Гамильтониан (см. функция Гамильтона)

Гамильтониан (см. функция Гамильтона) 385 Гамильтонова система 425 Гармоническое колебание 45 [c.567]

Допустим, что интересующие нас задачи решаются путем введения переменных действие — угол, т. е. соответствуют уравнению Гамильтона — Якоби с разделяю-Ш.ИМИСЯ переменными (см. 6.2). В целях простоты ограничимся здесь одномерными системами. В конце этого параграфа мы остановимся на том, как можно распространить эту теорию на многомерные системы. Переменные действие— угол, соответствуюш,ие невозмущенной системе с гамильтонианом Яо, обозначим через и w . Уравнения движения решаются методом Гамильтона — Якоби, а функция Гамильтона — Якоби ищется в виде степенного ряда по параметру X, [c.191]

Уравнения Пуанкаре-Жуковского. Под этими уравнениями понимается гамильтонова система на во(4) с квадратичным гамильтонианом (уравнения Эйлера-Пуанкаре на во(4), см. 2 гл. 1). В векторном представлении функция Гамильтона может быть представлена в двух эквивалентных формах [c.181]

По-видимому, система (2.37) с гамильтонианом (2.43) при произвольных значениях параметров не является интегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим при определенном выборе параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы (и аналогичных уравнений для Ь ) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона (см. также 2 гл. 3). [c.279]

Эту функцию называют функцией Гамильтона или гамильтонианом механической системы. Напомним (см. 30), что если лагранжиан системы не зависит явно от времени, то величина (33 3) является сохраняющейся и эту сохраняющуюся величину называют полной энергией системы. [c.188]

Предположим, что характеристические показатели при 8 = 0 таковы, что среди величин нет кратных. Тогда функцию Яо в (6.1) при помош и линейной канонической замены переменных можно привести (см. 2) к сумме гамильтонианов не связанных друг с другом осцилляторов, и функция Гамильтона (6.1) запишется в виде . [c.45]

Гамильтониан см. Гамильтона функция [c.152]

Для идеально упорядоченной системы, в которой гамильтониан обладает трансляционной симметрией [см. формулу (8.2)], собственные функции гамильтониана суть функции Блоха (1.43). В этом случае функция Грина диагональна в обратном пространстве, т. е. в квазиимпульсном представлении [c.379]

Пусть теперь в исходном гамильтониане учитывается только взаимодействие между ближайшими соседями и соответствующий параметр есть К. Заманчиво предположить [70] (см. также [68,, 71], Г1.21], [1.22]), что столь простая ситуация имеет место и вблизи критической точки, т. е. что и взаимодействие между спинами блоков также происходит только между ближайшими соседями и описывается единственным параметром К. В этом приближении свободная энергия, приходящаяся на один блок, Р (К, К), должна иметь тот же функциональный вид Р К, Ь), что и свободная энергия, приходящаяся на один спин. Последнюю можно вычислить исходя из первоначального гамильтониана (5.206). Каждый блок содержит спинов. Поскольку обе функции описывают одну [c.239]

Следовательно, новая функция также является собственной функцией Й°, соответствующей собственному значению Еп. В общем случае можно сказать, что любая операция R, которая коммутирует с гамильтонианом молекулы, должна преобразовывать собственную функцию гамильтониана в новую функцию, соответствующую тому же собственному значению такая операция называется операцией симметрии гамильтониана. Операции симметрии задаются унитарными или антиунитарными операторами (см. [120]). Группа симметрии гамильтониана является группой операций симметрии гамильтониана. Иногда говорят, что гамильтониан инвариантен по отношению к операциям симметрии в том смысле, что если R есть операция симметрии, то действие R на Й (при этом не рассматривают никакой функции, на которую действует Й) оставляет Й неизменным. [c.70]

Предположим, что фазовые траектории системы с гамильтонианом Н (р, д К) замкнуты. Определим функцию I р, д A) следующим образом. При фиксированном К функции Гамильтона Н р, д К) соответствует определенный фазовый портрет (рис. 228). Рассмотрим замкнутую фазовую траекторию, проходящую через точку (р, д). Она ограничивает на фазовой плоскости некоторую площадь. Обозначим эту площадь через 2л1 (р, д К). На каждой фазовой траектории (при данном К) I — onst. Очевидно, / не что иное, как переменная действия (см. 50). [c.263]

Замечание 2. Для реальных систем, происходящих из динамики твердого тела, гамильтониан Н — однозначная функция на группе SO 3), и вследствие двукратного ее накрытия кватернионами (3.11) функция Гамильтона зависит лишь от квадратичных комбинаций AiAj. Тем не менее, системы с гамильтонианом, произвольно зависящим от кватернионов, встречаются в других разделах механики искривленная небесная механика, система Леггетга, квантовая механика спинов (см. гл. 3, 4). Возможно, что форма (4.24) имеет более важный смысл именно в квантовой механике, где имеются эффекты, существенно связанные с дополнительными спиновыми переменными. [c.53]

Уравнение Гамильтона-Якоби традиционно выводится с привлечением свободных канонических преобразований — условие каноничности (27.15) в независимых переменных д, д (см. определение 28.2). Исходная функция Гамильтона Н(1,д,р) и функция Н 1,ц,р), онре-деляюш,ая уравнения Гамильтона, в которые переходят в результате преобразования исходные уравнения, связаны соотношением (28.12). С привлечением уравнений (28.13) соотношение (28.12) можно записать так, что связь между гамильтонианами Н ш Н задается только производяш,ей функцией 3 1,ц,д) и валентностью сф О [c.173]

Гамильтониан голономной системы с лагранжианом равен Ялг = Яо+0(1/Л ), где //о — вакономная функция Гамильтона (см. 4). Следовательно, при фиксированном а н N- оо существует предел [c.57]

Приложения метода Пуанкаре, а) Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной нами в 5 гл. 2. Предположим сначала, что масса Юпитера ц равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид будет вращаться вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским орбитам. Пусть орбиты — эллипсы. Тогда удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне 1, О, I, д (см. пример 4, п. 2.1, гл. 4). В новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с функцией Гамильтона Ро= = ЧгЬ . Если цфО, т6 полный гамильтониан Р можно разложить в ряд по возрастающим степеням ц = о+ц/ 1+ Поскольку в подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, то функция Гамильтона Р зависит от , О, I и —1. Положим J l = , Х2 = 0, У1 = 1, У2=е—1 и Н=Р—0, [c.232]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Точечная группа симметрии для равновесной конфигурации ядер в молекуле определяется легко (см. гл. 3). При использовании точечной группы для преобразования волновых функций молекулы элементы точечной группы рассматриваются как вра-н1ения и отражения вибронных переменных (колебательных смещений и электронных координат) в системе координат, закрепленной в молекуле (см, разд. 5.5 и рис. 5.7 в книге [121]). Молекулярная точечная группа является группой симметрии вибронного гамильтониана, так как расстояния между частицами при действии операций этой группы остаются неизменными. Операции молекулярной точечной группы не влияют на углы Эйлера, компоненты углового момента Ja и ядерные спиновые координаты. Если в гамильтониане мы пренебрегаем членами, связывающими вибронные координаты с другими степенями свободы (особенно с членами кориолисова взаимодействия и центробежного искажения), то мы получаем приближенный гамильтониан, который коммутирует с элементами молекулярной точечной группы. Следовательно, молекулярная точечная группа является группой приближенной симметрии полного молекулярного гамильтониана, а возмущения типа кориолисова взаимодействия и центробежного искажения являются основными эффектами, понижающими симметрию гамильтониана. Поэтому молекулярная точечная группа обычно используется для классификации колебательных и электронных состояний и для изучения вибронных взаимодействий, но не используется для классификации ровибронных состояний. Точечная группа является группой точной симметрии вибронного (и электронного) гавильтониана. [c.299]

Среди нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений особую роль играют системы, описываемые одной функцией. В механике и статистической физике центральное место занимают системы Гамильтона, задаваемые в канонической системе координат своими гамильтонианами. В теории поля и в теории нелинейных волн развит гамильтоновский формализм для систем с континуальным числом степеней свободы (см. [111, 89]). [c.220]

Из (4.8) вытекает, что дЗ/дЬ + Н — функция лишь от координат Ж1,..., Х2к и времени Ь. Это соотношение обобщает уравнение Гамильтона—Якоби и переходит в него при к = О (когда поле и потенциально). Тогда (4.7) будет замкнутой канонической системой дифференциальных уравнений для потенциалов Клебша с гамильтонианом д8/дЬ + Н. Эти наблюдения обобщают известные результаты Клебша и Стюарта (см. [42]) о вихревых течениях идеальной жидкости (когда и = 3). [c.127]

Однако при рассмотрении полностью равновесных систем мы нашли в гл. 1 возможность описывать их микроскопические состояния (в форме смешанных квантовомеханйческих состояний) с помощью гиббсовской функции распределения го = , которая вообще не содержит никакой информации об этих переходах. Мы знаем, что переходы п п, динамическая причина которых 6Н не учтена в определяющем рассматриваемую систему гамильтониане Я, существуют обязательно, так как именно ойи все время (в рамках квазистатической в термодинамическом понимании теории) поддерживают гиббсовскую структуру смешанного состояния. В кинетической части курса (см. том 3) мы более подробно обсудим этот вопрос, а сейчас только заметим, что при стремлении системы к равновесному состоянию роль этих переходов в формировании такого состояния, несмотря на присутствие 6Н (т. е. генератора этих переходов), постепенно сходит на нет. В предельном случае статистического равновесия этих переходов как будто нет совсем, т.е. система чистых состояний п, описываемых собственными функциями оператора Гамильтона, = Еп фп, образует в этом смысле идеальную систему. (Напомним только, что в большинстве физически интересных случаев эти состояния, к сожалению, нам точно не известны.) Так как распределение через нормировочную сумму 2 (или через свободную энергию — -в1п2) определяет всю термодинамику системы, то присутствие этих релаксационных процессов вообще не отразится и на макроскопических характеристиках равновесной системы. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...