Гамильтониан автономный

Теорема. Гамильтониан автономной задачи является первым интегралом соответствующей системы уравнений в форме Гамильтона. [c.301]

Случай, когда гамильтониан явно зависит от времени, может быть, как это показано в 66, сведен к автономному, введением импульса, сопряженного времени. Однако получаемая таким образом автономная система обладает более простой структурой, чем в [c.289]

Поскольку замена автономная, то новый гамильтониан получается при подстановке этой замены в старый. Однако при такой [c.301]

Введем импульс P , канонически сопряженный времени i, и переменную г = = et. Тогда систему можно рассматривать как автономную гамильтонову систему с тремя степенями свободы и с гамильтонианом Н Ри,и, Py,v, Pi,t) — Н Канонически сопряженными парами переменных в этой системе являются (Ри,и), Ру, г ), и [Pt, е т). Рассмотрим динамику системы при значении гамильтониана Н = 0. Обозначим к = —2Р (в невозмуш енной системе А > О, так как значение гамильтониана (14) больше 0). Введем новое время t так, что [c.179]

Отметим, что если уравнения (1.15) являются уравнениями Уиттекера, полученными из автономных уравнений Гамильтона с гамильтонианом (1.12) понижением порядка, то множество Пуанкаре Р, приведенной системы является проекцией на плоскость = у2, , 2/п пересечения множества Пуанкаре Р1 исходной системы с поверхностью Яо(у1,..., у ) = /г. [c.184]

Расширяя фазовое пространство, перейдем к автономной системе с гамильтонианом [c.245]

Так как расширенная система уравнений автономна, то гамильтониан задачи является первым интегралом этой системы [c.334]

Кроме того, в силу автономности системы (1) гамильтониан задачи Ж является первым интегралом [c.391]

Теорема 2. Тривиальное решение р = рг = Я = ( 2 = О положение равновесия) автономной системы (10.3.33) с гамильтонианом Н ри Рг, д, Яг) в общем эллиптическом случае устойчиво в смысле Ляпунова, если Хг/Х е Л. [c.842]

При отсутствии явной зависимости от времени ду = 0. Если к тому же и скобки Пуассона равны нулю, то говорят, что функция X коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. Ясно, что если гамильтониан не зависит от времени явно, то и он является интегралом. Такие гамильтонианы называются автономными. Выберем в качестве функции один из импульсов рс и пусть он не является явной функцией времени t. Если при этом гамильтониан не зависит от сопряженной координаты (т. е. [c.24]

Рассмотрим автономную систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой, т. е. систему с гамильтонианом вида [c.59]

Метод ДЛТ был разработан для изучения автономных систем с двумя степенями свободы и невозмущенным гамильтонианом Яц специального вида [c.142]

С методической точки зрения теорему Лиувилля проще сначала доказать в автономном случае, когда функции Я, Fi,..., не зависят явно от i и, в частности, гамильтониан Я является одним из интегралов. Для автономного случая теорема 1 была сформулирована несколько раньше Лиувилля французским математиком Буром. Полезно иметь в виду, что каждая из гамильтоновых систем с гамильтонианом Fi имеет тот же самый набор интегралов. Такие системы называют еще вполне интегрируемыми. [c.184]

Все сказанное выше касалось автономного случая. Однако условие некоммутативной интегрируемости (2.3) легко переносится на неавтономный случай. Действительно, предположим, что интегралы (2.1) и функция Гамильтона Н(х,у,1) могут явно зависеть от времени. Расширим фазовое пространство, вводя новые сопряженные канонические переменные ж +1 = 1, Уп+1 и новый гамильтониан [c.193]

Задача существенно упрощается для автономных систем, когда гамильтониан Я не зависит явно от времени. В качестве интеграла Р можно взять функцию Н х,у). При этом поле и(х,с), очевидно, удовлетворяет уравнению (3.10), поскольку оно совпадает с исходным автономным уравнениям Ламба. Условие (с) вихревой теории интегрирования переходит в условие [c.214]

Остановимся сначала на результатах Арнольда по устойчивости гамильтоновых систем для большинства начальных условий [4, 102]. Пусть автономная гамильтонова система с п степенями свободы устойчива в линейном приближении и между ее частотами отсутствуют резонансные соотношения до четвертого порядка включительно. Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такую систему координат, что гамильтониан запишется в виде [c.87]

Если гамильтониан системы (1) Н (точнее, Hi) зависит явно от времени и ставится вопрос о ее преобразован1ш в автономную систему сравнения (59), но с гамильтонианом II х, у), частные производные которого выражаются равенствами [c.209]

Применим метод Хори — Депри к задаче нормализации функции Гамильтона возмухценного движения в окрестности положения равновесия канонической системы с автономным гамильтонианом Я, представленным в окрестности положения равновесия х = у = 0 рядом [c.220]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Лемма Уинтнера для гамильтоновых систем. Согласно лемме Уинтнера [118] решение автономной гамильтоновой системы (q(t),p(i)) е с функцией H q,p), принадлежащее уровню ii(q, р) = h, эквивалентно решению гамильтоновой системы с гамильтонианом [c.221]

Если невозмущенная система с функцией Гамильтона 5 о 1) невырождена, и вековое множество полной системы имеет предельные точки внутри интервала (/, I"), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра /х первого интеграла, 2тг-пе-риодического по переменным <р, t. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии h. Невырожденность невозмущенной системы d S o/dP 0) означает геометрически, что линия уровня 7 G С Жо 1) = h не есть прямая. [c.29]

Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 — замкнутая траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH О в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая траектория 7 лежит на энергетической поверхности S = Н = onst , и лишь один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7, рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической системы на 17, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать изоэнергетически невырожденной периодической траекторией. [c.224]

Для доказательства этой теоремы перейдем к автономной гамильтоновой системе с г + 1 степенью свободы, задаваемой гамильтонианом (11.3), а затем заменим гамильтониан "Н на expTi. [c.246]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

В соответствии с определениями, принятыми в курсах дифференциальных уравнений, в случае, если гамильтониан не зависит явно от времени Н = Я(/), систему уравнений Гамильтона (и задачу) будем называть автономной (или обобщеппо-копсер-вативной). [c.301]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Тот факт, что во вращающейся системе координат укороченная система автономна, является большой удачей. Полная система уравнений Гамильтона (с учетом членов степени выше третьей в гамильтониане) во вращающейся системе координат не только не автономна, но даже и не 2я-периодична (а лишь бп-нериодична) по времени. Автономная система с гамильтонианом является в сущности результатом усреднения исходной системы по замкнутым траекториям линейной системы с е = О (причем мы пренебрегаем членами выше третьей степени). [c.359]

Если возмущенный гамильтониан описывает автоно.мную систему с несколькими степенями свободы или явно зависит от времени даже для одной степени свободы, то рассмотренные выше разложения оказываются расходящимися. Чтобы убедиться в этом, обобщи.м метод Пуанкаре—Цейпеля на случай автономного гамильтониана с N степенями свободы. Явную зависимость от времени можно учесть с помощью дополнительной степени свободы в расширенном фазовом пространстве. Запишем [c.95]

Нерезонансный дрейф. Рассмотрим сначала случай, когда дрейф вызывается градиентом магнитного поля. Если магнитные поверхности симметричны по ф (см. рис. 6.20), то сила F перпендикулярна магнитной поверхности и скорость дрейфа Vq, согласно (6.4.13), направлена по касательной к магнитной поверхности. Однако магнитное поле в системах с тороидальной геометрией типа левитрона или токамака не обладает такой симметрией, что приводит к радиальной составляющей дрейфа частиц. Масштаб времени такого дрейфа обычно велик по сравнению с временем оборота вокруг большой оси тора. Поэтому в пренебрежении резонансами высоких порядков радиальный дрейф можно описать автономным гамильтонианом с одной степенью свободы, который является интегрируемым. [c.393]

И гамильтонианом Н (см. 1). Согласно условиям ( ) и (с), функции Н = /1,/2,...,Л — независимые интегралы уравнений (3.14). Так как Pi,Pj = О, то функции Д,...,/ также инволютивны относительно симплектической структуры По теореме Лиувилля, уравнения (3.14) интегрируются в квадратурах. Импульсы у находятся из соотношений у = и х,с). Неавтономный случай сводится к автономному повышением размерности фазового пространства (см. 4). [c.198]

Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия Гх = 2 = О системы (1.9). Но сначала сформулируем условия устойчивост и для большинства начальных данных в общем случае гамильтоновой системы с п степенями свободы и периодической зависимостью функции Гамильтона от времени. Пусть функция в гамильтониане (1.1) зависит от 1. Введем новый импульс г +х и угол фп+х Тогда получим автономную систему с и 4- 1 степенями свободы. Гамильтониан имеет вид [c.89]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Автономная динамическая система (3.137) является гамильтоно вой с гамильтонианом [c.176]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...