Примеры гиперболических уравнений

Примеры "гиперболических" уравнений [c.53]

Рассмотрение здесь системы (7.13) оправдано тем, что она тесным образом связана с уравнениями второго порядка с частными производными. Кроме того, исследование системы (7.13) представляет самостоятельный интерес, так как некоторые задачи математической физики описываются подобными системами (далее будет приведен пример подобной задачи о гиперболическом уравнении теплопроводности). [c.233]

Как уже отмечалось во вводной лекции, свойство сжимаемости газа проявляется в конечной скорости распространения малых возмущений (скорости звука) и, как следствие, в существенном изменении свойств сверхзвукового стационарного течения по сравнению с дозвуковым потоком. Изучение сверхзвуковых течений является основным предметом газовой динамики. На примере трансзвукового уравнения Эйлера-Трикоми мы уже видели, что в сверхзвуковом случае имеем уравнение гиперболического типа с действительными характеристиками. Сейчас мы покажем, что это свойство сохраняется при любой сверхзвуковой скорости. [c.137]

При выводе гиперболического уравнения (1-14-27 законы сохранения были использованы для определения поверхности Монжа. При этом должны быть вторичные процессы, компенсирующие диссипацию энергии. В качестве примера рассмотрим случай образования и распространения волны в газовых смесях. Пусть изменение внутренней энергии компенсируется каким-либо вторичным процессом в любой точке поверхности Монжа. В этом случае изменения давления р, плотности р и температуры среды могут быть только взаимными. Давление р численно равно плотности [c.92]

Устойчивый шаг тепловой части. Определение шага устойчивого счета для тепловой фазы покажем на примере простейшего случая, когда уравнения энергии и теплового потока оказываются эквивалентными гиперболическому уравнению теплопроводности [c.177]

Если в какой-нибудь точке потока скорость потока V превзойдет местную скорость звука с, то коэффициент при д Ф дх станет отрицательным, так что координата X войдет как бы на одних правах с временем уравнение эллиптического типа относительно координат превратится в уравнение гиперболического типа. Эти два типа уравнений коренным образом отличаются друг от друга. Гиперболическое уравнение имеет разрывные решения, которые не определяются однозначно граничными условиями. Простой пример этому будет приведен ниже. [c.108]

Следует отметить, что функция (1.3) является также решением гиперболического уравнения (1.2) с со = или уравнения (1.1) с со = СдХ, но эти случаи исключаются из диспергирующего класса условием со" 0. Однако нетрудно привести примеры действительного пересечения классов, когда уравнения оказываются гиперболическими, и в то же время имеют решения вида (1.3) с нетривиальными дисперсионными соотношениями со = со (х). Один из таких примеров — уравнение Клейна — Гордона [c.10]

Последняя глава по гиперболическим волнам касается случаев когда одновременно существуют волны различных порядков. Типичным примером служит уравнение [c.15]

Пример 3. Простейшее гиперболическое уравнение второго порядка вида [c.120]

Интересно и показательно, что уравнение (11.39) для к нелинейно даже в том случае, когда исходная задача линейна, и что оно является гиперболическим, хотя исходное уравнение для ф в общем случае таковым не является. Это первый пример, когда гиперболические уравнения получаются при описании распространения важных общих величин типа к. В этом смысле можно сохранить связь распространения волн с гиперболическими уравнениями, но имеется и существенная негиперболическая подструктура. [c.366]

В общей задаче потенциал скоростей ф не обращается в нуль вверх по потоку. В этом случае равномерно пригодное разложение можно получить разложением зависимой и обеих независимых переменных х и у как функций е и обеих характеристик нелинейного уравнения и т). Таким образом мы увеличим систему уравнений (3.2.83), (3.2.84) добавлением уравнений, описывающих приходящие характеристики г), и включением разложения для у, аналогичного (3.2.85). Ниже такая процедура будет показана на примере более общей системы гиперболических уравнений. [c.103]

В рассмотренных примерах разностных схем для волнового уравнения не использованы уравнения характеристик и условия на них. Приведем алгоритм численного счета с использованием характеристик. Рассмотрим квазилинейное уравнение (7.19) гиперболического типа. [c.239]

Пример. Уравнение асимптоты к гиперболической спирали, заданной параметрическими уравнениями, [c.211]

Приведенные примеры характерны использованием гиперболических функций для описания перемещений и усилий в упругих системах. Как видно, МГЭ позволяет получать точные решения задач статики при минимально возможной дискретизации расчетной схемы. Отметим, что, если фундаментальные функции отличны от полиномов, то МКЭ не дает точных решений задач [184]. Повышение точности расчетов по МКЭ достигается либо дроблением сетки КЭ (этот путь приводит к увеличению порядка разрешаюш,ей системы уравнений), либо применением точных матриц жесткости, что не всегда возможно. [c.69]

Приведенные примеры показывают, что усилия в связях составного стержня во многих слз аях могут быть определены сравнительно просто. Решение для составного стержня получается в виде суммы частного решения, которое для всех случаев кусочно-равно-мерной и сосредоточенной нагрузок совпадает с распределением сдвигающих напряжений в монолитном стержне, и общего решения однородного уравнения, являющегося суммой показательных или, что то же самое, гиперболических функций от аргумента, пропорционального координате л. [c.112]

Уравнения малых колебаний струны, продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала относятся к одному классу уравнений в частных производных - к уравнениям гиперболического типа. В монографиях и учебниках, посвященных уравнениям математической физики, приводятся уравнения, не учитывающие сосредоточенные массы и сосредоточенные силы. В основном рассматриваются волновые уравнения или уравнения, когда действующие на струну, стержень или вал силы распределены по всей длине. В примерах на рис. 7.1—7.7 показано, что реальные задачи могут быть существенно сложнее не только классических задач, которые приводятся в математической литературе, но и тех, которые обычно рассматриваются в монографиях, посвященных теории колебаний. Эти уравнения, которые приводятся без вывода для наиболее общих случаев, имеют следующий вид (с учетом сил вязкого трения). [c.311]

Цикл работ Д.Д. Ивлева посвящен линеаризированным задачам упругопластического состояния тел. Метод малого параметра, развитый в работах Д.Д. Ивлева, позволил получить решение ряда плоских, осесимметричных, пространственных задач упругопластического состояния тел и определить неизвестную границу, отделяющую область пластического состояния материала, описываемую уравнениями гиперболического типа, от области упругого состояния тела, описываемой уравнениями эллиптического типа. На примере разложения в ряд классических решений Л.А. Галина и Г.П. Черепанова было установлено их совпадение с решениями, полученными непосредственно методом малого параметра, и показана достаточно быстрая сходимость приближений. Дальнейшее развитие получили линеаризированные методы решения задач жесткопластического анализа, в том числе линеаризированные задачи о вдавливании жестких тел в идеально пластическую среду. [c.8]

Пример кривой релаксации напряжения а с течением времени t, полученной при условии, что длина медного стержня остается постоянной, приведен на рис. 16.57 в полулогарифмических координатах. Пунктиром на этом рисунке показана кривая релаксации напряжения а, построенная по уравнениям (16.41) и (16.42), выведенным в 16.2, В на основе закона гиперболического синуса. Заметим, что при этом не учитывались [c.732]

Уравнения функции соответствия u = u v), ее производных и асимптоты получаются из соответствующих уравнений примера 1, если считать hi = h n + Ь)/Уя, щ = + h, заменить Q на —Q, тригонометрические функции на гиперболические со сходным названием и поставить минус перед второй производной. [c.425]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Пример. Характеристическое уравнение поверхности зу— 32 — -t- Пхг— 6л — 12j — 122Г=0 имеет вид аЗ 81Х=0. так как/1=0, 7 =—81. /3=0, / =6561. Корни характеристического уравнения суть >ч=9. 2 — Хз=0. Следовательно каноническое уравнение поверхности приводится к виду (гиперболический параболоид) [c.209]

Замечание. В 18.37 мы могли убедиться, что применение безмоментной теории к оболочкам отрицательной кривизны связано с некоторым насилием над свойствами соответствующих краевых задач (например, необходимость решать задачу Дирихле для гиперболических уравнений). Здесь получился пример прямо протнвоположного характера краевые задачи безмоментной теории оказались более естественными для оболочек отрицательной кривизны. [c.269]

Предварительно для наглядности рассмотрим возникающие здесь вопросы на модельном примере — квазилинейном уравнении переноса. С одной стороны, это уравнение достаточно просто и его точное решение нетрудно сконструировать. С другой — оно нелинейно и хорошо моделирует основные свойства системы уравнений газодинамики, например, возможность возникновепия в решении в некоторый момент времени сильного разрыва при гладких начальных данных. Поэтому квазилинейное уравнение переноса является классическим объектом, широко используемым для апробации и отработки кап методов теоретического исследовапия систем нелинейных гиперболических уравнений, так и методов их численного расчета [73, 102[. Наиомпим, что этот прием мы уже применяли в гл. III, демонстрируя па примере липейпого уравпепия переноса методы исследования устойчивости разностных схем. [c.243]

Интересно, что свойство консервативности не всегда желательно, в частности в нелинейных гиперболических уравнениях. Простейщий пример — закон сохранения щ = Ф)х- В решениях этих задач могут быть самопроизвольные разрывы (скачки) и сохранение энергии теряется, даже хотя некоторые другие законы сохранения массы и момента выполняются. В уравнении Галёркина этих скачков, по-видимому, нет совсем и приближенное уравнение остается консервативным — отсюда следует, что сходимость к истинному решению невозможна. В методе конечных разностей обычНый прием состоит в том, чтобы рассеять энергию с помощью искусственной вязкости по-видимому, это будет необходимо и для конечных элементов. [c.292]

Обычно граничные условия типа Коши связаны с гиперболическими уравнениями, поэтому естественным путем решения является метод характеристик. В последнее время был развит метод решения эллиптических уравнений подобным образом. Такой метод подробно описан Гарабедяном и Либерштейном [2] в качестве примера они рассмотрели дозвуковое течение за отошедшей ударной волной. Краткое изложение метода приводится ниже. [c.207]

Заключение. Для описания вязких внутренних и внешних стационарных смешанных двумерных течений предложена новая система упрощенных уравнений Навье-Стокса гиперболического типа, решения которой близки к решениям систем уравнений эллиптико-гиперболического типа [32, 33]. Она получена на основе более детального по сравнению с [24] расщепления продольного градиента давления на эллиптическую и гиперболическую составляющие. На примере расчета смешанных течений в сопле Лаваля и ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела показано, что вклад эллиптической части уравнений полного вязкого ударного слоя [33] и эллиптико-гиперболических уравнений гладкого канала [32] в искомые функции невелик. Определяющий вклад в решение вносит гиперболическая часть системы уравнений. [c.45]

Взаимное влияние повреждений материала, развивающихся на площадках цикла и от цикла к циклу, 01ка.зывается достаточно значительным. Кривая предельного состояния для термической усталости является кривой гиперболического типа, как это видно из примеров, приведенных на рис. 85. Ее уравнение можно записать в виде [c.150]

Пример изображения зависимости вязкости от температуры в обычных координатах показан на. рис. 30. Это — гиперболическая зависимость высоких степеней. Изображение вязкости в обычных координатах менее удобно. В логарифмических координатах кривая вязкости в текучей области по уравнению (1) — прямая, изгиб которой при критической температуре В)Язкости хорошо заметен. Напротив, при изображении кривой вязкости в обычных координатах изгиб при переходе в пластическую область шлака незначителен, особенно при высоких вязкостях шлака. [c.62]

В заключение следует указать, что возможности использования произвола, содержащегося в общем решении уравнений безмомент-ной теории, зависят от формы оболочки. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, к решению которых сводится определение усилий и смещений в безмоментных оболочках, принадлежат к разным классам для оболочек положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизны, а именно они являются эллиптическими для первых, гиперболическими для вторых и параболическими для третьих оболочек. Это вносит специфику в постановку граничных условий в каждом частном случае, что будет показано на примерах ниже. [c.89]

Рассмотрим, в качестве примера, определение постоянных, входящих в уравнение (6.17), для стали 40Х (0и = 202 кгс/мм ). В работах [11, 29] приведены результаты испытаний при изгибе с вращением круглых образцов гладких и с глубокими гиперболическими надрезами (всего 8 типов). Размеры образцов, а также значения а , G и Ig L/G приведены в табл. 1. На рис. 9 на нормальной вероятностной бумаге представлены функции распределения долговечности при различных значениях СТтах при каждом уровне напряжений испытывалось по 20—25 образцов (для образцов Кг 4 [c.267]

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, решение задачи с условиями типа (43), (44) для уравнений гиперболического типа может быть построено методом ха рактеристических рядов, которые, по крайнем мере, в окрестности точки ж = t = О сходятся. Нетривиальным является вопрос о возможности применения аналогичных степенных рядов для построения решения уравнения (45) с условиями (43), (44) в области, ограниченной полуосью t О и некоторой кривой х = ao(t), которая описЫ вает движение фронта фильтрации по области нулевого давления. Хотя формально такие степенные ряды довольно легко построить, главным и принципиальным вопро сом при этом является вопрос о сходимости таких рядов. Ведь простейшие примеры представления решения задачи Коши для линейного уравнения теплопроводности [c.233]

Предлагается метод получения точных решений некоторых смешанных задач Коши для нелинейных уравнений второго порядка гиперболического типа. Подробное рассмотрение проводится на примере уравнения для потенциала скоростей, соответствующего нестационарным плоскопарал дельным течениям политропного газа, хотя метод применим к более широкому классу уравнений. Исследуются некоторые свойства построенных решений. В качестве приложения построена приближенная теория распространения криволинейных слабых ударных волн по однородному фону. В работе продолжено исследование, начатое в [1]. [c.314]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Обратимся теперь к теории ферромагнетизма Вейсса, основанной на уравнении состояния магнетика (9.2.12). Мы,,увидим, что,, несмотря на очевидное различие между этим уравнением и уравнением ВдВ—М, обе теории предсказывают идентичное поведение ьблизи критической точки. В качестве примера рассмотрим случай спина S = V2, для которого функция Бриллюэна сводится, к гиперболическому тангенсу [c.345]

Сближение различных разделов механики сплошной среды и даже стирание граней между ними привело к выработке общих методов решения задач (и, в свою очередь, стимулировалось этим процессом). Ярким примером служит теория распространения разрывов в сплошных средах, математические основы которой разрабатывал в начале XX в, Ж. Адамар. В настоящее время теория ударных волн охватывает многие модели сплошных сред (см., например, монографию Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера ). С. А. Христиановичем и другими была установлена близкая аналогия между задачами о плоском установившемся течении в газовой динамике, задачами о распространении упруго-пластических волн в стержнях, задачами о неустановившемся течении воды в каналах и реках, задачами о предельном равновесии идеально-пластической или сыпучей среды (во всех случаях приходится иметь дело с некоторыми системами квазилинейных уравнений гиперболического типа). Общими для всей механики становятся методы подобия и размерностей, асимптотические методы и методы линеаризаций. [c.279]

Поэтому для разбивки профиля диска на участки в логарифмических координатах строится график зависимости толщины от радиуса (см. пример). Полученная кривая приближённо заменяется ломаной, отрезки которой соответствуют гиперболическим участкам профиля. Величина а для гиперболического участка профиля находится по уравнению [c.167]

На примере уравнений одномерной нестационарной газовой динамики для гиперболических систем с двумя независимыми переменными предложена модификация схемы Г одунова, повышающая при сохранении монотонности порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго и уменьшающая размазывание контактных разрывов и скачков малой интенсивности. [c.186]

Обстоятельное исследование метода характеристик для общ,его случая вихревых трехмерных течений было выполнено В. В. Русановым (1953) еш е до появления возможности использования быстродействуюш,их вычислительных машин. Русанов рассмотрел обш,ие квазилинейные гиперболические системы уравнений и применил полученные результаты к произвольным неустановившимся и установившимся пространственным течениям газа. В последнем случае характеристическая сетка в пространстве строится из элементарных тетраэдров, гранями которых являются характеристические плоскости, подобно тому как в двумерных задачах сетка строится из треугольников. Русанов изложил способ расчета элементарных тетраэдров при решении задачи Коши, при расчете течений около стенки, около свободной поверхности или около ударной волны, а также привел примеры расчета течений по предложенной им схеме. [c.170]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

В качестве простого примера рассмотрим сохраняющие площадь потоки в случае размерности 2, индуцированные линейной системой х = Ах обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. потоки вида для некоторой матрицы А, для которой =с1е16- = 1, или А =0. В этом случае трансверсальные неподвижные точки могут быть только эллиптическими или гиперболическими седлами собственные значения матрицы равны А и —Л, и мы можем считать, что матрица А приведена к жордановой форме. Если А = О, то начало координат не является изолированной неподвижной точкой. Если А / О, то число Л либо чисто мнимо А = га гК, либо вещественно. В первом случае собственные значения равны е= = для некоторого з е К, и тогда нуль — неподвижная эллиптическая точка. В противном случае собственные значения имеют вид для некоторого в е К и нуль — гиперболическая неподвижная точка. Другими словами, возможны только два случая [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...