Ограниченная задача о трех телах

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА О ТРЕХ ТЕЛАХ 443 [c.443]

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА О ТРЕХ ТЕЛ Х [c.445]

Заметим, что фактически этот метод ни разу не применялся, и ограниченная задача о трех телах исследуется обычно другими методами. [c.445]

При расчете статически неопределимой стержневой системы, изображенной на рис. 3.19, условие прочности поставлено по допускаемым напряжениям, т. е. ограничение накладывалось на напряжение в наиболее напряженной точке тела. В упомянутой задаче наиболее напряженным оказался средний стержень и условие прочности по допускаемым напряжениям при действии силы F имеет вид (3.42). Если материал стержня хрупкий и разрушается без заметных пластических деформаций, то условие (3.42) определяет действительную границу безопасных нагрузок. Однако если материал стержня пластичен, то статически неопределимая система может обладать дополнительным запасом прочности, так как, например, в рассмотренной задаче о трех стержнях при достижении [c.69]

Пользуясь общими формулами 3, можно задачу решить и в самом общем случае, если бы для того представилась надобность. Заметим, что указанная метода может быть распространена и на случай задачи в трех измерениях, так как задача о деформации тела, ограниченного двумя концентрическими сферами, решена в самом общем виде. Считая, что по поверхности внутренней сферы никаких усилий нет, а по наружной поверхности усилия такие же, как и в том случае, когда нет внутри малой сферической пустоты, можно задачу решить в самом общем виде. [c.117]

Рассматриваемая задача о равновесии тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, сводится к определению комплексных потенциалов — трех функций (2 ) трех различных комплексных переменных = а + 1 у в области 5 поперечного сечения. Эти функции должны быть такими, чтобы определяемые ими напряжения и перемещения были однозначными функциями координат X и у и непрерывными вплоть до контура. На контуре области Ф должны удовлетворять условиям (21.8) или (21.10) (первая и вторая основные задачи). Иначе говоря, на контуре задаются три комбинации Ф и сопряженных функций. [c.117]

Таким образом, в общем случае анизотропии задача об обобщенном изгибе консоли поперечной силой по трудности оказывается такой же, как задачи об обобщенных плоской деформации и кручении. Поэтому три задачи о равновесии тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, столь различные для изотропного тела, для тела с анизотропией общего вида сводятся к одной и той же математической задаче—граничной задаче для трех функций трех раз- [c.316]

Якоби рассматривал задачу трех тел для случая, когда масса одного тела равна или меньше массы другого, а третье тело обладает исчезающе малой массой масса тела, движение которого исследуется, настолько мала, что влиянием его на движение тел с массами пц и / 2 вполне можно пренебречь. Этот подход получил название ограниченной задачи трех тел и состоит в том, что требуется исследовать движение тела с исчезающе малой массой, в соответствии с законом Ньютона, по формулам задачи о двух телах. Такая задача может быть решена в конечном виде в случае, если движение происходит в одной плоскости. [c.111]

Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположениях уравнения (3.64) и (3.67) удовлетворяются решениями х О, а HS 0. Таким образом, мы приходим к задаче о движении тела пренебрежимо малой массы вблизи коллинеарной точки либрации Lz эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эта задача описывается функцией Гамильтона (3.36), в которой надо положить [c.282]

Можно было бы подумать, что, кроме известных интегралов и теоремы вириала, в задаче трех тел не удастся получить никакие другие общие результаты, поскольку и в ограниченной задаче исследованы еще не все решения. В самом деле, даже в ограниченной задаче, если два тела конечной массы двигаются не по окружностям, а по эллипсам, то интеграл Якоби не имеет места. Тем не менее работы последних лет (главным образом численное интегрирование общей задачи трех тел, выполненное для широкого спектра начальных условий и масс) позволили сделать определенные выводы о поведении системы трех тел вообще, но не о поведении какой-то конкретной системы. Точно так же статистик страхового общества сейчас может сделать точный прогноз [c.172]

Приложение к ограниченной задаче трех тел. Предположим, что величины а 4- Р и Z фиксированы, следовательно, фиксировано и значение (О = 7 (а -Ь Р)/Р. Выберем ц, равным р/(а -f Р). Случай fx = О соответствует движению в ноле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. Для этого случая уравнения движения в обозначениях 28.2 имеют вид [c.616]

Перейдем к работам по теории устойчивости, не укладывающимся (частично или целиком) в рамки теории Ляпунова. Большой цикл работ по устойчивости принадлежит Н. Д. Моисееву. Многие из них посвящены задачам небесной механики и, кроме теории Ляпунова, используют методы общей качественной теории дифференциальных уравнений. Среди них выделяются работа Н. Д. Моисеева и серия статей о траекториях в ограничен- 131 ной задаче трех тел. [c.131]

После докторской диссертации Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) и статьи А. М. Ляпунова Об устойчивости движения в одном частном случае задачи трех тел (1889) орбитальной устойчивостью впервые у нас занялся В. В. Степанов, который ввел, в частности, важное понятие сплошной орбитальной устойчивости в смысле Якоби Н. Д. Моисеев в значительной мере опирался на это определение в своих исследованиях но ограниченной задаче трех тел. Ряд работ по теории устойчивости в проблемах небесной механики дал Г. Н. Дубошин. Этими же проблемами занимались Н. Ф. Рейн и др. В монографии Г. Н. Дубошина указанное направление отражено достаточно полно. [c.131]

Непосредственным обобщением этой задачи является ограниченная пространственная круговая задача трех тел , о которой мы говорили в 2. [c.259]

При /3 = 0 уравнения (5), (6) переходят в уравнение ограниченной задачи трех тел с одинаковыми массами двух тяготеющих тел. Соответственно точки стягиваются при /3 —) О к точке 2(0, 0), и точки (г = 1... 5) превращаются в точки либрации ограниченной задачи трех тел (например, = у/З /2 и т. п.). [c.125]

Несмотря на явную недостаточность для целей динамики теорем о несуществовании алгебраических интегралов, результаты подобного рода долгое время оставались весьма популярными. Так, Карл Зигель счел необходимым доказать в 1936 г. теорему Брунса — Пуанкаре для ограниченного варианта задачи трех тел. [c.16]

С их помощью удалось строго показать отсутствие нетривиальных интегралов и групп симметрий в ряде классических задач динамики в ограниченной задаче трех тел, при вращении тяжелого несимметричного тела с неподвижной точкой, при движении твердого тела в идеальной жидкости, в задаче четырех точечных вихрей на плоскости и многих других. В каждой из этих задач результат о неинтегрируемости основывается на анализе особенностей качественного поведения фазовых траекторий. В итоге, на мой взгляд, сложилась самостоятельная часть теории гамильтоновых систем со своими характерными задачами, методами и результатами. Цель книги — дать систематическое изложение современных идей и результатов этой теории. [c.18]

Если принять = о, /X 7 о, то будем иметь ограниченную круговую задачу трех тел, а уравнения (7) представятся в форме [c.389]

Наконец, полная система уравнений (7,9), когда 7 О, /i 7 О, позволяет определить эволюцию движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел. [c.389]

Лагранжиан ограниченной задачи трех тел. Пусть в инерциальной системе отсчета с началом в точке О радиусы-векторы частиц Г1, Г2, Гз. Перейдем к переменным Г12, К, г, где К — радиус-вектор [c.87]

Ограниченная круговая задача трех тел. В 1834 г. немецкому математику К.Г. Якоби удалось получить первый интеграл уравнения движения. Пусть вектор описывает окружность радиусом I, вращаясь с угловой скоростью О. Перейдем в систему отсчета К, вращаюшу-юся с угловой скоростью О. Ось г направим по вектору О, а ось х [c.88]

Ограниченная задача о трех телах. Диференциальные уравнения задачи были выведены в главе VIII. Мы рассмотрим здесь только случай плоского движения. Тогда 2 = 0, и уравнения примут следующий вид [c.443]

Но этот случай, как мы показали, как раз является сомнительным, и для выяснения вопроса об устойчивости нужны с южные и тонкие исследования членов высших порядков. Например, рассмотрим частные решения ограниченной задачи о трех телах. Выло показано (см. главу VIII), что для решений первой группы характеристическое уравнение системы в вариациях при любом значении ji имеет два действительных корня и два чисто мнимых. Так как уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму, то действительные корни имеют разные знаки, а, следовательно, частные решения первой группы неустойчивы, и может иметь место только условная устойчивость. [c.479]

Наряду с общей задачей , в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из та полагаются равными нулю. На физическом языке это означает, что мы пренебрегаем влиянием соответствующих тел на движение остальных. В этой ситуации говорят обычно об ограниченной задаче . Особенно известной является задача о движении тела пулевой массы ( планетоида или астероида ) в поле тяготения, создаваемом двумя телами, обращающимися по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем все три тела все время находятся в одной и той ке плоскости. Собственно говоря, Пуанкаре именно этот случай назвал ограниченной задачей трех тел , но теперь он часто именуется более пространно — ограпичсипой плоской круговой задачей , в отличие от ограниченной эллиптической задачи и прочих. Если приравнять нулю все массы, кроме одной, то мы получим идеальную планетную систему , в которой тела нулевой массы ( планеты ) обращаются около одного тела ( Солнца ) по чисто кеплеровским орбитам, не оказывая друг на друга никакого влияния. В классической небесномеханической теории возмущений этот случай выступает в качестве нулевого при-бли кения. [c.19]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Исследование гомоклинических структур и выяснение их роли в образовании сложных хаотических и стохастических движений детерминированных динамических систем. Кривые, названные А. Пуанкаре гомоклиническими и гетероклиническими [312], были обнаружены им в ограниченной проблеме трех тел — задаче о движениях трех притягивающихся по закону Ньютона материальных точек в предположениях, что это движение плоское и что одна из масс исчезающе мала и не оказывает влияния на движение двух остальных. (Эта проблема и после Пуанкаре неоднократно привлекала внимание многих исследователей.) [c.86]

Полагая в уравнениях (17), (18) z ri О, получим дифференциальные уравнения движения спутника в ограниченной плоской круговой задаче трех тел. Так как при г О третье из уравнений (18) превращается в тождество 0 = 0, то рассматриваемая плоская задача описывается системой диффере1щиальпых уравнений четвертого порядка относительно двух вещественных ( зуикций х (/) и у (/). [c.234]

Появление этих слагаемых связано с неииерциально-стью системы отсчета xyz. Величина — о) X (о) X г) или, что то же, a) xi- -yj) —это центробежное ускорение. Оно имеет компоненты и o . В случае плоской ограниченной задачи трех тел это ускорение направлено [c.235]

Теоремы о необратимости и симметрии в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Если в какой-то области пространства движение спутника двух притягивающих центров Ai, т ) и (Лз, апз) nii <С щ) возможно, то, разумеется, он может двигаться не по любой кривой из этой области и не в любом направлении. На следующие любопытные элементарные факты обратил внимание американский ученый А. Миеле (Miele). [c.259]

Весьма интересный анализ был произведен советским механиком В. А. Егоровым [6.1], [7.1]. Рассматривая случай, когда область О есть сфера притяжения или сфера действия меньшей звезды относительно большей звезды, он пришел к следующему выводу если в круговой ограниченной задаче трех тел отношение притягивающих масс т /т достаточно мало, то непритягивающая точка, пришедшая из бесконечности в сферу притяжения меньшей звезды, обязательно выйдет из этой сферы. Вывод остается в силе, если вместо сферы притяжения брать сферу действия меньшей звезды. [c.260]

Периодические орбиты. Дифференциальные уравнения ограниченной плоской круговой задачи трех тел могут быть решены для любого данного конечного промежутка времени с любой требуемой точностью, если воспользоваться методами численного интегрирования. Однако получаемые таким образом результаты не позволяют судить о движении непритягивающего спутника вне этого промежутка времени. Исключение составляет тот случай, когда движение периодическое. [c.263]

Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты X t), у f) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа А, > О, что х t К) = х t) г/ (/ Н- Я) = i/ t) при любом t. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел. Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем-грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров Ai и А2 равны (т = /Пз). Аналогичное исследование при = 1 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы XIX столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857 — 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1856—1912), [c.263]

Отметим, что наличие во второй среде только одной (преломленной) волны, уходящей от границы, не следует непосредственно из уравнений Максвелла, а основано на дополнительном пред- Направления па-положении, известном как усмвие излучения. ойГп лЗе Можно обеспечить выполнение граничных уело-ВИЙ, предполагая во второй среде наличие двух волн, одна из которых распространяется от границы, другая — к границе. Так пришлось бы поступать при исследовании волнового процесса не в полубесконечной среде, а в слое, ограниченном с двух сторон (в плоскопараллельной пластинке). Разные предположения приводят к разным результатам. Условие излучения,. связанное с принципом причинности, дает критерий отбора имеющих физический смысл решений возбуждаемое тело может порождать лишь уходящие от него волны (отраженные, рассеянные и т. п.). В задаче о преломлении на границе полубесконечной среды физический смысл имеет решение, основанное на предположении о наличии только трех волн падающей, отраженной и преломленной. [c.143]

При 71 = 2 и о О (ограниченная задача трех тел) подобное утверждение не доказано. Более того, известна гипотеза Шази об интегрируемости задачи трех тел при положительных значениях полной энергии [5]. Эта гипотеза связана с более общей концепцией в задаче рассеяния частиц с некомпактным пространством положений данные на бесконечности (скажем, импульсы частиц) являются кандидатами на роль первых интегралов. Однако реализация этой идеи сталкивается с рядом затруднений принципиального характера, связанных с областью определения и гладкостью интегралов рассеяния . Одна из таких трудностей — возможность захвата в задаче многих взаимодействующих частиц. [c.147]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Суш ественно дополнены новыми задачами главы 1, 4, б, 7. В главу 1 введен новый раздел Космодинамика . Здесь собраны задачи, в которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории космического аппарата в пространстве и относительного движения в окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о гравитационном ударе при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел, упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен вклад Луны в ускорение свободного падения. В главу б вошли задачи о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня, гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздел Электромеханика содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея, электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во враш аюш емся магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неоднородном поле. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...