Постановка задачи и ее решение по областям

Постановка задачи и ее решение по областям [c.171]

Таким образом, следует рассматривать по сути дела упругопластическую задачу, однако ее решение связано с огромными трудностями. Полное же игнорирование упругих областей лишает постановку задач определенности и затрудняет физическое осмысливание решений. [c.133]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

В данном разделе мы рассмотрим прямую и обратную задачи теории однорядных гидродинамических решеток как краевые задачи в основном для логарифма комплексной скорости nV Z) = 1пУ( , Г)) — а а, т)), аналитической функции комплексной координаты Z = i- ir канонической области (круга или полосы). В прямой задаче будем считать известной на контуре профиля мнимую часть этой функции [а=а(з)], а в обратной — ее действительную часть [1п V = 1п (5)]. Обе задачи сводятся к построению аналитической функции по ее действительной или мнимой части, известной на границе области, и решаются путем последовательных приближений. Выбор именно этой функции, а не какой-либо другой, например комплексной координаты плоскости течения 2 (Z) x(i, т])-]-+ V) или просто комплексной скорости V(Z) = l/ ( , тп)— — IVу (I, Г1), связан с постановкой прямой и обратной задач. Кроме того, решение задачи для 1пУ(С), как будет показано ниже, непосредственно обобщается на случай дозвукового течения газа (в приближенной постановке С. А. Чаплыгина). [c.146]

При решении контактных задач с учетом износа в такой постановке обнаружилось, что сходимость процесса имеет место только в довольно узкой области, т. е. необходим очень малый шаг во времени, особенно для задач с концентрацией контактных напряжений. При этом шаг по времени связан с шагом дискретизации по длине границы контактной поверхности. Чем меньше размер конечного элемента, тем меньше должен быть шаг по времени. Аналогичное явление имеет место и при решении задач теории ползучести с учетом концентрации напряжений. При увеличении шага наступает неустойчивость шагового процесса и процесс решения задачи, начиная разбалтываться от шага к шагу, становится расходящимся. Дело в том что контактное давление очень чувствительно к наклону контактирующих поверхностей, т. е. к изменению зазора между взаимодействующими телами, а для сходимости процесса требуется, чтобы в пределах шага контактное давление изменялось несущественно. В д.ан-ном случае имеют место так называемые жесткие задачи, для решения которых необходимо принимать специальные меры. [c.153]

Оператор А(у), соответствующий краевой задаче, строится при помощи умножения левой части дифференциального уравнения на произвольный элемент V е V (умножение является скалярным, если дифференциальное уравнение векторное) с последующим интегрированием по области Г) изменения независимых переменных. После т-кратного применения формулы интегрирования по частям (формулы Грина) возникает билинейный функционал, обозначаемый А и),у), величина А и) в котором и определяет оператор над решением при вариационной (слабой) постановке краевой задачи. Во многих случаях элемент А(и) е V, хотя это не обязательно. [c.97]

На основании изложенной выше полной постановки задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел легко понять, что здесь исследователи имеют дело с одной из самых сложных задач математической физики. Это краевая задача для нелинейных уравнений в частных производных. Дополнительная трудность состоит в том, что часть границы, а именно головная часть ударной волны заранее не известна и должна быть определена в процессе решения. Кроме того, задача по существу является трансзвуковой, т.е. область течения содержит как дозвуковое течение, так и сверхзвуковой поток, в которых закономерности распространения возмущений, формирующих течение, существенно различны. В современной математике не существует точных аналитических методов решения таких задач. Действительно, основной прогресс в решении этой задачи был достигнут с использованием численных методов. Бурное развитие этого научного направления с применением быстро прогрессирующей вычислительной техники относится ко второй половине XX века. [c.173]

Задача определения векторного поля по значениям его вихря и дивергенции может быть решена и для конечной области. Ее решение в постановке в области V с границей S найти вектор, удовлетворяющий системе уравнений [c.131]

Значительного упрощения можно достигнуть, используя импедансные граничные условия. При строгой постановке задачи сопротивления единичного квадрата меняются по длине загрузки даже при постоянных ее свойствах, и необходимо совместное решение уравнений поля для внутренней (в загрузке) и внешней областей. Импедансные граничные условия могут служить для сшивания решений при использовании различных методов. [c.64]

Перечисленные методы дают возможность определить распределение напряжений вдоль радиуса К диска, т.е. в одномерной постановке. Во многих случаях, однако, реальные условия работы турбин таковы, что существует неравномерное распределение температуры материала диска не только вдоль радиуса, но также по толщине и по окружности. Кроме того, актуальной является задача определения напряжений в диске с учетом концентраций напряжений, например в местах соединения диска с лопатками, резкого изменения толщины в области отверстий в полотне диска и т.п. Такие задачи можно решить лишь в трехмерной постановке. Эффективным методом их решения в настоящее время является метод конечных элементов, который позволяет реализовать на ЭВМ математические модели, значительно приближающиеся к реальному объекту расчета. Тем [c.293]

Такая гипотеза может быть принята по следующим причинам во-первых, как увидим ниже, получающиеся на основании этой гипотезы значения критических сил хорошо согласуются с точными решениями, которые указаны в 36 во-вторых, имеющиеся опытные данные дают удовлетворительное подтверждение результатов, получающихся согласно этой гипотезе в-третьих, она удовлетворяет тождественно главному условию при постановке задачи устойчивости, а именно тому, что вариации внешних сил равны нулю в-четвёртых, она строго выполняется в том случае, когда деформация пластинки является упругой, т. е. пластинка не имеет второй и третьей зон деформаций. Заметим ещё, что если бы в области пластинки могли существовать только 1-я и 3-я зоны деформаций, то вследствие линейности и однородности соотношений (5.18) и (5.23) и граничных условий (5.42) гипотеза (5.92) также выполнилась бы тождественно. [c.304]

Общие свойства перечисленных задач состоят в том, что по известным газодинамическим параметрам в областях перед разрывами / и 5 требуется определить типы исходящих волн (они могут быть скачками уплотнения Гсм. рис. 2.1, а, б) или скачком уплотнения и волной разрежения (см. рис, 2.1, б)) и параметры течения за ними. Такая обобщенная постановка называется задачей о распаде произвольного стационарного разрыва, которая обычно решается локально в рамках моделей совершенного невязкого газа. Поставленная впервые Ландау [2], она до сих пор привлекает к себе внимание [3-7]. В работах [3, 6] исследованы частные случаи данной задачи — взаимодействия догоняющих и встречных скачков. В монографии [7], где анализировалась общая задача, получено ее приближенное решение. При рассмотрении взаимодействия скачков малой интенсивности в [5] найдено ана- [c.30]

В 1970-х гг. Г.Г. Черный выполнил комплексное исследование [31-33] ламинарного пограничного слоя, образующегося на движущейся поверхности. Интерес к таким задачам связан с эффектом возникновения внутри пограничного слоя зон обратных токов и с возможностью изменения сопротивления тела в результате движения точек его поверхности вдоль самой поверхности. Была дана наиболее общая постановка задачи, когда на поверхности тела задаются распределенные по ее длине продольная и поперечная скорости. Проблема сведена к исследованию нелинейной краевой задачи, на основе которой выяснены все особенности процесса. Был исследован класс автомодельных решений и определены области параметров, при которых существует одно или два решения, или автомодельные решения вообще отсутствуют. Построены неавтомодельные решения, когда отличие течения от автомодельного характеризуется малым параметром. Особый интерес представляет анализ тяговых и энергетических характеристик тела с подвижной поверхностью. Изучены режимы, когда скорость движения поверхности пластины больше скорости набегающего потока, и сама поверхность служит движителем, к которому нужно подводить внешнюю энергию. [c.7]

Прежде всего это задачи фильтрации и прогнозирования, т. е. собственно задачи статистической динамики. Постановке и решению этих задач применительно к линейным системам посвящено множество работ из различных областей техники. Основная проблема сводится здесь к выяснению статистических характеристик выходного процесса и (t) по заданной статистической информации о внешнем воздействии q t). [c.7]

В областях налегания в результате взаимодействия поверхностей с трением (в довольно распространенном и рассматриваемом в дальнейшем случае) по закону Кулона возникают зоны скольжения и сцепления. Если внешние нагрузки изменяются в зависимости от некоторых параметров, в частности квазистатически, то скольжение может приостановиться. В результате возможно образование зон сцепления двух типов с нулевым и ненулевым скачком смещений. Границы зон налегания и раскрытия, сцепления и скольжения неизвестны. Таким образом, постановка краевой задачи содержит ограничения на смещения поверхностей трещины (полости), что, в свою очередь, приводит к ограничениям на нормальные и касательные напряжения. Области выхода решения на ограничения заранее не известны, что обусловливает нелинейность задачи и ее отличие от традиционных задач с фиксированными линиями раздела краевых условий разного типа. [c.57]

Остановимся на так называемом альтернирующем методе, предложенном Шварцем (см., например, [69]). Этот метод заключается в последовательном решении задач для любой области, ограниченной лишь одной поверхностью. Рассмотрим для простоты пример области, ограниченной (для принятой выше индексации) поверхностями 5о и 51. Первоначально решается, например, задача для области Оа при заданном на поверхности краевом условии и при этом определяется значение функции (или ее нормальной производной) на поверхности 51. После этого решается краевая задача для области 5Г при краевом условии, равном разности между заданным по постановке задачи условием и определенными значениями на первом этапе решения. Далее находятся значения на поверхности 5о, доставляемые эти решения, и т. д. Доказана сходимость метода Шварца. [c.106]

Если правильно сфомулирована первая задача, то необходимо ответить на вопрос существуют ли, и если существуют, то можно ли выбрать определенные формальные методы или процедуры, позволяющие проектировщику находить оптимальные решения задачи, т. е. такие решения, при которых критерий оптимальности принимает экстремальные значения. Ответ на указанные вопросы составляет основу решения задачи проектирования оптимальных машин и механизмов. Постановка и решение подобных задач по существу определяют современное содержание исследований в области теории машин и механизмов. [c.146]

Некоторые успехи в формировании науки о баллистическом проектировании ракет были достигнуты на рубеже XIX и XX столетий, когда к решению баллистических задач стали привлекаться результаты исследований в области гидродинамики, изучавшей явления реакций водяной струи, и в области астрономии, рассматривавшей некоторые случаи механического движения тел с изменяющейся массой применительно к общей теории движения планет. В ряду этих исследований существенное значение для разработки основ баллистического проектирования имели выпо.лненные в 1897—1908 гг. работы Н. Е. Жуковского [5] и особенно работы И. В. Мещерского (1859—1935) по фундаментальным проблемам механики тел пере-л1енной массы, опубликованные в 1897—1904гг. [10]. Но, рассмотрев многие проблемы, связанные с изучением движения тел, масса которых меняется в процессе разновременного или одновременного присоединения и отделения частиц. Мещерский ограничился лишь самой общей постановкой задачи о движении ракет. Наиболее полное решение этой задачи и обоснование возможности использования принципа реактивного движения для межпланетных перелетов впервые были даны К. Э. Циолковским [c.411]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Так как характеристики Л , (7 , р изменяются по толш,ипе трехслойного пакета разрывно, то при точной постановке задачи об определепии температурного поля уравнение (11.28) необходимо решать внутри каждой однородной области (слоя) самостоятельно, задавая на поверхностях склейки слоев дополнительные условия теплообмена и равенства температур. Решение указанной задачи представляется проблематичным. Для ее унрогцения проведем процедуру усреднения теплофизических параметров по толгцине пластины и, в конечном итоге, сведем задачу к определению температурного поля в однородной пластине с модифицированными характеристиками. Введем параметр а = Л/(7, где [c.264]

Таким образом, и в нелинейной постановке, основанной на физической зависимости (3.14), контактная задача наследственной теории ползу- 1ести сводится к последовательному решению двух связанных между собой интегральных уравнений (3.22) и (3.23). Решение уравнения (3.22) при различных ядрах (3.15) достаточно хорошо изучено (С. В. Александровский, 1966 Н. X. Арутюнян, 1952 И. Е. Прокопович, 1956 Ю. Н. Работнов, 1966 М. И. Розовский,. 1955) поэтому разыскание функции со (ж, t) не встречает затруднений. Решение же интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.23) со слабой особенностью, когда областью контакта между телами является отрезок — а ж а, строится по методу М. Г. Крейна (1954, 1955). [c.198]

Особый интерес представляют задачи о движении штампов по вязко-упругим основаниям с учетом динамических эффектов, имеющих, при этом место. Такие смешанные граничные задачи выпадают из класса вязкоупругих задач, которые могут быть решены обращением соответствующих упругих решений. Когда скорость движения одного тела относительно другого достаточно велика, возникает необходимость в специальном исследовании того, нужно ли считаться с динамическим характером задачи, т. е. принимать во внимание инерционные силы. Подобные вопросы приходится рассматривать, например, при расчете подшипников качения. Контактные задачи, предполагающие наличие скольжения, в точной постановке также являются динамическими, поскольку предполагают движение одного тела относительно другого. Явление проскальзывания двух соприкасающихся поверхностей можно наблюдать во многих задачах механики. В последнее время в связи с широким применением полимеров как конструкционных материалов в связи с проблемой переработки их в изделия также возник особенный теоретический и практический интерес к вопросам вязкоупругого поведения сплошных сред с учетом динамических эффектов. Поэтому, в частности, представляет интерес рассмотрение задачи о штампе, перемещающемся с постоянной скоростью по границе вязкоупругой полуплоскости. Подобная задача для упругой области была решена Л. А. Галиным [И]. [c.404]

Указанное построение стержневых схем для пластин и оболочек непосредственно из математической постановки задачи на основе метода расчленения позволило выяснить ряд обстоятельств. Выяснилось, что в общем случае заменить оболочку Кирхгофа — Лява обычной перекрестной стержневой системой нельзя. Была получена некоторая гипотетическая непрерывная и перекрестная стержневая система, эквивалентная оболочке, и отвечающая ей дискретная стержневая система, аппроксимирующая оболочку. На основании гипотетической стержневой системы стало возможным по-новому осмыслить задачи теории оболочек и в ряде конкретных случаев упростить их постановку. Удалось связать алгоритмы решения интегральных уравнений метода расчленения и расчета перекрестных стержневых систем методом сил. В частности, выяснилось, что в работах, где не рассматривалась математическая тюстановка задачи и оболочка ошибочно заменялась перекрестной стержневой системой, сталкиваются с теми же вычислительными трудностями, что и при решении интегральных уравнений первого рода. Обычная перекрестная стержневая схема создавала лишь иллюзию возможной простоты расчета. В то же время эффективные приемы расчета стержневых систем и решения интегральных уравнений метода расчленения переносятся из одной области в другую. [c.228]

В данном разделе будет рассмотрена постановка и решение задачи о течениях внутри и вне пузырька, помеш енного в однородное внешнее электрическое поле с напряженностью Е. Известно, что взаимодействие электрического поля с зарядами, индуцированными на поверхности пузырька газа, приводит к по-яилению дополнительных тангенциальных напряжений, которые создают циркуляционные течения фаз в области, прилегаюш ей к межфазной границе (рис. 28). Изменение характера взаимодействия между сплошной и дисперсной фазами, вызванное воздействием электрического ноля, влияет как на гидродинамические характеристики газожидкостной системы, так и на скорость тепломассообменных процессов, осуш,ествляемых в данной системе. [c.77]

Сложность расчетного определения напряженно-деформированных состояний элементов ВВЭР, как отмечалось выше (см. 1, гл. 2 и гл. 3), состоит в том, что в них реализуются пространственная схема передачи усилий, трехмерные поля напряжений, затрудняющие формулировку граничных условий. Ниже излагается расчетное определение напряжений и перемещений в зонах корпусных конструкций по исходным данным, получаемым на границе зтих зон с помощью экспериментальных методов, но в силу ряда обстоятельств недостаточных для постановки и решения обычных краевых задач. Возникаюшце при этом задачи представляют собой так называемые обратные задачи, в которых неизвестные величины определяются (восстанавливаются) по их проявлению, отклику в доступной для прямых измерений области. Эти задачи, как правило, являются некорректно поставленными и требуют при своем решении применения специальных методов. В связи с этим методы решения таких задач во многих случаях могут существенным образом зависеть от точности получаемой экспериментальной информации и методов ее обработки. [c.59]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

Обстоятельный обзор контактных задач с неизвестной областью взаимодействия (механическая сторона вопроса) дан в монографии [50], где обсуждаются, в частности, формальные противоречия, возникающие при использовании для постановки и решения названных задач классических теорий стержней, пластин и оболочек. Противоречия в основном связаны с появлением на границе зоны контакта (например, пластины и плавно очерченного штампа) сосредоточенных сил взаимодействия, что не согласуется с теорией Герца, по которой эти силы на границе зоны контакта должны быть равны нулю. Использование теории пластин и оболочек типа С. П. Тимошенко [183], учитывающей эффект поперечного сдвига без поперечного обжатия, позволяет частично снять противоречия, возникающие при использовании теории Кирхгофа. Если же учесть деформацию поперечного обжатия, то удается устранить все противоречия, даже оставаясь в рамках теории Кирхгофа (т. е. не учитывая деформации сдвига). И еще одно замечание. Названная несогласованность в распределении сил взаимодействия обычно мало сказывается на величине напряжений (а тем более смещений) в контактирующих элементах конструкций [501. Сказанное дает авторам основание при рассмотрении контактной задачи для оболочки, подкрепленной ребрами одностороннего действия, ограничиться рамками излагаемой в этой книге кирхгофовской теории оболочек. [c.521]

Если взаимодействие на основной части тела не является слабым, то градиент давления, который индуцируется при обтекании внешним потоком эффективного тела, образованного толш,иной вытеснения пограничного слоя, влияет на течение в пограничном слое уже в первом приближении. Таким образом, распределение давления на внешней границе пограничного слоя нельзя считать заданным и его необходимо определять при совместном интегрировании уравнений для невязкого гиперзвукового потока и пограничного слоя. При этом математическая постановка краевой задачи на всей длине тела аналогична ее постановке в локальных областях течений со свободным взаимодействием для режима умеренных сверхзвуковых скоростей [18]. Поэтому можно было ожидать появление эффектов передачи возмуш ений вверх по потоку на всей длине тела, т. е. зависимости решения от краевых условий, заданных вниз по потоку. [c.258]

Наконец, в качестве элементарного объекта процесса принятия решения в данной книге выступает задача обсуждаются этапы ее постановки и решения, особенности различных постановок и соответствующие им процедуры решения. Понятие задачи представляется нам достаточно общим, чтобы охватить любые области принятия решений. Читатель, интересующейся, например, спецификой решения математических задач, может обратиться к книге Пойа (1962). Различные подходы к решению задач в условиях неопределенности рассмотрены в книге Райфа (1968). В книгах Холла (1962) и Оптнера (1965) объектом рассмотрения является проектирование систем, обеспечивающих решение задач — они ориентированы главным образом на технические и экономические приложения. Если же освещать социально-экономические аспекты принятия решений более широко в рамках общей теории, то такие системы правомерно трактовать как возможный оператор преобразования условий задачи. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...