Гамильтониан Изинга

Рассмотрим теперь другой простой предельный случай А = оо, когда гамильтониан эквивалентен гамильтониану Изинга [c.26]

Согласно основным положениям 3.2, Г (q) есть спектральная плотность спиновых флуктуаций, связанных со спиновыми корреляциями ближнего порядка. Приближенная связь с фурье-образом обменного интеграла J (д) [ср. с формулой (1.47)] не случайна. Ее можно получить и непосредственно, пользуясь приближением случайных фаз для исследования элементарных возбуждений системы с гамильтонианом Изинга [2]. [c.181]

Уравнение Ван-дер-Ваальса дает хорошее качественное описание фазового перехода жидкость — пар, причем в простой алгебраической форме. Более того, можно усмотреть близкую аналогию между этим уравнением и приближением среднего поля ( 5.2) для беспорядка замещения. Как показали Янг и Ли [7], гамильтониан Изинга можно рассматривать как энергию решеточного газа ( 1.5), в котором состояния спин вверх отвечают атомам, а спин вниз — вакансиям в узлах правильной решетки. Параметр порядка of описывает конденсацию в фазу с плотностью атомов [c.256]

Чтобы войти в суть дела, рассмотрим модель Изинга, определяемую гамильтонианом (10.2.2) и статистической суммой (10.2.3). Ее термодинамические свойства характеризуются свободной энтальпией (энергией Гиббса) [c.372]

Приведем в качестве примера хорошо известную модель Изинга для кристаллических ферромагнетиков, гамильтониан которой имеет вид [c.354]

В соответствии с нашими целями определим ферромагнетик как решетку, в которой расположены спины. В настоящей главе нас особенно будут интересовать две модели ферромагнетиков — модель Изинга и модель Гейзенберга. В общем случае мы можем записать гамильтониан взаимодействия между спинами в виде [c.346]

Рассмотрим модель Изинга. Гамильтониан этой модели можно записать в виде [c.358]

В другой модели, модели Изинга, г-му атому приписывается кисло 1, которое принимает значения+ 1 и —1, причем гамильтониан записывается в виде [c.247]

Изучением термодинамики квантовых решеточных систем занимался Робинсон [326, 327], который доказал две следующие теоремы )- Пусть //(О) е Э (О) — гамильтониан, определенный для конечной системы 2 (рассматриваемой независимо от остальной части решетки). Например, в модели Изинга [c.380]

Последнее равенство означает, что в модели Изинга взаимодействия допускают описание самое большее двухчастичными потенциалами. Поскольку потенциалы V (Q) рекуррентно определяются по гамильтониану Н (Q), трансляционная инвариантность последнего индуцирует трансляционную инвариантность этих потенциалов [c.381]

С другой стороны, если Eq(s) — какой-то простой гамильтониан, а i( ) — очень сложный, но имеющий ту же размерность и симметрию, то показатель должен оставаться постоянным при всех значениях X, включая X = 0. Это имеет далеко идущие следствия. Можно взять реалистический и сложный гамильтониан E s), обрезать его до весьма идеализированного гамильтониана "о ( ) и все еще получить точно такие же критические показатели. Например, на основании этих соображений можно предположить, что диоксид углерода, ксенон и трехмерная модель Изинга имеют одинаковые критические показатели. С точностью до погрешностей эксперимента это действительно так [ИЗ]. [c.15]

Рассмотрим модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями, состоящую из N спинов, с гамильтонианом, определяемым выражениями (1.7.2), (1.7.3) и (1.8.1). Если каждый спин имеет д соседей, то полное действующее на него поле равно [c.47]

Если = О, то оператор диагонален, и его собственные значения являются энергетическими уровнями двумерной модели Изинга. По этой причине оператор известен как гамильтониан двумерной модели Изинга в поперечном магнитном поле [183, 195, 217]. [c.270]

При учете усредненных магнитных сил между электронами вдоль некоторого направления анизотропии возникает так называемый гамильтониан Гейзенберга — Изинга, зависящий от параметра Д этот параметр анизотропии принимает значение 1 в изотропном случае, когда существенны только обменные силы [c.14]

Предел А = оо, или предел модели Изинга, дает интересную возможность проверить вычисления разд. 2.3, поскольку термодинамические функции одномерной модели Изинга можно легко получить прямым путем. Чтобы избежать усложнения, связанного с введением константы /, фигурирующей в гамильтониане (1.3), заменой 2/ = 1/А и переходом к пределу А = оо, удобно изменить масштаб шкалы температур, введя новую обратную температуру р соотношением [c.58]

Гамильтониан системы бозонов, эквивалентный гамильтониану Гейзенберга—Изинга [c.108]

Статистическую сумму, соответствующую квантовомеханическому гамильтониану Гейзенберга, вычислить точно не удается даже в одномерном случае. Однако в 2.4 было показано, что основное состояние ферромагнитной линейной цепочки, будучи упорядоченным, оказывается неустойчивым относительно теплового возбуждения спиновых волн ( 1.8). Тем самым подтверждается естественное предположение, что в квантовой системе, как и в модели Изинга и в классической модели, фазовый переход при отличной от нуля температуре невозможен. [c.199]

Формулировка правил. Прежде чем излагать диаграммную технику непосредственно для модели Гейзенберга, рассмотрим более простую модель Изинга. Она характеризуется гамильтонианом [c.10]

Теперь необходимо дать физическое толкование параметру т Малые значения т соответствуют сильной анизотропии взаимодействия в плоской решетке, когда взаимодействие строк >. Физически это эквивалентно стремлению к нулю параметра решетки между строками, поэтому т следует сопоставить с параметром решетки (безразмерным). Г-матрица связывает строки п, тг+1, разделенные параметром т. Представление ее в форме (14.13) имеет аналогию с оператором эволюции (с мнимым временем т). Отсюда < 1 следует рассматривать как некоторый квантовый гамильтониан. Конкретная форма его (14.14) показывает, что это есть гамильтониан одномерной квантовой модели Изинга в поперечном поле, приложенном вдоль оси X, [c.156]

ОНИ представляют собой частные случаи восъмивершинной модели ( 1.4) с определенными значениями параметров взаимодействия Jij и /7 в гамильтониане Изинга общего вида (1.26а). Для этой модели матрицу переноса можно выразить через операторы Паули [ср. с формулой (5.109)] и найти общие условия существования матрицы, с которой она коммутирует, т. е. имеет общие собственные функции. Подобно тому как формула Бете (5.91) определяет собственные функции и гейзенберговской цепочки, и плоской модели сегнетоэлектрика (хотя и с очень различными собственными значениями), здесь тоже можно построить общую алгебраическую схему [52], в которой наибольшее собственное значение матрицы переноса выражается в виде функции энергетических параметров задачи. Последние приписываются различным восьмивершннным конфигурациям, изображенным на рис. 1.10. При этом получается, например [53], что зависимость спонтанного дальнего порядка от температуры определяется отношениями названных параметров. Частными примерами могут служить модели Изинга п KDP. Очевидно, наиболее интересным было бы применение этого мощного математического метода к общей теории фазовых переходов [c.217]

Ничто, кроме необходимости затратить колоссальный труд, не мешает нам вычислить любой член ряда. Практически, однако, элементарные алгебраические приемы отказывают уже при /г > 4. Пытаясь охватить все слагаемые, мы неизбежно (автоматически ) приходим к диаграммному (графическому) представлению, построенному следуюш,им образом. Рассмотрим ге-й член разложения (5.163) с гамильтонианом Изинга (5.164). Очевидно, ге-й момент оУЁ ) содержит множитель и среднее а а . . . а п ), вознпкающ,ее при суммировании всех возможных произведений п пар множителей и т. д. Номера узлов 1, 2,. . ., 2ге [c.224]

Система может быть приближённо описана гамильтонианом (см. Изинга модель). [c.480]

Модель Изинга (У =У, = 0, Jточно решается, напр., методом трансфер-матрицы, или матрицы переноса (см. ниже), не только для обменного взаимодействия, но и в более общем случае при включении в гамильтониан внеш. маги, поля Н этот метод также оказывается весьма полезным при решении ряда других Т, р, м. [c.151]

Самым знаменитым частным случаем гамильтониана (10.2.1) является, однако, случай > = 1. Это так называемая модель Иаинга (хотя в действительности она была предложена Ленцом в 1920 г.). Ограничиваясь случаем взаимодействия ближайших соседей, можно записать гамильтониан модели Изинга следующим образом [c.359]

Охггояние совокупности спинов можно определить, задав компоненту каждого спина вдоль любой из осей. В модели Изинга гейзенберговский гамильтониан заменяют на [c.528]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Существует тесная связь между трансфер-матрицей восьмивершинной самосопряженной модели и гамильтонианом анизотропной цепочки с тремя параметрами. В свое время для моделей сегнетоэлектриков в отсутствие внешнего поля Маккой, Ву (1968) и Барух (1972) показали, что трансфер-матрица коммутирует с гамильтонианом Гейзенберга — Изинга. Либ (1967) диагонализовал Т (с1 = 0) с помощью волновых функций гамильтониана Н Инвариантность обоих операторов по отношению к вращениям вокруг оси анизотропии вытекает из условия льда и выражается в сохранении компоненты полного спина 8 = N/2 — М от строки к строке. Одна из трудностей восьмивершинной модели состоит как раз в отсутствии такого закона сохранения. [c.166]

Гамильтониан модели Изинга получается отсюда, если наложить на спины условие квантования 5 и пренебречь величиной I Переобозначив соответствующие переменные, получим [c.33]

В случае решеточного газа выражение для энергии дается по-прежнему формулой (1.23) только под Фаа теперь надо понимать энергию взаимодействия между атомами, а флв = фвв = О обозначают энергии, связанные с наличием дырок . Известное внимание уделялось и моделям квантовых газов [21, 22]. Соответствующий гамильтониан можно получить из выражения (1.17), если считать спиновые переменные операторами. Перепишем (1.17), введя операторы рождения а и уничтожения а, для отклонений спинов от оси квантования 2, и получим прежде всего выражение типа (1.18). Последнее достигается путем объединений слагаемых в произведения вида Это есть с-число, характеризующее заполнение 1-то узла следовательно, его можно рассматривать как спин Изинга Ог. Однако наличие некоммутирующих операторов приводит к появлению и других недиаго-налъных взаимодействий, описываемых произведениями вида [c.35]

С другой стороны, прихменение метода Бете пе ограничено моделями Изинга. Если в формулах (5.31) — (5.34) интерпретировать 8 как квантовомеханнческий оператор спина, то оказывается возможным исследовать свойства перехода порядок — беспорядок в гейзенберговском ферромагнетике с гамильтонианом (1.16). Численный расчет различных матричных выражений, казалось бы, вселял надежды на известный успех в описании критического поведения системы [12], пока не было показано [13], "ЧТО рассматриваемые уравнения приводят к антиточке Кюри (в простой кубической решетке — при кТ = 0,269 /). Ниже этой точки ферромагнитное упорядочение исчезает. Основные недостатки, присущие этому и нескольким аналогичным методам, обсуждались в работе [14]. Создается впечатление, что попытки замкнутого , компактного описания поведения гейзенберговского ферромагнетика более чем одного измерения не выходят за рамки простой формулы приближения среднего поля последняя совершенно не учитывает такие важные явления, как возбуждение спиновых волн при низких температурах ( 1.8). [c.186]

Поскольку параметр / отрицателен, эта энергия лея<ит немного выше значения NJ, соответствующего энергии упорядоченной антиферромагнитной цепочки изингоеых спинов. Этот факт демонстрирует разупорядочивающее действие недиагональных компонент спиновых операторов Гейзенберга, ответственных за обмен спинами вдоль цепочки и за возникновение соответствующей избыточной нулевой энергии . Переход от модели Гейзенберга к модели Изинга при ослаблении взаимодействия между недиагональными компонентами в гамильтониане подробно обсуждался в работе [35]. Там было показано, что дальний порядок в основном состоянии антиферромагнетика утрачивается только в полностью изотропной модели Гейзенберга (5.73). Для моделей [c.204]

Хотя сферическая модель выглядит весьма искусственной, ее нельзя считать совершенно нереалистической. Рассмотрим систему с гамильтонианом (1.16), в которой каждый из спиновых векторов 8 представляет собой классический вектор с В компонентами. Не слишком трудно показать, что характеристики сферической модели будут в точности совпадать с характеристиками такой системы в предельном случае, когда спиновая размерность В стремится к бесконечности [58], [1.22]. В этом смысле можно сказать, что классическая модель Гейзенберга в -мерной решетке (для которой, конечно, О = с1) оказывается промежуточной между соответствующей моделью Изинга ( ) = 1) и сферической моделью (В = оо). Таким образом, факт отсутствия фазового перехода в сферической модели при 0 = 2 согласуется (см. 2.5) с аргументами Мермина и Вагнера [2.19] против существования дальнего порядка в двумерных магнитных системах, спиновая размерность которых выше, чем у модели Изинга ( 5.7). [c.223]

Теория нерегулярных спиновых систем, безусловно, ничуть не проще теории упорядоченных систем, с которыми они связаны своим происхожением. Перед нами открывается широкий выбор исходных спиновых моделей и взаимодействий ( 5.1) и, сверх того, множество разновидностей неупорядоченности (типа замещения или топологической), которые следует ввести в гамильтониан и заморозить в неизменном виде. Поэтому не удивительно, что основное внимание исследователей было привлечено к изучению ряда частных случаев. Самый простой из них, разумеется, модель Изинга для разбавленного магнетика (рис. 12.1). Она характеризуется гамильтонианом, аналогичным (1.18) [c.541]

Наряду с моделью Гейзенберга в теории дискретных систем рассматривают и ее упрощенный вариант если спиновые векторы г, заменить на их г-компоненты = 1, то мы получим уже феноменологическую модель, предложенную Изингом (Е. Ising, 1925), с гамильтонианом [c.334]

Предположим, что гамильтониан рассматриваемой системы, деленный на температуру, Н/в (в таком виде он входит к статистическую сумму Z) определяется п параметрами X, = Х, ..., Х ). Для рассмотренной ранее системы Изинга это параметры, пропорциональные внешнему магнитному полю h = oH/в и энергии взаимодействия ближайших соседей К = 1/в. Масштабное преобразование Каданова определяло новый гамильтониан Н /в, имеющий структуру исходного Н/в, но характеризующийся новыми параметрами [c.365]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...