Выбор гамильтониана

Свобода в выборе гамильтониана нулевого приближения открывает широкие возможности построения приближенных решений, отличающихся различной скоростью сходимости. [c.305]

Основой для рассмотрения комбинационного рассеяния света является гамильтониан, состоящий из гамильтониана свободного излучения, поля фононов и экситонов, а также членов наинизшего порядка, соответствующих взаимодействию между полями экситонов и фотонов и полями экситонов и фононов. Здесь следует заметить, что при таком выборе гамильтониана мы автоматически включаем в теорию часть важных взаимодействий. Можно было бы, например, возвратиться к началу рассмотрения предыдущего пункта, а именно снова рассмотреть одночастичный гамильтониан (6.84), построенный с помощью блоховских функций [c.89]

Однако вопрос о том, какие именно члены разложения (2.73) следует учитывать при решении конкретной задачи, остается открытым. Вместе с тем неудачный выбор гамильтониана (в частности, использование в процессе минимизации оператора с сильно коррелирующими параметрами) может привести к физически некорректным значениям большинства центробежных постоянных. В связи с этим определенный интерес представляет исследование [c.55]

Разумеется, конечная цель экспериментов по рассеянию всегда состоит в отыскании закона взаимодействия. В более традиционной постановке гамильтониан выбирают исходя из соображений простоты или из некоторого класса операторов. Выбор класса операторов, обладающих определенными свойствами, производится на основе какой-либо более фундаментальной теории либо же его подбирают, руководствуясь какими-либо другими критериями. После того как произведен выбор гамильтониана, вычисляют сечение. Если результат не согласуется с экспериментом, то от данного гамильтониана либо отказываются вовсе, либо его как-то видоизменяют. Нет необходимости говорить о том, что при таком подходе очень важны хорошая интуиция, даваемая опытом, и способность проникать в физическую сущность эффектов, возникающих в экспериментах по рассеянию и обусловленных определенными характерными особенностями сил взаимодействия между частицами. Именно при данном подходе особенно полезны такие простые приближения, как приближение эффективного радиуса, борновское приближение и др. С помощью физической интуиции из экспериментальных данных можно сделать разумные и достаточно надежные выводы о характере потенциала. Вместе с тем совершенно очевидно, что наиболее прямой путь получения искомых результатов состоит в разработке математического метода построения гамильтониана исходя из экспериментальных данных по рассеянию. Если гамильтониан невозможно определить однозначно, то такой метод должен устанавливать класс гамильтонианов, приводящих к одинаковым экспериментальным результатам. [c.557]

В общем случае, конечно, невозможно сформулировать рецепт, как смоделировать реальную физическую систему т. е. какую структуру гамильтониана Я надо выбрать для ее микроскопической конкретизации (выбор гамильтониана — это исходный момент статистического рассмотрения), так чтобы, с одной стороны, он учитывал те микроскопические особенности системы, которые через сосчитанную с помощью его собственных значений Е статистическую сумму объяснили бы характерные ее макроскопические свойства, а с другой — чтобы неучтенная в модели Я [c.137]

Если в рассматриваемой системе нет выделенного направления (при сделанном нами выше выборе гамильтониана оно именно так и есть), то аналогичное утверждение имеет место и по отношению к поворотам всей группы аргументов д,. [c.300]

Естественно, что для реального осуществления этой программы выбор гамильтониана Но должен быть сделан так, чтобы величина 2о = 8ре / и средние по распределению считались бы до конца. Те же соображения используются [c.351]

Естественно, что для реального осуществления этой программы выбор гамильтониана Но должен быть сделан так, чтобы величина 2о=—0 Зр ехр —Яо/0 и средние по распределению ехр (—Яо/0 считались бы до конца. Те же соображения используются для выбора Но и при построении теории возмущений, по этому сравним вариационную оценку термодинамического потен [c.690]

Эти утверждения верны только в том случае, когда на выбор окольных путей не накладываются какие-либо дополнительные условия. Если же при наличии на прямом пути кинетического фокуса ограничиться выбором окольных путей, также проходящих через этот фокус, то на прямом пути будет достигаться минимум действия по Гамильтону, [c.283]

Обратимся вновь к рис. VI 1.3. Из точки А в точку В ведут два прямых пути —по меньшей и по большей дугам большого круга выбор одного из них определяется направлением начальной скорости. Путь по меньшей дуге не проходит через точку Л, и на этом пути действие по Гамильтону достигает минимума путь по большей дуге проходит через кинетический фокус А, и на этом пути действие также достигает стационарного значения, но уже не минимально. [c.284]

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа с О задает свободное каноническое преобразование. [c.319]

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону 1. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на q и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим [c.330]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Особенностью принципа Гамильтона — Остроградского является то, что он не связан с выбором координат. Это его отличает от [c.99]

Невозмущенная функция Гамильтона Hq, как отмечалось, должна быть достаточно простой, т. е. допускать точное вычисление входящих в разложение (12.60) моментов (12.59). Возмущение Н = Н — Но должно быть по возможности малым. Один из возможных методов выбора Hi дает приводимый ниже вариационный принцип Боголюбова. [c.210]

При прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как при этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями, как и в методе Лагранжа. Преимущества метода Гамильтона заключаются не в его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как независимых переменных предоставляет большую свободу для выбора величин, которые мы принимаем за координаты и импульсы . В результате мы приходим к новым, более абстрактным формам изложения физической сущности механики. Хотя полученные таким путем методы могут оказать некоторую помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции классической механики были исходными пунктами в построении статистической механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций, получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая главы. [c.263]

Принцип Гамильтона особенно ценен в том отношении, что он совершенно не зависит от выбора системы координат. Действительно Т и V (как и 5А) являются величинами, имеющими непосредственный физический смысл они могут быть выражены в любых координатах. Мы воспользуемся этим в следующем параграфе. [c.247]

Замечание 3. Выбор величин входящих в характеристическую функцию Гамильтона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным. Постоянные o i, 2,..., Oin-i имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. [c.362]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

При таком выборе функции выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле (26), тождественно равно нулю и новая функция Гамильтона будет иметь вид (22), причем [c.394]

При одновременном изменении знаков (Тк и компонент вектора Гк эта система уравнений не изменяется. Знак же скалярного произведения гк Jsk) изменяется на противоположный. Поэтому равенству (43) можно всегда удовлетворить выбором знака а к в функции Гамильтона (32) и соответствующей нормировкой собственного вектора е/.. [c.398]

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Я2, имеет только простые чисто мнимые корни (/с = 1, 2,..., п). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Н2 можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных [c.399]

Дифференциальное уравнение (63) открывает много возможностей для преобразования выражений путем выбора других независимых переменных, которыми частично пользовался уже Гамильтон ). Но так как он при этом предполагал, что живая сила является однородной функцией второго порядка от скоростей, то я позволю себе здесь провести то из этих преобразований для более общей формы задачи, при котором не приходится исключать действие внешних переменных сил. Это преобразование получается следующим образом в выражении для Н или соответственно для Е скорости д, заменяются импульсами 5,-. [c.457]

Это и является уравнением Эйлера, если Я отождествляется с давлением р. Таким образом, с точки зрения аналитической механики гидродинамическое давление р представляет реакцию, связанную с условием несжимаемости, которому должен удовлетворять выбор Я. Интеграл по поверхности, который также обращается в нуль согласно принципу Гамильтона, дает граничные условия, требующиеся для полного определения давления. [c.843]

В 3 главы 1 синергетический подход используется для описания термодинамических (п. 3.1) и кинетических (п. 3.2) переходов. При описании первых в качестве параметра превращения используется плотность сохраняющейся величины, а во втором случае — сопряженный ей поток. Наше рассмотрение основывается на уравнении непрерывности и соотношении Онзагера, обобщение которых на нестационарный случай приводит к системе Лоренца. В этой связи можно предполагать, что развитый формализм представляет синергетическое обобщение физической кинетики. В п. 3.3 показано, каким образом уравнения Лоренца следуют из полевого подхода. Важная особенность сильно неравновесных систем состоит в том, что их поведение определяется как одиночными возбуждениями фермиевского типа, так и коллективными — бозевско-го. Поэтому последовательная микроскопическая теория таких систем должна носить суперсимметричный характер. Соответствующая техника изложена в 4 главы 1, где сначала (п.4.1) проведена микроскопическая интерпретация модели Лоренца. Показано, что она отвечает простейшему выбору гамильтониана бозон-фермионной системы. В п. 4.2 представлен суперсиммефичный лафанжев формализм, позволяющий воспроизвести уравнения Лоренца, в которых роль управляющего параметра ифает энтропия (см. также Приложение В). Использование корреляционной техники в п. 4.3 позволяет самосогласованным образом описать эффекты памяти и потери эргодичности в процессе самоорганизации. Получены [c.8]

Условия существования решения. Скорость сходимости ряда (28.7) существенно зависит от выбора гамильтониана нулевого приближения Нд. Иногда ряд удается суммировать, т.е. представить в терминах известных функций. В некоторых случаях ряд оказывается асимптотическим. Для суммирования таких рядов можно использовать методы Паде и Бореля, которые позволяют восстановить решение (28.1) в определенном интервале по нескольким первым членам и асимптотике при п -> оо [162, 199]. [c.304]

Один из методов нахождения специальных интегрируемых гамильтонианов состоит в выборе гамильтониана определенного вида, зависящего от некоторых произвольных параметров, и подборе таких значений этих параметров, при которых имеет место свойство Пенлеве. Например, для обобщенного гамильтониана Хенона—Хейлеса (1.3.58) [c.58]

В общем случае, конечно, невозможно сформулировать рецепт, как смоделировать реальную физическую систему, т. е. какую структуру гамильтониана Я надо выбрать для ее микроскопической конкретизации (выбор гамильтониана эги исходные момент статистического рассмотрения), так, чтобы, с одной гторо- [c.436]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

При таком выборе функции 5 выра/кение, заключенное в квадратные скобки в форл1у.1ге (2(1), тождественно равно нулю и по1 ая функция Гамильтона будет иметь вид (22), ириче.м [c.316]

Это равенство является, с одной сторот1ы, условием нормировки собственного вектора е , а с другой—ус.яовием выбора знака в функции Гамильтона (32), который до сих нор был не определен. Действительно, приравняв в обоих частях уравнения — = iOf eft (е = Г .+ (Зй) действительную и мнимую части, получим систему уравнений для и s [c.320]

Но ядра осуществляют свое медленное движение в поле, которое создано не мгновенным расположением электронов, а некоторым средним по времени пространственным расположением, поскольку электрон (валентный) успевает многократно пробежать все точки своей траектории за время заметного смещения ядер. Поэтому из выражения (2. 1) выпадают слагаемые, описывающие кинетическую энергию ядер и взаимодействие ядео между собой. Действительно, кинетическая энергия ядер обращается в нуль, а энергия взаимодействия ядер представляет собой константу, которую путем выбора начала отсчета энергии можно обратить в нуль. Учитывая сделанные приближения, запищем выражение для гамильтониана, который обозначим через Йе и будем называть гамильтонианом электронов [c.48]

В этом случае уравнения Гамильтона становятся разрешимыми поеле применения канонического преобразования, приводящего к новой системе, в которой пространетвенная координата являетея циклической. Так как ответ для этой задачи уже известен, то она может служить только иллюстрацией общего метода, с помощью которого все координаты делаются циклическими за счет надлежащего выбора производящей функции. На данном этапе не очевидно, что определение этой функции представляет собой что-либо иное, кроме догадки. Разработка некоторого рацио- [c.94]

Это равенство является, с одной стороны, условием нормировки собственного вектора е/., а с другой — условием выбора знака ak в функции Гамильтона (32), который до сих пор был не определен. Действительно, приравняв в обеих частях уравнения JHe/. = i Fk k к = + к) действительную и мнимую части, получим систему уравнений для Гк и Ski [c.398]

Дифференциальное уравнение Гамильтона в частных производных, а также частный случай теоремы Гамильтона Якоби, когда постоянные а и Р имеют смысл начальных значений фазовых координат и р, встречаются в работе Гамильтона [16], 1834 г. В более общем виде, при большом произволе в выборе параметров а и Р, теорема была доказана Якоби в 1837 г. ( relle s Journal, XXVII, стр. 97). См. также Лекции Якоби [17], стр. 157. [c.286]

Во введении к своей механике Генрих Герц говорит ), что принцип Гамильтона часто дает физически неверные результаты. В доказательство он приводит случай, в котором, как он сам замечает, путем простого рассуждения без расчетов можно обозреть как те движения, которые могут быть фактически совершены, так и движения, которые соответствуют принципу Гамильтона. Герц добавляет, что результат не меняется, если вместо принципа Гамильтона воспользоваться принципом наименьшего действия Мопер-тюи. Рассмотрим его пример. В этом примере дан шар, который по инерции катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости ). Согласно Герцу, здесь принципу Гамильтона будут соответствовать такие движения, которые при заданной постоянной живой силе в кратчайшее время достигают заданной цели отсюда вытекает, что переход из любого начального положения в любое конечное положение был бы возможен без приложения какой бы то ни было силы. Это заключение, которое больше относится к принципу наименьшего действия, нежели к принципу Гамильтона, получается примерно так. Если произвольно выбрать начальное и конечное положения шара, то всегда возможны переходы из первого во второе путем чистого качения ). Из всех этих переходов, каждый из которых совершается при сохранении постоянной живой силы и при одной и той же живой силе, один, определенный, потребует наименьшего времени ). Он соответствует, по мнению Герца, принципу Гамильтона и принципу наименьшего действия. Этому результату Герц противопоставляет тот факт, что в действительности, несмотря на произвол выбора начальной скорости, естественный переход из одного положения в любое другое положение при отсутствии действия сил невозможен. [c.538]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...