Гамильтониан канонические преобразования

Наоборот, если задаются старый гамильтониан Н и новый гамильтониан Н, то равенство (127) служит для определения производящей функции S. Поэтому в случае свободных преобразований можно, задав гамильтониан непреобразованной системы и желаемый гамильтониан преобразованной системы, найти производящую функцию S и, зная ее, восстановить соответствующее каноническое преобразование. [c.319]

Величины Их должны быть определены так, чтобы новые переменные, описывающие плазму и фононы, не были бы связаны друг с другом и представляли бы независимые колебания. Кроме того, необходимо, чтобы, как и в гамильтониане, связь через дополнительные условия отсутствовала. Величина и частота фононов определяются при каноническом преобразовании, которое исключает с точностью до заданного порядка члены, описывающие электронно-фононное взаимодействие в (40.5). Требуется также, чтобы с точностью до того же самого порядка и преобразованных дополнительных условиях не было бы связи между электронами и фононами, а это будет в том случае, если фононные переменные в дополнительных условиях в этом порядке но появляются. [c.766]

Уравнения канонических преобразований. Рассмотрим систему, гамильтониан которой является константой движения, а все координаты qi являются циклическими. В этом случае обобщенные импульсы Pi будут просто постоянными, т. е. будут иметь место равенства [c.263]

Все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан. [c.288]

Теоремы о сохранении, полученные нами ранее, будут теперь частными случаями того общего положения, которое мы сейчас высказали. Пусть, например, координата qi является циклической. Тогда гамильтониан ее не будет зависеть от qi и, следовательно, не будет изменяться при бесконечно малом каноническом преобразовании, изменяющем только qi. Уравнения такого преобразования будут иметь вид [c.288]

Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остается постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат q t) и импульсов p t) к начальным координатам q to) и начальным импульсам p to). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид [c.301]

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является одним из первых интегралов (при этом он не обязательно должен быть полной энергией). Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением лишь тех канонических преобразований, которые осуществляются функцией, определяемой соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных. Разделение переменных, которое мы имеем в виду, удается произвести тогда, когда решение вида [c.312]

Введение уравнения Гамильтона — Якоби обусловлено тем, что мы хотим найти такое каноническое преобразование (3), чтобы в преобразованной канонической системе (2) гамильтониан был тождественно равен нулю Н 0. Если это имеет место, то [c.200]

Можно считать, что замена переменных вида (69) с добавлением к ней условий каноничности является нормализующей для канонической системы с гамильтонианом (56), а нормализованный гамильтониан (67) является наиболее простым, так как преобразованная каноническая система стала интегрируемой. Однако, как подчеркивалось, преобразование (69) является, вообще говоря, расходящимся, и, следовательно, вопрос о существовании таких нормализующих канонических преобразований остается открытым. [c.211]

На основе высказанных идей В. И. Арнольдом [86 ], Ю. Мозером [120, 121] и другими математиками был разработан метод построения точных решений систем (1) с гамильтонианом (219), (221). В его основу положена операция перехода от канонических уравнений (1) с одним гамильтонианом к аналогичным уравнениям с другим гамильтонианом при помощи специально выбираемого канонического преобразования,, и такую цепочку преобразований следует осуществлять бесконечное число раз. [c.241]

Теперь, если гамильтониан Я инвариантен относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого соотношениями (15) с производящей функцией G, то [c.234]

Кстати говоря, из соотношений (15) непосредственно следует, что производящей функцией бесконечно малых канонических преобразований, реализующих действительное движение механической системы, является гамильтониан (с чем и связана его фундаментальная роль в механике и физике). В самом деле, взяв в качестве бесконечно малого параметра г = dtn положив G = Н, получим, используя канонические уравнения системы [c.234]

Заметим, однако, что гамильтониан Я параметрически зависит от времени чрез среднюю скорость, которая входит в каноническое преобразование (2.5.5). [c.136]

Составленные уравнения контактных преобразований обладают интегралом движения Р(ц,р) = с. Это — обобщенный интеграл энергии, являющийся следствием того, что гамильтониан контактных преобразований Г не содержит явно независимую переменную 6. Одновременно Щя. р) с — интеграл исходной канонической системы (20). Это следует из того, что интеграл уравнений (20), не содержащий I явно, обращает в [c.76]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Теорема 4. Существует такое формальное каноническое преобразование вида (11.2), что исходный гамильтониан Н х,у) преобразуется к нормальной форме, т. е. D K) = 0. [c.128]

Основная идея теории возмущений состоит в поиске такого канонического преобразования у, х mod 2тг и, v mod 2тг, зависящего от , чтобы в новых переменных гамильтониан Яо + eHi принял вид Ко и) + eKi u) + е Кг и) +. .. Если такое преобразование удается найти, исходная система уравнений Гамильтона бу- [c.196]

Перейдем к доказательству теоремы 1. Выполним каноническое преобразование ж, у — х, у по формулам у = В ) у, х = Вх, где В — целочисленная унимодулярная матрица. В новых переменных гамильтониан Но + Нх будет иметь тот же вид, а множество Д перейдет в множество Д = ш , т = ( ) m. Целочисленные векторы ш преобразуются так же, как и импульсы у, поэтому выполнение условия интегрируемости (5.3) можно проверять в исходных переменных. Действительно, пусть а,Ь — векторы из 2", и а, Ь — их образы при отображении т — (В ) т. Тогда а, Ь У = ВАВ а, Ь ) = Аа,Ь) = а,Ь). [c.210]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Следуя известной схеме классической теории возмущений, попытаемся найти зависящее от е каноническое преобразование X, у u,v вида у — дВ/дх, и — dS/dv S — Sq v, х) + sSi (v,x) +. .., переводящее гамильтониан Щ + еН в функцию Kq v) + K v) +... [c.398]

Мы получили условие, которому должна удовлетворять матрица произвольного канонического преобразования. В этом случае новый гамильтониан Ж имеет вид [c.332]

ДЛЯ любой гамильтоновой системы. Эти преобразования дают возможность свести задачу о движении системы с данным гамильтонианом к задаче о системе с более простым гамильтонианом, в связи с чем метод канонических преобразований имеет большое значение. Итак, преобразование [c.427]

Идея излагаемого метода решения поставленной задачи заключается в применении канонического преобразования от переменных д, р к таким переменным, где роль новых импульсов играют специальным образом выбранные постоянные, являющиеся функциями постоянных а, а новый гамильтониан зависит только от новых импульсов. В качестве таких импульсов вводятся величины, равные [c.439]

НО, каноническое преобразование приводит гамильтониан р, 1) [c.377]

Пайти каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к диагональной форме. [c.384]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения х = /(ж) с начальным условием ж(0) = 0. Вводя фазовое ж, р-пространство и гамильтониан Н = р /(ж), мы получим возможность использовать методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби ж = 8п ( , к) — эллиптический синус. [c.450]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения x-=f x) с начальным условием л (0) = =0. Вводя фазовое л-, р-пространство и гамильтониан H=pf x), мы получи.м возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби. г= =sn(/, k) — эллиптический спиус. В этом случае f= [c.319]

В и. 37 выводится гамильтониан в форме, удобной для исследования на осЬово теории поля. Каноническое преобразование, которое исключает. [ииейные члены электронно-фононного взаимодействия, и метод Накаджимы [c.756]

В п. 36 отмечалось, что некоторые авторы учитывали влияние движения электронов на колебательные частоты путем канонического преобразования, которое исключает из гамильтониана члены, линейные относительно координат фононов. Здесь мы будем следовать с некоторыми изменениями (см. [19]) исследованию Накаджимы, в котором с самого начала включено кулоновское взаимодействие между электронами. Хотя этот метод и аналогичен методу самосогласованного поля, он позволяет обойтись без слишком грубого адиабатического приближения при изучении движения ионов. Накаджима записывает гамильтониан в форме, эквивалентной следующей [c.761]

Каноническое преобразование определяется (39.4) с /(к, у,) и g(k, х), определенными (39.9) и (39.10). Для х1<1 кр. величина Vk определяется (40.6), а для I и, I > Хкр. — с помощью лгетодов п. 39. Преобразованный гамильтониан равен [c.766]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений q t) и p t) они приобретают значения, равные q t- -di) и p t- -di). Следовательно, изменение состояния системы за время dt можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за время от to до t можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от qito), р((о) к q(t), p t) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от t. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. [c.286]

Каноническое преобразование от pnqKjnw является преобразованием Гамильтона — Якоби поскольку преобразуемый гамильтониан был функцией только а и поскольку J не содержит р, преобразованный гамильтониан Н будет функцией только от J. Пусть S q, J) будет функцией Гамильтона — Якоби, порождающей это преобразование, так что [c.167]

Этот гамильтониан представляет собой квадратичную форму относительно операторов Ъ и к приводится к диагональному виду с помощью Боголюбова канонического преобразования. Т, о., для энергии квазичастиц получается ф-ла (2). Анализ утой ф-jnii показывает, что модель слабонеидеального Б.-г, может объяснить свойство сверхтекучести, типичное для квантовых жидкостей, а также образование вихревых нитей. [c.219]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Процедура нормализации гамильтонианов и канонических преобразований позволила решить некоторые задачи из теории устойчивости, которые раныре не поддавались решению. Приведем некоторые из них 1 виде теорем. [c.236]

Возможный ответ на этот вопрос дает сама классическая динамика Гамилыпона — Якоби. Согласно этой теории, если гамильтониан Н q, р) не зависит от времени, то можно определить такое каноническое преобразование к новому набору переменных Q, Р, что преобразованный гамильтониан К = Н (Р) уже является функцией только новых импульсов ). Тогда уравнения [c.361]

Речь идет о следующей теореме все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан системы, и обратно. Формулировка, более близкая, как мы увидим, к лиевской, гласит Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие системы в самое себя, представляют собой по сути дела одно и то [c.232]

Из этой теоремы (т. е. из формул (15). —5. В.) следует, в частности, как легко видеть, что определение всех инфинитезимальных контактных преобразований, которые переводят уравнение / (z, х ,. .., х р , р ) = onst (т. е. распространенная в то время запись канонической системы с гамильтонианом В. В.) в себя, совпадает с интеграцией этого уравнения . Рассуждение, которое основывается на формулах (15) и приводит к каноническому варианту взаимосвязи симметрия — сохранение , отличается простотой и наглядностью. Действительно, рассмотрим изменение некоторой функции и = W (g i) Рг) при бесконечно малом каноническом преобразовании [c.233]

Я, if) и (J, ф). Из вида гамильтониана следует, что ф представляет собой быструю переменную, и по ней можно выполнить усреднение. Переменная J является интегралом движения усредненной системы и в дальнейшем рассматривается как параметр. Совершим еще одно каноническое преобразование (Я, ip) i-> —) (Р, (р) с производящей функцией Wi = (Р + Rres J t)) чтобы ввести новую переменную действие Р = R — Rres , сопряженной ей угловой переменной будет (р. В малой окрестности резонанса, где Р есть величина порядка -y/i, гамильтониан принимает следующую форму [c.172]

Параметры с , Су равны друг другу в невозмущенной системе и близки по величине в возмущенной системе. Невозмущенную систему можно рассматривать как два несвязанных между собой нелинейных осциллятора, фазовые портреты которых представлены на рис. 8. Введем переменные действие-угол ( и Ч и-> Iv,4 v) посредством канонического преобразования с производящей функцией S — S Iu, Iv u,v, Pt,r), которая содержит г, Pj в качестве параметров. В новых переменных невозмущенный гамильтониан трансформируется в Tio = = У-oiIu, Iv,Pt,T) = Uuilu, Pt,r) + Hy Iy, Pt,r). Функция S имеет вид [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...