Теоремы z-преобразования

При выборе структуры параметрически оптимизируемых регуляторов обычно необходимо гарантировать, чтобы изменения задающей переменной w(k) и возмущений Uv(k) и п(к) (см. рис. 5.2.1) не приводили к появлению статической ошибки по сигналу е(к). На основании теоремы z-преобразования о конечном значении для выполнения этого условия необходимо, чтобы передаточная функция регулятора имела полюс z=l. Следовательно, простейшие алгоритмы управления v-ro порядка будут иметь следующую струк- [c.83]

Потенциал ф находится по теореме обращения преобразования Фурье при Z = О он равен [c.204]

Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н, задающего преобразование X —> Z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. [c.112]

Замечание. В теореме о моменте количеств движения предполагается, что среди возможных перемещений есть вращение системы как твердого тела вокруг неподвижной оси z. Неподвижность осей использовалась также и нрп преобразовании соотношения к окончательному виду. [c.150]

Излагаемые ниже преобразования и теоремы применимы только в том случае, когда проекции X, К, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к точке, суть частные производные функции и 1, X, у, а), которая может содержать явно время 1. Уравнения Лагранжа будут тогда иметь вид [c.466]

Теорема Шварца — Кристоффеля [23, 24] гласит, что любой многоугольник, ограниченный в плоскости z z x- -iy) прямыми, можно преобразовать в ось плоскости t t = и что точки внутри многоугольника на плоскости 2 преобразуются в точки на полуплоскости t. Преобразование, с помощью которого это достигается, получается из соотношения [c.433]

Теорема 3. Предположим, что числа ai,...,a рационально несоизмеримы и в окрестности точки z = О гамильтонова система имеет п аналитических интегралов Gi = Н, Сг, , С , независимых почти всюду. Тогда найдется такое аналитическое каноническое преобразование z = Ф((), ( = ,т]), что Ф(0) = О и в новых переменных ( интегралы Gi,..., являются аналитическими функциями от + T]j 1 S п). [c.127]

Доказательство достаточности условий теоремы 1 совсем простое. Действительно, пусть /ь. .., Id — прямые в R", о которых идет речь в теореме 1. Ч рез к обозначим точку из множества (Z fl П li) 0 , ближайшую к точке 0. Дополним f i,.. целочисленными векторами f d+ь , кп до базиса в R". Выполним теперь линейное преобразование х = Мх с невырожденной целочисленной ki [c.200]

Таким образом, преобразование z = f(z ) - автономное симплектическое преобразование, и теорема доказана. [c.333]

Доказательство теоремы Лиувилля. Пусть f(z) суть т независимых первых интегралов в инволюции. Если провести симплектическое преобразование с производящей функцией 5 (p,q), определенной (25), то в переменных р, гамильтониан задачи будет иметь вид [c.370]

Теорема 2. Базис инвариантов существует для любой группы Ли преобразований конечномерного пространства Z a). [c.80]

Вернемся к преобразованию (6.2). Рассмотрим формально (6.2) при > ,=0. Решениями служат последовательности (2 = /, фп = фо+ г , I—постоянная. Геометрически это означает, что каждая окружность Г/,о= (z, ф) 2=7 инвариантна относительно Т, и на ней Т сводится к повороту на угол /. Теория KAM утверждает, что при малых Я большинство из этих окружностей сохраняется, лишь несколько меняя свою форму на цилиндре С. Более точно, имеет место следующая теорема (см. [7], [8],[85]). [c.120]

При решении этой системы воспользуемся результатами теоремы 1.1. Обозначим через инвариантное подпространство из образованное элементами ту (g) матрицы представления Тi (g) при фиксированном значении L Индексы г, j принимают значения от 1 до n (Z) (п (I) — размерность матрицы т (g)). Подпространство инвариантно относительно преобразований из группы (55о, и, следовательно, операторы (1.3) алгебры 85 ° переводят это подпространство в себя = %, i = i, г. Из коммутативности операторов Y и U следует, что этим свойством также обладает оператор U [c.237]

При п—2 множество К. о. разнообразнее, В этом случае двумерную плоскость удобно реализовать как пространство С комплексных чисел z=x- -iy. Добавляя к С бесконечно удалённую точку, рассматривают также К. о. областей расширенной комплексной плоскости С. Отображение области D на область D расширенной комплексной плоскости С конформно тогда и только тогда, когда оно либо задаётся нек-рой аналитической функцией f (z), определённой и однолистной в D, и такой, что D =f D], либо является суперпозицией описанного преобразования и комплекс1Юго сопряжения. В первом случае К. о. сохраняет не только величины углов, но и их знаки во-втором — знаки углов меняются на противоположные. Любые две односвязные области D и D в С, границы к-рых состоят из более чем одной точки, конформпо эквивалентны, При этом для произвольных точек из D и Z0 из D и произвольного вещественного числа 9 существует одна и только одна аналитич. и однолистная в D ф-ция /(z), такая, что f D) D, arg/ (2(,)—0 (теорема Р и м а н а). [c.453]

Из этой теоремы (т. е. из формул (15). —5. В.) следует, в частности, как легко видеть, что определение всех инфинитезимальных контактных преобразований, которые переводят уравнение / (z, х ,. .., х р , р ) = onst (т. е. распространенная в то время запись канонической системы с гамильтонианом В. В.) в себя, совпадает с интеграцией этого уравнения . Рассуждение, которое основывается на формулах (15) и приводит к каноническому варианту взаимосвязи симметрия — сохранение , отличается простотой и наглядностью. Действительно, рассмотрим изменение некоторой функции и = W (g i) Рг) при бесконечно малом каноническом преобразовании [c.233]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Обозначим область (15.86) плоскости л =1 через Образуем область Од следующим образом пусть точка х лежит в Оу тогда точка t — (2я—1) , —х Лежит в и обратно. Нетрудно видеть, что Од с. О . Как было только что показано, любое решение, начинающееся в области О , пересекает область О Это приводит нас к непрерывному преобразованию области Од в О Поставим теперь в соот- ветствие точки области Од точкам области О указанным выше способом. В итоге получим преобразование области Од в область Од. Так как ОдсОд, то по теореме Брауэра существует неподвижная точка. Это означает, что существует решение x = g t), такое, что g tg)=z—l, ( (,4-(2 —1) )—1 и — ( о+(2 —1) )- Отсюда и из вида уравне- [c.258]

Так как i охватывает окружность L в плоскости то контур на плоскости г, в который переходит окружность L, будет ох ватывать дугу BD , но при этом, подходя к точке В с двух сто рон, он будет касаться дуги BD (по теореме о сохранени углов). Полученный таким образом контур носит название ро филя Жуковского. При заданном расстоянии 4с в плоскости z профили, получаемые применением преобразования Жуковского к окружностям Li, характеризуются двумя параметрами. Параметр k, равный расстоянию по мнимой оси до центра основной окружности L, в плоскости z характеризует изгиб или кривизну профиля (его скелетной дужки). Параметр е, равный сдвигу F G по радиусу центра новой охватывающей окружности L относительно центра основной окружности L, характеризует толщину профиля (его телесность). Таким образом, профили Жуковского образуют двупараметрическое семейство, зависящее от параметров k и е/с. [c.163]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Аналитическое доказательство теоремы о сложении скоростей. Рассмотрим движение материальной точки М в системе OiXit/iZi, совершающей некоторое движение относительно системы Oxt/z (рис. 40). В каждый момент времени можно определить положение точки М как в системе Oxyz, так и в системе OiXiyiZi. Обозначим координаты точки Oi в неподвижной системе координат через Хо, уо, Zo, координаты точки М в неподвижной системе координат через X, у, z, а координаты точки М в подвижной системе координат через xi, у , Zi. Формулы преобразования дадут зависимость между координатами в неподвижной и подвижной системах [c.62]

Доказательство. Согласно основной теореме конформного отображения, течение в окрестности простой точки можно отобразить на полукруг в верхней полуплоскости Т с центром в точке 7 = 0 однолистным (взаимно однозначным) конформным преобразованием так, чтобы граница течения перешла в действительный диаметр. Поскольку функция z T) однолистна, то по теореме искажения Кёбе [6, т. 2, стр. 77] локально справед- [c.84]

Так же, как и в случае фильтрационной теоремы об окружности, заполнение нижней полуплоскости грунтом с проницаемостью не должно сопровождаться появлением дополнительных особых точек течений в верхней и нижней полуплоскостях. Сказанное выполняется, ибо f z) представляет собой преобразование верхней полуплоскости в нижнюю, и, таким образом, комплексный потенциал определяющий течение в верхней полуплоскости, не имеет дополнительных особых точек. Комплексный потенциал, определяющий течение в нижней полуплоскости, не имеет особых точек в этой области. Для доказательства справедливости равенств (11.3.8) надо также проверить выполнение граничных условий (10.3.16), которые в рдссматриваемом случае будут иметь вид [c.289]

В приложениях функция Я обычно зависит еще от некоторых параметров е D [D — область в К" ). Будем считать, что функция H z,e) аналитична по z,e, и Я (0, е) = О для всех е. Если при всех е собственные числа линеаризованной системы чисто мнимы и различны, то подходящим линейным симплектическим преобразованием, аналитическим по е, форму Яг можно привести к нормальному виду (11.1). Ко.эффициенты а, будут, конечно, аналитичны по е. Следующая теорема является незначительным усилением результата Рюссмана—Вея. [c.129]

Преобразование Т Q —у Q, фигурирующее в теореме 1, обычно называют сдвигом Бернулли. Происхождение этого термина имеет прозрачную вероятностную природу. Действительно, выберем наугад точку о G I2 и рассмотрим итерации Г"о , п G Z. Компоненты с нулевым номером образуют последовательность из нулей и единиц . ... .., ljo, -i m, Переходы от lj [c.304]

Теперь рассмотрим исключительные случаи, когда f ( ) = С. Если ard С = 1, то с точностью до замены координат С = оо и /(оо) = /" (оо) = = оо, так что отображение f полиномиально и не имеет критических точек в С, следовательно, оно линейно и, таким образом, оо не является критической точкой, что невозможно. Если ar l С = 2, то возможны два случая. Либо f обладает двумя неподвижными критическими точками (и нет никаких других), и тогда без ограничения общности можно положить 0 = /(0) = / Ч0) и ос = /(ос) = / (оо) и, таким образом, это отображение сопряжено с отображением z> z посредством преобразования Мёбиуса и заключение теоремы 17.8.1 не содержит ничего нового, либо, с точностью до преобразования Мёбиуса, мы имеем /(оо) = /" (оо) = 0 и отображение / сопряжено с отображением z i-+ г посредством преобразования Мёбиуса, что вновь дает заключение теоремы 17.8.1. [c.561]

Очевидно, что при любом выборе замены переменных уравнение для определения периодов колебаний должно быть одним и тем же. Поэтому отношения коэффициентов при различных степенях сохраняются неизменными. Обозначим через х детерминант преобразования, т. е. детерминант, строки которого юстоят из коэффициентов при х, у, z п приведенных выше уравнениях преобра-ювання. Тогда п силу известной теоремы из теории детерминантов дискримн- [c.67]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Здесь Z — комплексное число, г-решение стационарной (несамосопряженной) задачи (L z)u — u и м аппроксимация по Галёркину. (Действительно, и ы — преобразования Лапласа функций u t) и (<) соответственно, а интеграл (14) обращает преобразование Лапласа контур интегрирования С проходит вдоль двух лучей 2 = (я/2-fe) в левой полуплоскости, так что экспонента дает сходящийся интеграл.) Из этой формулы, приводящей к разложениям по собственным функциям в самосопряженном случае с дискретным спектром, и из стационарных ошибок, установленных в теореме 2.1, непосредственно получаем выражение для развивающейся ошибки в момент времени t, она имеет ожидаемый порядок Ф даже для несамосопряженных уравнений. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...