Бриллюэна функция

Рассмотрим приведение к первой зоне Бриллюэна какой-либо функции на примере е(к) для свободных электронов (рис. 4.1). Пусть точка к в к-пространстве будет перемещаться из центра зоны Бриллюэна в сторону увеличения значений к. На границе зоны Бриллюэна функция е(к ) окажется равной- функция [c.63]

Внутри зоны Бриллюэна функция (Л) обладает большим ЧИСЛОМ симметрий. Для того чтобы их охватить, сопоставим а а некоторые операторы, аналогично тому как мы в 18 сопоставили i , = операторы Тц. [c.113]

Разрывы в энергетическом спектре электрона, как мы видим, появляются при достижении волновым вектором k значений пп/а, т. е. на границах зон Бриллюэна. Какова физическая природа этих разрывов Выразим волновой вектор через длину волны электрона X н запишем условие, при котором функция E k) терпит разрыв [c.228]

Пусть зависимость Е (к) в одной из зон имеет вид, показанный на рис. 7.11,а. Минимум энергии соответствует центру зоны Бриллюэна (А=0), а максимумы —ее границам (k = dzn/a). Часто зоны с такой зависимостью E(k) называют стандартными. Согласно (7.97) эффективная масса определяется кривизной кривой E(k). Вблизи значений к, соответствующих экстремумам функции Е(к), закон дисперсии можно представить параболической зависимостью, аналогичной зависимости E k) для свободного электрона. Покажем это. Если экстремум достигается в точке k = ko, то разложив E k) в ряд по степеням к—ко), получим [c.234]

Функция Bj(p)—обобщенная функция Ланжевена, называемая также функцией Бриллюэна. Используя (10.22), легко найти намагниченность [c.327]

Функция B J) называется функцией Бриллюэна. [c.462]

ИЗ функции Бриллюэна с g=2, 1см. (29.2)], то получим [c.512]

Затем были определены значения энтропии (приведенные в первом столбце) они вычислялись не из кривой намагничивания при исходной температуре (поведение соли не описывается функцией Бриллюэна), а по соотношению [c.513]

Таким образом, все состояния электронов в периодическом потенциальном поле характеризуются значениями волнового вектора к, лежащего внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна. Как уже говорилось, энергия таких состояний также будет функцией к. В общем случае функция Е = = Е(к) является многозначной, т. е. каждому заданному значению к отвечает несколько значений энергии. Для всех зна-—> [c.69]

Поскольку вектора к находятся с точностью до g, то любая, функция может быть переведена в любую (обычно первую) зону Бриллюэна. Для этого из рассматриваемого вектора к следует вычесть вектор g, чтобы их разность к—g- оказалась внутри или на границе первой зоны Бриллюэна. Далее б полученную точку следует перенести величину функции в точке к. [c.63]

При рассмотрении зависимости энергии от волнового вектора к изменению энергии е(к), отвечающей изменению к внутри одной зоны Бриллюэна, соответствует энергетическая зона. В схеме приведенных зон одной энергетической зоне соответствует изменение функции 6(к) при однократном проходе внутри зоны Бриллюэна. В этом случае для различения разных энергетических зон их часто нумеруют дополнительным индексом. Итак, зонам Бриллюэна вдоль оси энергий соответствуют энергетические зоны. Еще раз обращаем внимание читателя зона Бриллюэна — зона в к-пространстве, энергетическая зона — зона в шкале энергий. [c.64]

Уравнение Шредингера и его решение дают информацию не только об энергетических состояниях электронов, но и о волновых функциях, которые вблизи границы зоны Бриллюэна имеют вид (4.41), где к близко к g/2. [c.76]

В центральной части зоны Бриллюэна справедливо приближение свободных электронов, е(к) является вогнутой функцией, эффективная масса положительна и почти не отличается от обыч- [c.91]

Поскольку при удалении от О деформация затухает, решение будем искать в виде затухающей функции. Если для невозмущенного колебания на границе зоны Бриллюэна смещение равно [c.219]

В зоне проводимости, особенно вблизи ее дна, электронный спектр близок к спектру свободных электронов. Энергия электронов в кристаллах и волновая функция являются многозначными функциями волнового числа (см. 66). Это позволяет смещать спектр по волновому числу по определенным правилам. Условливаются, что волновое число должно всегда находиться в первой зоне Бриллюэна. Не вдаваясь в подробности определения этой зоны, заметим лишь, что такое условие требует для характеристики энергии и волновой функции использовать значения волнового числа, лежащие в интервале от нуля до некоторого максимального. Этот интервал различен по разным направлениям. Такой способ классификации электронных состояний в кристалле называется схемой приведенных зон. В ситуации, изображенной на рис. 117, это позволяет поместить начало кривой Е = Е(к) зоны проводимости на одну вертикаль с началом кривой Е = Е(к) валентной зоны. Тогда становится очевидным, что зависимость Е = Е к) в зоне проводимости действительно близка к соответствующей зависимости для свободного электрона. Однако рассмотрение скорости электрона одинаково удобно провести и без схемы приведенных зон, потому что ход производной dE/dk не зависит от смещения спектра по оси к. [c.352]

Показать, что на границах первой зоны Бриллюэна волновые функции свободного электрона в одномерной периодической решетке с периодом d вырождены. Показать, что если каждый атом вносит малое возмущение, то в первом приближении по возмущению волновые функции на границе зоны пропорциональны [c.74]

Выразить волновую функцию через набор четырех плоских волн, описывающих вырожденное состояние в точке (V2, О, 1) зоны Бриллюэна. [c.77]

X мало и функцию Бриллюэна можно приближенно выразить [c.254]

При условии, что эффекты насыщения не важны, функцию Бриллюэна можно разложить в ряд Тейлора по Я. Сохраняя [c.255]

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений к, ограниченную первой зоной Бриллюэна. Тем не менее, иногда полезно считать, что волновой вектор может изменяться по всему к-пространству. Поскольку для любых двух значений к, от-личаюш,ихся на вектор 2пН, все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписывать индексы п так, чтобы при заданном п собственные функции и соб- [c.221]

В свободном состоянии ион хрома находится в состоянии, однако вследствие полного замораживания орбитальных уровней (см. п. 30 и 4) его эффективным состоянием в квасцах является Четырехкратно вырожденный основной уровень под действием тригональной компоненты электрического ноля расш енляется на два крамерсовских дублета с расстоянием между ними kfj. Поскольку о имеет порядок 0,25° К (см. ниже), магнитный момент и энтропия при 1° К могут быть представлены функцией Бриллюэна с J=S = и g=2 [см. (29.1) и (29.2)]. Для магнитного момента этот вывод был подтвержден экспериментально [122, 123]. Хадсон [106], а также Даниэле и Кюрти [75] вычислили небольшую поправку к энтропии, обусловленную расщеплением. [c.469]

В (37.13) сумма не ограничена первой зоной Бриллюэна, но берется по всем значениям х. Подобно этому, в (37.14) сумма берется по всем к, ибо мы используем расширенную зонную схему для описания волновыу функций электронов. Заметим, что, по определению, [c.760]

На рис. 30 [2] показано чередование разрешенных энергетических зон и щелей для периодического потенциала. Энергия электрона дана как функция волнового вектора в схеме расширенных и приведенных зон Бриллюэна для одномерного кристалла с постоянной решетки а. Нелокализо- [c.78]

Аналогичное положение характерно и для электронных состояшй у края щели. Функция Блоха для электронного состояния, лежащего у ирая зоны Бриллюэна, представляет собой не бегущую, а стоячую волну. Это происходит из-за того, что электрон с таким волновым вектором при его движении (в реальном пространстве) с компонентой квази- [c.80]

Метод В КБ (Венцеля, Крамерса, Бриллюэна). При исследовании периодических движений в механизмах могут быть слу чаи, когда в уравнении движения типа (9.51) функции p t) и f t) медленно изменяются по времени. Тогда функцию p t) по аналогии с уравнением консервативного типа (9.8) можно рас сматривать как медленно изменяющуюся собственную частоту. [c.175]

При медленном изменении (г), согласно методу Венцеля — Крамерса — Бриллюэна, вместо (5) для собственной функции можно написать [c.502]

Теорию колебаний решеток, с историческим введением и исследованием электрических схем, математически эквивалентных механическим структурам, см. Бриллюэн Л., Парод и М., Распространение волн в периодических структурах, ИЛ, Москва, 1959. В добавление к историй вопроса, данной Бриллюэ-ном, можно заметить, что Гамильтон глубоко разработал этот вопрос в статье, названной Динамика света , но опубликовал только короткий доклад об этой работе см. Hamilton W. R., Mathemati al Papers, т. 2, стр. 413—607. Гамильтон получил формулу (54.3) операционными методами, функции Бесселя появлялись при этом как интегралы (цит. соч., стр. 451, 576). [c.163]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Акустооптика изучает взаимодействие оптических волн с акустическими в различных веществах. Возможность такого взаимодействия впервые предсказал Бриллюэн в 1922 г., а затем ее экспериментально проверили в 1932 г. Дебай и Сиарс в США и Люка и Бигар во Франции. При взаимодействии света со звуковыми волнами наиболее интересное явление представляет собой дифракция света на акустических возмущениях среды. При распространении звука в среде возникает соответствующее поле напряжений. Эти напряжения приводят к изменению показателя преломления. Такое явление называется фотоупругим эффектом. Поле напряжений для плоской акустической волны является периодической функцией координат. Поскольку показатель преломления среды претерпевает периодическое возмущение, возникает явление брэгговской связи, как показано в гл. 6. Акустооптическое взаимодействие является удобным способом анализа звуковых полей в твердых телах и управления лазерным излучением. Модуляция света при акустооптическом взаимодействии находит многочисленные применения, в том числе в модуляторах света, дефлекторах, устройствах обработки сигналов, перестраиваемых фильтрах и анализаторах спектра. Некоторые из этих устройств мы рассмотрим в следующей главе. [c.343]

Где т — масса электрона. Учет периодического потенциала кристаллической решетки (метод Блоха) усложняет эту зависимость, приводя к разрывам параболической зависимости W p) в областях запрещенных энергий (см. рис. 1.4). Функция W p) непрерывна в различных интервалах пространства импульсов, называемых зонами Бриллюэна (например, при —n/a k n/a и др.), а при переходе от одной зоны Бриллюэна к другой терпит разрывы. Применение одноэлектронной зонной теории с блоховскими волновыми функциями хорошо оправдывается для кристаллов с s- и р-электронами, орбитали которых имеют большую пространственную протяженность и значительное взаимное перекрытие (в случае кристаллов с d- и /-орбиталями применять зонную теорик> нужно с осторожностью (см. 4.4)). [c.13]

Обратимся теперь к теории ферромагнетизма Вейсса, основанной на уравнении состояния магнетика (9.2.12). Мы,,увидим, что,, несмотря на очевидное различие между этим уравнением и уравнением ВдВ—М, обе теории предсказывают идентичное поведение ьблизи критической точки. В качестве примера рассмотрим случай спина S = V2, для которого функция Бриллюэна сводится, к гиперболическому тангенсу [c.345]

Для решения задачи обратимся к аналогии с пробоем Зине-ра — переходом электрона через барьер под воздействием электрического поля. Используя волновую функцию приведенного выше вида, получим с помощью метода ВКБ (метод Венцеля — Крамера — Бриллюэна) вероятность перехода для электрона [c.295]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...