Гамильтониан для осцилляторов

Выражение (8.28а) является суммой гамильтониана жесткого волчка и гамильтонианов гармонических осцилляторов остальные члены в выражении (8.28) создают эффекты центробежного искажения, кориолисова взаимодействия колебаний и ангармоничности ). Сначала мы определим точные собственные функции разделяющегося гамильтониана в выражении (8.28а), а в гл. 10 воспользуемся этими собственными функциями для определения типов симметрии уровней энергии. Запишем [c.192]

Гамильтониан гармонического осциллятора для молекулы, согласно формуле (8.28а), равен [c.214]

Уравнение (3.99), которое уже не содержит электронной координаты, решается просто. Гамильтониан Яиг — гамильтониан гармонического осциллятора, включающий потенциальную энергию, которую можно записать в виде хд /2. Добавочное слагаемое —ц е1Х просто сдвигает начало координат в выражении для потенциальной энергии [c.375]

Вернемся к задаче об излучении, используя для описания решетки и излучающего ядра методы квантовой механики. Для определенности допустим, хотя результаты и не зависят от этого предположения, что спектр колебаний совпадает со спектром колебаний идеального кристалла. Соотношение (4.39) выражает гамильтониан решетки в виде суммы гамильтонианов гармонических осцилляторов [c.477]

Сконструируем теперь гамильтониан Н для осцилляторов, действующий аналогичным образом [c.250]

Соответственно гамильтониану (5.42) уравнение Шредингера для стационарных состояний осциллятора записывается так [c.150]

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как возмущение . Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль- [c.183]

Можно сделать замечание о дополнительной симметрии, возникающей из-за того, что гармонический гамильтониан (114.8) разбивается на подгруппы гармонических гамильтонианов, относящихся к вещественным нормальным координатам ( //)-мерного неприводимого векторного пространства При этом мы должны рассматривать (в-//)-мерный изотропный гармонический осциллятор для каждого такого векторного пространства. Группа симметрии (5 //)-мерного изотропного осциллятора независимо от рассматриваемой физической пространственной симметрии, является группой т. е. специальной унитарной [c.376]

Для рассмотрения квантовых состояний отдельных мод достаточно быть знакомым с элементарным описанием отдельного гармонического осциллятора. Гамильтониан [c.71]

Сделаем замечание относительно уравнений движения для проекций. Рассмотрим канонически сопряженную пару переменных (р, д) и соответствующую им пару операторов (р, Уравнения движения для классических переменных (р, д) являются гамильтоновыми. Однако уравнения движения для средних (, <д>), вообще говоря, гамильтоновыми не являются. Исключение составляют системы с квадратичным по р, д гамильтонианом (например, линейный осциллятор). Приведем пример, иллюстрирующий сделанное утверждение [147]. [c.167]

Медленно изменяющийся гармонический осциллятор. Из выражения (2.3.25), обозначая штрихом дифференцирование по аргументу и записывая для простоты со вместо соо. получаем гамильтониан [c.156]

Гамильтониан, описывающий волны решетки, подобен гамильтониану совокупности независимых гармонических осцилляторов по этой причине квантование волн решетки производится по хорошо известным правилам, развитым для отдельного осциллятора [4]. Заметим прежде всего, что правила перестановки для решеточных координат Ра и непосредственно следуют из правил перестановки для координат и импульсов отдельных ионов. Последние правила имеют вид [c.36]

Как известно, гамильтониан свободного электромагнитного поля может быть записан в виде суммы членов, каждый из которых имеет форму гамильтониана гармонического осциллятора с некоторой собственной частотой. Это соответствует возможности рассматривать поле излучения как линейную суперпозицию плоских волн различных частот. В квантовой теории каждый гармонический осциллятор с частотой <л может иметь только следующие значения энергии (л + Уг) . где п = 0. 1, 2, . . Это приводит к представлению о фотонах как квантах электромагнитного поля. Состояние свободного электромагнитного поля характеризуется числами п для каждого из осцилляторов поля. Другими словами, оно характеризуется числом присутствующих фотонов каждой частоты. [c.278]

Выразим теперь гамильтониан Я через операторы рождения и уничтожения, как это было сделано для одномерного осциллятора. Проведем преобразование в два приема сначала найдем совокупность нормальных координат q , по отношению к которым потенциал имеет диагональный вид, а затем выразим координаты и импульсы через операторы рождения и уничтожения. Предположим, что координаты q и связаны соотношением [c.182]

К. с. квантованного эл.-магн. поля (и других бозе-полей) вводятся на основе представления гамильтониана ноля в виде суммы гамильтонианов гармонич. осцилляторов, отвечающих, разл. модам колебаний ноля. Для моды определ. частоты и поляризации эл.-магн. поля К. с. описывается приведеннымп выше ф-лами, при этом в К. с. число фотонов неопределённо, а расиределенио по числу фотонов является распределением Пуассона. Если все осцилляторы ноля находятся в К. с., то состояние квантового поля наиб, близко к классическому. [c.393]

Еще один пример указывает на типичную ошибку, связанную с отсутствием в квантовой механике четкого понятия, которое являлось бы аналогом понятия интегрируемости в классической системе. Рассмотрим систему из двух связанных нелинейных осцилляторов (например, модель Хенона — Хейлеса в 5.3). При достаточно малых энергиях системы (и, следовательно, малых нелинейностях и связи) можно с заданной степенью точности диагонализировать гамильтониан и представить его в виде суммы гамильтонианов для двух степеней свободы. Гамильтониан каждой из степеней свободы является интегралом движения. Таким образом, состояния всей системы описываются набором из двух независимых квантовых чисел ( 1, Пг). Полная энергия системы может быть выражена как функция этих чисел [c.159]

Аналогичные вычисления с использованием уравнений (2.3.436) и (2.3.446) определяют -ф в первом порядке по е. Заметим, что физический смысл этих преобразований заключается в том, что в каждом порядке переменные определяются таким образом, чтобы их средняя часть была равна нулю и интегрирование по углу не приводило бы к появлению секулярных членов. Сами переменные могут иметь при этом различную природу. Для осциллятора с одной степенью свободы и медленно изменяющейся частотой величина у может быть галп1льтонианом. В случае нескольких степеней свободы с не зависящим от времени гамильтонианом величина у люжет представлять вектор переменных действия. В любом случае, согласно формальной схеме Крускала, инвариант должен определяться обычным образом [c.118]

Фотоны и фоноиы фононный гамильтониан. Выше мы рассматривали гамильтониан Н. , (см. (10.3.14)) и оператор фотон-электрон-ного взаимодействия (см. (10.3.5), где этот оператор обозначался как Н ) теперь рассмотрим фононный гамильтониан Н . При этом воспользуемся отмечавшейся в 6.1 аналогией между фононами и фотонами, которая позволяет прг1меиить к фононам аппарат вторичного квантования, использовавшийся для фотонов. Вместо осцилляторов поля излучения теперь следует использовать нормальные осцилляторы, отвечающие нормальным колебаниям кристаллической решетки. [c.284]

Б отличие от группы инвариантности действие операторов динамич. группы (группы неинвариаптности, или динамич. алгебры Ли) на одно выбранное стационарное состояние квантовой системы порождает все остальные стационарные состояния системы, связывая таким образом псе стационарные состояния системы, в т. ч. принадлежащие различным уровням, в одно семейство — мультиплет. При атом группа симметрии (группа инвариантности) системы является подгруппой группы Д. с. Так, для атомов водорода группой Д. с. является конформная 0(4, 2) динамич. группа, одно неприводимое вырожденное представление к-роп содержит все его связанные состояния, а для трёхмерного квантового гармонич. осциллятора — группа V (3,1), Среди генераторов группы Д. с. обязательно есть па коммутирующие с гамильтонианом, действие к-рых переводит волновые ф-ции состояний с одним уровнем энергии квантовой системы в волновые ф-ции состояний с др. энергиями (т. е. соответствует квантовым переходам между уровнями системы). [c.625]

Однако существеииым для расчётов является свойство К. с. быть производящей ф-цией для состояний — аналогов состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной формы по операторам координат и импульсов, это свойство нозволяет найти точно (не тю теории возмущений) через многомерные полиномы Эрмита Бсроятности переходов между уровнями энергии JV-иерного гармонич. осциллятора при параметрич, возбуждении самого общего типа [3]. [c.394]

В усовершенствованных вариантах оболочечной модели помимо ср. поля вводится т. н. остаточное взаимодействие между нуклонами, к-рос добавляет к основной, одночастичной компоненте волновой ф-ции ядра более сложные, многочастичные компоненты (конфигурации). Многочастичная оболочечная модель в лёгких ядрах (/4 40) лучше описывает эксперим. данные. Однако с ростом числа частиц в ядре резко растут вычислит, сложности её применения, поэтому для более тяжёлых ядер используются разл. приближения—упрощения при выборе остаточного взаимодействия и ограничения пространства состояний. Напр., в т. н, приближении случайной ф азы пространство состояний ограничено простейшими возбуждёнными состояниями типа частица — дырка. Др пример—модель одного у-уровня с монопольным оста точным взаимодействием (модель Липкина). Большую роль в развитии ядерной физики сыграла модель квад руполь-квадрупольного взаимодействия. Известна много частичная оболочечная модель с квадрупольным остаточ ным взаимодействием и ср. полем гармонич. осциллятора Её гамильтониан обладает SU(З)-инвариантностью и допускает точное решение методами теории групп. [c.666]

Функция является усечением ряда Маклорена для потенциала цепочки Тоды ехр( а 1-Ьжг)+ехр(—-Ьа 2)+ехр(—212) систему с гамильтонианом (5,27) можно назвать усеченной цепочкой Тоды, При N = 2 имеем гармонический осциллятор, при = 3 — систему Хенона—Хейлеса в [237] доказано отсутствие нового голоморфного интеграла усеченной цепочки Тоды при N 3. [c.370]

Формальное решение. К сожалению, формальное решение (2.42) верно только для независяш,их от времени гамильтонианов. В разделе 18.5 мы рассматриваем взаимодействие атома с резервуаром гармонических осцилляторов, представляюш,их моды электромагнитного поля. В этом случае гамильтониан явно зависит от времени. Поэтому нужны какие-то другие приёмы нахождения формальных решений. [c.84]

В модели непрерывного коллапсирования было использовано модифицированное уравнение Шрёдингера (209). В отличие от обычного уравнения Шрёдингера для квантового осциллятора в уравнении (209) член с "потенциальной энергией" имеет множитель г. Это значит, что соответствующий "гамильтониан" не является эрмитовым оператором, что явно указывает на наличие диссипации. Путем подбора параметра у в этом уравнении нам удалось построить стационарное решение, соответствующее нижнему уровню осциллятора, но все другие решения являются затухающими. С точки зрения физики это означает, что любой не гауссов волновой пакет стремится со временем принять стандартную гауссову форму. [c.373]

В П. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны. В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290 ] получения адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен резонанс волна—частица. [c.148]

Таким образом, задача нахождения а сводится к определению х к, J), что в свою очередь сводится к вычислению dN (к, J)/dt. Для нахождения dN к, J)/dt нужно вычислить вероятность перехода кристалла в единицу времени из некоторого начального состояния il3i> с энергией Ei в какое-то конечное состояние <г1з/1 с энергией Ef, в котором число звуковых фононов убывает или возрастает из-за взаимодействия с тепловыми фононами. Предположим, что главный вклад дают те переходы, в которых N (к) изменяется только на единицу (первый порядок теории возмущений переходы с изменением числа фононов на два будут относиться ко второму порядку теории возмущений и т. д.). Вычисление dN к, J)/dt производится по хорошо известным правилам квантовомеханической теории возмущений применительно к набору гармонических осцилляторов. При чисто гармонических колебаниях решетки, т.е. когда отсутствуют взаимодействия фононов, никаких релаксационных процессов, конечно, происходить не будет и поглощение звука будет отсутствовать. Однако из-за ангармонических эффектов появляется некоторая добавка fint к гамильтониану гармонического кристалла, которую можно при определенных условиях рассматривать как малое возмущение. Тогда, согласно основному соотношению теории возмущений [26], [c.247]

Посмотрим теперь, как описывается квантовая дина- мика осциллятора. Прибегнем сперва к гайзенберговой картине. Для одномерного осциллятора полный набор коммутирующих наблюдаемых насчитывает только одну величину выберем в качестве такой величины рассмотренный нами в 10 оператор числа частиц а+а, собственными значениями которого п были це-.пые числа и = О, 1,2,. .., а собственные векторы обозначались нами как п). Гамильтониан Я является в силу (114Ь) функцией этой наблюдаемой, поэтому те же векторы п) будут и собственными векторами Я [c.473]

Теперь рассмотрим метод парциальных осцилляторов в общем виде [I] Для этого необходимо выписать квантовомеханический колебательны гамильтониан молекулы. Его мояшо получить из классического гамшгьтониана, если его выразить через координаты и импульсы и затем заменить их операторами. Выразим кинетическую энер- [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...