупольной ловушки, типа показанной на рис. 1.2 ловушки с крышками, в первом приближении квадратичен, движение центра инерции описывается гамильтонианом гармонического осциллятора. [c.44]

Гамильтониан гармонического осциллятора с вынуждающей силой имеет вид [c.356]

Линейные по А/1 члены выпадают в силу (2.4.20) опуская постоянные, мы приходим к гамильтониану гармонического осциллятора [c.129]

Вырождение. Сравним полученные результаты с вырожденным случаем, когда в гамильтониане (2.4.65) = 0. Проводя разложение в окрестности центра резонанса как по АР , так и по А , приходим к гамильтониану гармонического осциллятора с [c.137]

Уравнение (3.99), которое уже не содержит электронной координаты, решается просто. Гамильтониан Яиг — гамильтониан гармонического осциллятора, включающий потенциальную энергию, которую можно записать в виде хд /2. Добавочное слагаемое —ц е1Х просто сдвигает начало координат в выражении для потенциальной энергии [c.375]

Вернемся к задаче об излучении, используя для описания решетки и излучающего ядра методы квантовой механики. Для определенности допустим, хотя результаты и не зависят от этого предположения, что спектр колебаний совпадает со спектром колебаний идеального кристалла. Соотношение (4.39) выражает гамильтониан решетки в виде суммы гамильтонианов гармонических осцилляторов [c.477]

Найти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которого [c.185]

Задача о гармоническом осцилляторе. В качестве примера применения метода Гамильтона—Якоби мы подробно рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе с одной степенью свободы. Гамильтониан такой системы равен [c.305]

Давайте разберем заодно и трехмерный гармонический осциллятор ему соответствует гамильтониан [c.157]

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как возмущение . Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль- [c.183]

Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения. [c.204]

Рассмотрим тривиально простой пример системы двух несвязанных гармонических осцилляторов, описываемых гамильтонианом [c.357]

В фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора с гамильтонианом Н = (р + со )/2 выбирается область до-а) + 1/(о ) ро-Ь 1, где аиЬ — постоянные. Из каждой точки этой области выпускается прямой путь системы. Как изменяются форма и положение этой области во времени [c.228]

В этой главе мы изучим квантовые состояния простого гармонического осциллятора, описываемого гамильтонианом [c.123]

Можно сделать замечание о дополнительной симметрии, возникающей из-за того, что гармонический гамильтониан (114.8) разбивается на подгруппы гармонических гамильтонианов, относящихся к вещественным нормальным координатам ( //)-мерного неприводимого векторного пространства При этом мы должны рассматривать (в-//)-мерный изотропный гармонический осциллятор для каждого такого векторного пространства. Группа симметрии (5 //)-мерного изотропного осциллятора независимо от рассматриваемой физической пространственной симметрии, является группой т. е. специальной унитарной [c.376]

Для рассмотрения квантовых состояний отдельных мод достаточно быть знакомым с элементарным описанием отдельного гармонического осциллятора. Гамильтониан [c.71]

Гармонический осциллятор. Проиллюстрируем достоинства переменных действие — угол на примере гармонического (линейного) осциллятора, гамильтониан которого имеет вид [c.36]

Медленно изменяющийся гармонический осциллятор. Из выражения (2.3.25), обозначая штрихом дифференцирование по аргументу и записывая для простоты со вместо соо. получаем гамильтониан [c.156]

Гамильтониан заряженной частицы 69, 80, 356 Гармонический осциллятор 49, 239, 302 [c.403]

Гамильтониан, описывающий волны решетки, подобен гамильтониану совокупности независимых гармонических осцилляторов по этой причине квантование волн решетки производится по хорошо известным правилам, развитым для отдельного осциллятора [4]. Заметим прежде всего, что правила перестановки для решеточных координат Ра и непосредственно следуют из правил перестановки для координат и импульсов отдельных ионов. Последние правила имеют вид [c.36]

Как известно, гамильтониан свободного электромагнитного поля может быть записан в виде суммы членов, каждый из которых имеет форму гамильтониана гармонического осциллятора с некоторой собственной частотой. Это соответствует возможности рассматривать поле излучения как линейную суперпозицию плоских волн различных частот. В квантовой теории каждый гармонический осциллятор с частотой <л может иметь только следующие значения энергии (л + Уг) . где п = 0. 1, 2, . . Это приводит к представлению о фотонах как квантах электромагнитного поля. Состояние свободного электромагнитного поля характеризуется числами п для каждого из осцилляторов поля. Другими словами, оно характеризуется числом присутствующих фотонов каждой частоты. [c.278]

Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн в макроскопическом теле. Теоретически они вводятся совершенно так же, как фотоны при квантовании электромагнитного поля. Выше указывалось, что электромагнитное поле в полости может быть разложено в ряд Фурье по плоским волнам. При этом гамильтониан электромагнитного поля разлагается на сумму членов, каждый из которых соответствует одному гармоническому осциллятору. Квантами энергии этих гармонических осцилляторов и являются фотоны. Аналогично гамильтониан твердого тела, которое построено из атомов, образующих кристаллическую решетку, может быть аппроксимирован суммой членов, каждый из которых представляет гармонический осциллятор, соответствующий нормальному колебанию системы атомов ). В классической теории нормальное колебание есть волна деформации плоскостей решетки, т. е. звуковая волна. В квантовой теории нормальные колебания порождают кванты, называемые фо-нонами. [c.283]

Определение. Линейным или гармоническим осциллятором называют физическую систему с гамильтонианом [c.125]

Найдем решение уравнений, порождаемых гамильтонианом (29.24). С этой целью произведем вначале КП А, г А -> д, тг А = (д + гтг)/ /2, гдед, тг — координата и импульс. Это преобразование приводит (29.24) к гамильтониану гармонического осциллятора [c.325]

Простой гармонический осциллятор, колеблющийся вдоль оси Z, находится в основно.м состоянии. При f = 0 включается мектрическое поле с напряженностью S l) = = 6 ре р(— t/z) вдоль оси, приводящее к появлению в гамильтониане возмущения К = = —qxS(t). Определить вероятность того, что осциллятор будет найден в возбужденном состоянии при [c.244]

Мы начнем с одномерного гармонического осциллятора. В самом общем случае гамильтониан одномерной систел1ы имеег вид [c.156]

Квантование системы гармонических осцилляторов. Рассмотрим важный частный случай — систему п квантовых левзаимодойствующих гармо]тч. осцилляторов (единичной массы) с гамильтонианом [c.358]

Этот классический гамильтониан вьп лядит точно так же, как гамильтониан осциллятора с массой. В случае осциллятора с массой изменятся лишь формулы (1.18), описывающие безразмерный импульс и координату. Однако этот факт не повлияет на динамику системы, т е. на ее поведение во времени. В гармоническом осцилляторе с массой колебания сопровождаются периодическим переходом энергии из потенциальной формы в кинетическую, а в электромагнитном поле она переходит из электрической формы в магнитную. Следовательно электрическое поле играет роль обобщенного импульса, а магнитное поле — роль обобщенной координаты. Слово обобщенный появилось здесь не случайно, так как обобщенный импульс поля не имеет никакого отношения к импульсу электромагнитного поля, который определяется с помощью вектора Пойнтинга. В осцилляторе же с массой обобщенный импульс совпадает с механическим импульсом частицы. [c.14]

Если адиабатический гамильтониан описьтается выражением (6.8), то собственными функциями и собственными значениями (6.10) будут функции и энергии гармонического осциллятора. [c.71]

P -ihdldQ H функции одномерного гармонического осциллятора Фу = v). Используется величина входящая в гамильтониан одномерного гармонического осцил-лятора (РЧ <3 ). [c.214]

Колебательный гамильтониан линейной молекулы зависит от 3N — 5 нормальных координат (из оставшихся координат три описывают трансляции и две —вращения), из которых jV—1 являются невырожденными, а N—2 — дважды вырожденными деформационными. Следовательно, волновые функции в нулевом гармоническом приближении представляют собой произведения волновых функций N—1 одномерных н N — 2 двумерт1ых гармонических осцилляторов [c.368]

Полученный при этом гамильтониан нулевого порядка представляет собой сумму гамильтониана трехмерного жесткого волчка и гамильтонианов ЪЫ — 6 одномерных гармонических осцилляторов. Наложение условий Эккарта мииимизирует оператор Ра, и поэтому пренебрежение ими является неплохим приближением. Матрица I выбирается таким образом, что главная часть V n не содержит перекрестных членов ФrsQrQs н 3N [c.382]

Vo(p) зависят от р. Так как К зависят от р, гамильтониан всех 3N — 7 гармонических осцилляторов зависит от р как от параметра (аналогично тому, как в приближении Борна — Оппен-геймера электронный гамильтониан молекулы зависит от координат ядер как от параметров). Следовательно, нормальные координаты зависят от р, и эта зависимость может быть найдена явно, если известна зависимость молекулярного силового поля от р. [c.383]

Функция является усечением ряда Маклорена для потенциала цепочки Тоды ехр( а 1-Ьжг)+ехр(—-Ьа 2)+ехр(—212) систему с гамильтонианом (5,27) можно назвать усеченной цепочкой Тоды, При N = 2 имеем гармонический осциллятор, при = 3 — систему Хенона—Хейлеса в [237] доказано отсутствие нового голоморфного интеграла усеченной цепочки Тоды при N 3. [c.370]

Формальное решение. К сожалению, формальное решение (2.42) верно только для независяш,их от времени гамильтонианов. В разделе 18.5 мы рассматриваем взаимодействие атома с резервуаром гармонических осцилляторов, представляюш,их моды электромагнитного поля. В этом случае гамильтониан явно зависит от времени. Поэтому нужны какие-то другие приёмы нахождения формальных решений. [c.84]

Как известно, это выражение представляет собой гамильтониан системы невзаимодействующих гармонических осцилляторов [19]. Гамильтониан (3.10) можно рассматривать в представлении Шредингера, так же как мы рассматривали гамильтониаи электрон-ионной системы, т. е. заменяя импульс (Й/г) однако нам это не потребуется. Поскольку гамильтониан излучения имеет вид (3.10), невозмущенная волновая функция поля излучения равна произведению волновых функций гармонических осцилляторов [c.22]

В П. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны. В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290 ] получения адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен резонанс волна—частица. [c.148]

Таким образом, задача нахождения а сводится к определению х к, J), что в свою очередь сводится к вычислению dN (к, J)/dt. Для нахождения dN к, J)/dt нужно вычислить вероятность перехода кристалла в единицу времени из некоторого начального состояния il3i> с энергией Ei в какое-то конечное состояние <г1з/1 с энергией Ef, в котором число звуковых фононов убывает или возрастает из-за взаимодействия с тепловыми фононами. Предположим, что главный вклад дают те переходы, в которых N (к) изменяется только на единицу (первый порядок теории возмущений переходы с изменением числа фононов на два будут относиться ко второму порядку теории возмущений и т. д.). Вычисление dN к, J)/dt производится по хорошо известным правилам квантовомеханической теории возмущений применительно к набору гармонических осцилляторов. При чисто гармонических колебаниях решетки, т.е. когда отсутствуют взаимодействия фононов, никаких релаксационных процессов, конечно, происходить не будет и поглощение звука будет отсутствовать. Однако из-за ангармонических эффектов появляется некоторая добавка fint к гамильтониану гармонического кристалла, которую можно при определенных условиях рассматривать как малое возмущение. Тогда, согласно основному соотношению теории возмущений [26], [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...