Три связанные волны. Точное решение

Три связанные волны. Точное решение [c.308]

На основе развития общих методов анализа точных решений А.Ф. Сидорову удалось продвинуться и в аналитическом описании ряда конкретных неодномерных течений истечений в вакуум из многогранных углов, не стационарного движения угловых поршней в газе, течений через искривленные ударные фронты. Следует отметить, что важный цикл работ А.Ф. Сидорова по точным решениям системы уравнений газовой динамики послужил отправной точкой для его новых исследований по ряду интересных направлений. Так, анализ условий примыкания к области покоя связан с разработкой общего метода построения решений в виде специальных (в том числе характеристических) рядов, а точные решения уравнений кратных волн существенно использовались А.Ф. Сидоровым в дальнейшем при исследовании проблем, связанных с безударными сжатием вещества. [c.9]

Интеграл (55.2) есть суперпозиция таких плоских волн различных направлений, а следовательно, является точным решением того же уравнения. Такое решение позволяет точно исследовать все явления, связанные с прохождением сферической волны через фокус. [c.355]

Общее решение системы дифференциальных уравнений (4.24) — (4.26) может быть получено только при переходе к действительным переменным. В приложении I дано такое общее решение системы уравнений двух ( 5) и трех ( 6) связанных волн. Здесь мы рассмотрим только частное решение для случая точного согласования фазовых скоростей основной волны и волны гармоники. [c.144]

ВИЛЬНО отражает начальный этап процесса генерации гармоники и позволяет корректно сформулировать граничные условия, используемые в [6] при решении системы приближенных уравнений первого порядка для амплитуд связанных волн. Отметим, что на начальном этане амплитуды волн с частотами И] и И2 постоянны (точнее, уменьшаются пропорционально [c.350]

Рассмотрим один частный случай задачи Коши с разрывом в начальных данных, в котором можно найти точное решение. Этот случай важен также потому, что он связан с основным прибором для воспроизведения ударных волн в экспериментальных условиях. Ударная труба — это длинная труба, перегороженная у одного из концов тонкой диафрагмой. В секцию, расположенную за диафрагмой, накачивается газ под высоким давлением. В начальном состоянии имеются две однородные области с [c.183]

Первый шаг есть не что иное, как предиктор по схеме чехарда , а второй — схема (3.285). Данная схема обладает некоторыми интересными характеристиками (см. задачу 3.16). Подобно схеме чехарда , она имеет ошибку второго порядка E=0 Af,Ax ) исследование устойчивости методом фон Неймана показывает, что = 1 при 1, и схема имеет нулевую схемную вязкость как в нестационарном, так и в стационарном случаях. Она также обладает недостатками, присущими схеме чехарда , т. е. требует дополнительных условий на выходной границе потока и дополнительных начальных условий и фурье-компонента с длиной волны Л = 2Ах стационарна. В отличие от схемы чехарда она обладает еще и тем недостатком, что не дает точного решения модельного уравнения при С= 1 однако значительным преимуществом рассматриваемой схемы является отсутствие неустойчивости, связанной с расчленением решения по временным шагам. [c.139]

Если воздух достаточно плотный, то при рассмотрении поля течения на фиг. 13.1 фронт ударной волны в первом приближении можно считать пренебрежимо тонким по сравнению с ударным слоем. Эта аппроксимация пригодна для гиперзвуковых скоростей и высот ниже примерно 60 км. Если рассматриваемый летательный аппарат осесимметричен, то поле течения также будет обладать осевой симметрией. Для цилиндра с полусферической головкой течение в ударном слое в области торможения будет дозвуковым оно переходит в сверхзвуковое приблизительно после угла 40° от оси (на звуковой линии), а гиперзвуковым становится уже на поверхности цилиндра. Аналитическое решение для такого поля течения получить трудно из-за сложности соответствуюш ей двумерной газодинамической задачи однако найдены многочисленные приближенные численные решения. Точное численное решение получить сложно, во-первых, из-за трудности, связанной с нахождением точного уравнения состояния, и, во-вторых, вследствие неустойчивости численных схем в окрестности звуковой линии. Достаточно точное численное решение трудно получить даже в случае газа с постоянной величиной у, как, например, гелия (для чисел Маха, меньших примерно 25). [c.467]

Хотя в разд. 3.3 решения уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн строятся так, чтобы они удовлетворяли не только верхнему, но и нижнему граничному условию, а в разд. 3.5 изучается соответствующий вязкий пограничный слой, мы опишем сначала более простое явление — волны на поверхности столь глубокой воды, что точное граничное условие выполняется снизу автоматически, поскольку связанное с поверхностными волнами возмущение не может проникнуть так глубоко вниз. Поверхностные волны такого рода называют волнами на глубокой воде для любого водоема с глубиной, превосходящей длину волны (как указано в разд. 3.1), нижнее граничное условие удовлетворяется. [c.260]

При решении той жё задачи на основе суммирования решения по безмоментной теории и краевого эффекта удерживались лишь затухающие члены, в связи с чем граничные условия (333) не выполнялись точно, но в области заметного влияния учтенного краевого эффекта, т. е. у днища, это невыполнение не было ощутимым из-за значительного превышения длины цилиндрической оболочки I над й — длиной волны затухающих функций к тому же краевой эффект свободной незагруженной кромки в нашем случае вообще мал. Разумеется, на безмоментное решение можно было наложить и Краевой эффект, связанный со свободной кромкой, это приведет к еще большему уточнению решения. При учете влияния на напряженное состояние оболочки обоих краевых эффектов результат будет отличаться от получаемого по моментной теории лишь тем, что в последнем случае учитывается взаимное влияние условий на противоположных торцах цилиндрической оболочки, при учете же краевых эффектов это взаимное влияние опускается. [c.238]

Волны, удовлетворяющие условиям (2.42), будем называть механическими экситонами . Этот термин будет применяться ко всем тем решениям (точным или приближенным) для рассматриваемой среды или той же среды при температуре Т = О, которые получаются при отсутствии или пренебрежении действием макроскопических (длинноволновых) полей (со, к) и В(ш, к). Более подробно на механических экситонах мы остановимся в гл. IV. Физический смысл этого понятия состоит именно в том, что рассматриваются волны (решения), не связанные с макроскопическими полями Е ш, к) и В (со, к). По последней причине механические экситоны могут играть роль состояний невозмущенной задачи при вычисле- [c.68]

Трудности же решения этого вопроса заключаются в выборе правильного критерия, характеризующего звуковое поле, и точной оценке его абсолютного значения в широком диапазоне частот. По-видимому, наиболее чистым критерием была бы плотность звуковой энергии, так как она существует и в бегущей, и в стоячей волне. Но нри расчете этой величины нужно учитывать возможные изменения скорости звука (так как Е Ис , связанные с наличием сжимаемых пузырьков. [c.305]

Во второй главе построены точные уравнения для одночастичной функции Грина и усреднённого поля деформаций. Одночастичный массовый оператор и связанный с ним эффективный тензор модулей упругости определяется амплитудой рассеяния вперёд продольных и поперечных волн на случайных неоднородностях. Хотя диаграммная техника наилучшим способом приспособлена для расчета эффективных транспортных и упругих параметров среды с учётом многократного рассеяния волн на сильных флуктуациях, эта задача нас здесь интересовать не будет. Мы хотели привлечь внимание математиков, физиков-теоретиков - специалистов по квантовой механике и студентов к проблемам геофизики. Поэтому в этой и следующих главах мы подробно излагаем диаграммную технику в применении к геофизическим задачам. Кроме того, мы посвятили один параграф квантовому подходу к теории упругого поля. Этот подход позволяет понять, как возникает необратимость при описании поля в случайно неоднородной среде обратимыми во времени уравнениями и отменить все дополнительные правила отбора решений и обхода полюсов. Эта проблема обсуждается известными физиками Б.Б. Кадомцевым [6], [c.40]

В нелинейной постановке при установившемся обтекании сверхзвуковым потоком плоских контуров и тел врагцения с образованием ударных волн точные решения получены лишь для случаев обтекания клина и кругового конуса [5]. Основным средством расчета таких течений в обгцем случае при умеренной и большой интенсивности ударных волн является численный метод характеристик и различные его у пройденные модификации, связанные часто с трудно контролируемыми допундениями. [c.38]

Динамический анализ оболочек с общим характером анизотропии (т. е. оболочек из ортотропного ориентированного произвольным образом материала) был впервые проведен Кунуккассе-рилом [160], который показал, что обычные формы колебаний, узловые линии которых образуют прямоугольную сетку, не могут быть решениями уравнений движения. Причиной этого является наличие в соотношениях упругости смешанных коэффициентов с индексами 16 и 26. Представив решение в форме спиральной волны, Кунуккассерил изучил распространение волн, связанных с тремя основными формами колебаний — радиальной, осевой и крутильной. Для оболочек конечной длины было рассмотрено только два 5ида колебаний — осесимметричные (получено точное решение) и чисто изгибные (приближенное решение методом Релея). [c.240]

Расчетным режимом сопла Лаваля со скачком конденсации за минимальным сечением следует считать такой режим, при котором в выходном сечении отсутствуют волны разрежения или адиабати-ческие скачки уплотнения. Очевидно, что расчетный режим может быть реализован достаточно точно только для узкого диапазона значений относительно перегрева Яд или соответственно начальной влажности уо. При этом необходимо профилировать расширяющуюся часть сопла с учетом влияния скачка конденсации и волн разрежения за скачком, принимать во внимание изменения в результате скачков физических свойств пара, а также тепло- и массо-обмен, связанный с конденсацией пара. Точное решение этой сложной задачи сопряжено с большими трудностями. Приближенное решение может быть получено следующим путем. [c.221]

В самом начале своей научной деятельности (в 1950 г.) Г. Г. Черный решил задачу об обтекании тел, близких к клину, слабо воз-мугценным сверхзвуковым потоком. Построенное решение оказалось востребованным в многочисленных приложениях, связанных с расчетом элементов сверхзвуковых воздушно-реактивных двигателей, с анализом генерации шума при прохождении неоднородностей потока через ударные волны и с другими проблемами. На его же основе Г. Г. Черный нашел первое точное решение вариационной задачи газовой динамики о построении головной части тела минимального сопротивления. В случаях, когда коэффициент отражения возмугцений давления от головной ударной волны равен нулю, оптимальной голов- [c.11]

Наиболее развитый в настоящее время систематический подход к классификации и получению широких классов точных решений связан с применением групповых методов анализа дифференциальных уравнений [9]. Знание допустимых групп преобразова ний независимых переменных и искомых функций, оставляющих инвариантными ин тегральные многообразия исходной системы (переводящих интегральную поверхность в интегральную же поверхность), позволяет построить широкие классы точных инва зиантных решений (частным случаем их являются автомодельные решения), построить некоторые классы частично инвариантных решений (такими являются, например, бегущие волны), дать классификацию различных типов решений. [c.17]

После того как аналогия солитоны-частицы установлена (т. е. получено уравнение (19.19)), для описания взаимодействия солитонов достаточно знать лишь вид силовой функции /(и), т. е. характер хвостов солитонов. Если функция /(и) монотонна, то солитоны отталкиваются либо притягиваются. Большинство найденных точных решений иллюстрирует отталкивание солитонов. Если же солитоны имеют осциллирующие хвосты , как, например, солитоны капиллярногравитационных волн на мелкой воде или в нелинейной искусственной линии передачи с индуктивной связью между звеньями, то функция f u) знакопеременна и солитоны то отталкиваются, то притягиваются, образуя осциллирующую пару (связанное состояние рис. 19.10). [c.404]

Одно из точных решений для бегущих волн в свободных от поверхностных напряжений стержнях прямоугольного поперечного сечения принадлежит G. Lame [1.233] (1852) . Он получил семейство эквиволюминальных волн, связанных с отдельными дискретными частотами. [c.32]

В работах В. С. Оаг з а [3.89—3 91] (1958) для полого дилиндра, в котором распространяется гармоническая волна, построено точное решение и исследованы предельные случаи. В случае осесимметричного движения и бесконечной длины волны по осевой координате существуют три несвязанные формы колебаний расширение и сдвиг при плоской деформации и продольный сдвиг. Последняя фо рма существует также и в неосесимметричном случае. В осесимметричном случае возможны также связанные продольно-изгибные коле- [c.202]

В этой главе мы ограничимся в основном рассмотрением распространения упругих волн в изотропной упругой пластинке п изотропном упругом цилиндре. Для этих двух случаев точные решения уравнений движения можно получить пз классической теории упругости, которая имеет дело с бесконечно малыми деформациями. Эти решения удовлетворяют уравнениям упругого движения и граничным условиям на свободных поверхностях, параллельных направлению распространения волны. Такими поверхностями для пластинки являются две параллельные плоскости, а для цилиндра — криволинейная внешняя поверхность. Кроме того, решения представляют собой распространяюш,иеся нормальные волны ), которые существуют в этпх двух типах упругих волноводов. Основное внимание в этой главе уделено распространению нормальных волн в неограниченных пластинках и цилиндрах. Одиако кратко рассматриваются танзке специальные задачи, связанные с удовлетворением граничш,1х условий на торцевых поверхностях пластинок и.т]и цилиндров конечной длины для различных нормальных волн. [c.140]

Задачи, связанные с изучением движения жидкости, возникающего после кавитационного разрыва, вызванного процессами, сопровождающими отражение волн гидроудара, исследовались рядом авторов. В частности свободные разрывные кавитационные колебания, сходные с только что описанными, рассмотрены в работе [6]. Там же приведены с ссылкой на работу Ланжевена осциллограммы свободных кавитационных колебаний. Вынужденные колебания жидкости, сопровождающиеся возникновением кавитации в области сравнительно высоких частот, рассматривались в работе [15]. Из этой и других подобных работ, в частности, следует, что если вынужденные колебания жидкости сопровождаются периодическим возникновением кавитационных разрывов, то применение обычного подхода становится неэффективным. Последнее связано с тем, что точное решение подобных задач не приводит к строго периодическим решениям и уже через несколько периодов поправки, обуаювленные отклонением от строгой периодичности, приобретают столь сложный характер, что практически исключают возможность анализа общего характера. (Указанная особенность, в частности, хорошо иллюстрируется результатами расчетов, приведенными в работе [15]). Запутанный, с плохо прослеживаемой периодичностью характер решений, возникающих при больших значениях частот вынуждающей силы, отражает, по всей вероятности, реальную физическую ситуацию, сводящукх я к тому, что для описания возникающего в этом случае движения более подходит статистический подход. При сравнительно низких значениях частоты, как это будет показано ниже, картина явления меняется нерегулярные поправки к решениям становятся несущественными или вообще отсутствуют. Для того чтобы лри изучении колебаний в этой области частот выделить строго нериодическую сосгавляющую процесса, отбросив несущественные поправки, необходимо прибегнуть к некоторой физической идеализации явления, соответствующей в определенном смысле рассмотрению асимптотического поведения [c.150]

Так, один из наиболее эффективных подходов к конструированию численных алгорит мов использует идеи адаптации применяемых методов к особенностям решаемых задач. Этот подход часто связан с явным выделением различного вида особенностей, иногда явным выделением основных типов разрывов решений, отдельных областей, характери зуемых теми или иными свойствами решений. Например, для уравнений газовой динами ки, которые описывают процессы распространения различного рода разрывов (ударных волн, контактных разрывов, волн разрежения), такие адаптационные методы описаны в работе [26]. Ясно, что аналитическое знание основных качественных и некоторых ко личественных закономерностей может существенно повлиять на точность применяемых методов. Иногда адаптацию под особенности решения осуществляют без явного выделения разрывов и зон особого поведения, используя так называемые адаптирующиеся сетки [30]. При этом исходная система стационарных или эволюционных уравнений пополняется дополнительными уравнениями, описывающими поведение сетки, на которой должны достаточно точно аппроксимироваться решения исходной дифференциальной за дачи. Задача о выборе таких уравнений для сетки, о выборе экономичных и устойчивых алгоритмов совместного расчета решений и сетки является непростой и также требует предварительного аналитического анализа. [c.23]

ОКУ) и другие элементы, назначение которых очевидно из их наименований. Штрихованные соединения между блоками соответствуют световым связям блоки, обведенные штриховыми линиями, включаются в зависимости от используемых методов модуляции (внутренней или внешней) и приема (прямое детектирование или супергетеродикное). Особенностями системы являются прежде всего диапазон рабочих длин волн и когерентность излучения. Эти особенности приводят к необходимости создания устройств точного нацеливания антенн передатчика и приемника, так как диаграммы направленности их могут определяться значениями нескольких дуговых секунд (при малых весах и габаритах антенных систем). Случай широкой диаграммы направленности антенны передатчика имеет место, когда сигнал ОКГ является сложным и состоит из большого числа типов колебаний (мод). Однако, даже если лазер передатчика работает на одном типе колебаний, часто необходимо иметь широкий луч, хотя бы для успешного решения задачи нацеливания (перехвата) и слежения за связным ретранслятором 1). В то же время узкие диаграммы направленности позволяют реализовать существенно большие дальности связи, однако и здесь возникают свои проблемы, связанные с обзором больших объемов пространства узкими лучами за короткие интервалы времени, и проблемы стабилизации направления луча. Создание прецизионных быстродействующих устройств нацеливания узких лучей, обеспечение одномодового режима работы ОКГ, разработка точных устройств сопровождения позволят полностью реализовать экстремальные характеристики направленности лазерных систем. В этом случае сечение луча может приблизительно совпадать с поверхностью апертуры приемной системы, поверхностью ретранслятора или цели кроме того, случай полного перекрытия целью сечения луча имеет место при посадке объекта на земную или лунную поверхность. [c.17]

Центральное место занимают третья и четвертая главы, посвященные изложению математиче ских методов анализа волновых процессов в ограниченных системах с движущимися границами. В третьей главе основное внимание уделено способам получения точных аналитических решений эталонных задач в удобной для исследования форме. Такие решения позволяют наиболее полно выявить основные закономерности и эффекты волновых процессов, обусловленные движением границ. Необходимость разработки новых подходов вызвана тем, что многочисленные приближенные методы анализа, опирающиеся на известные представления теории колебаний сосредоточенных систем [9,10], удовлетворительно работают лишь при медленных движениях границы и, как правило, не адекватны волновым процессам при сравнимых скоростях движения границы и волны. Наибольшее распространение получил подход, основанный на разложении искомого решения по набору так называемых мгновенных мод [9,10]. Сами мгновенные моды находятся в квазистатическом приближении, когда в каждый момент времени волновое поле имеет такую же структуру, как и в системе с неподвижными границами, имеющей текущие размеры. При этом явно или неявно предполагается, что время перестройки волновых полей много меньше времени характерного изменения размеров системы. При таком описании исследуемой системе навязывается некоторая, заданная априори, структура поля. И поэтому с его помощью в принципе нельзя выявить такие волновые эффекты, как двойной эффект Доплера, излучение Вавилова-Черенкова, и связанную с ними параметрическую неустойчивость второго рода. В этой же главе показано, что системы с движущимися границами обладают динамическими собственными [c.15]

Рассмотрим вначале стационарные схемы конечных элементов. На ранних стадиях применения метода конечных элементов к задачам распространения трещин [ 78 движетие трещины моделировалось дискретными скачками, т. е. положение вершины трещины изменялось от уэла к уэлу вдоль оси трещины и скорость распространения трещины п 1 этом, очевидно, была связанной с шагом интегрирования системы уравнений движения. Последнее обстоятельство приводит к существенным усложнениям, так как для получения точных результатов в задачах о распространении волн необходимо использовать сравнительно маленький шаг (не превышающий времени проховдения волны расширения через наименьший конечный элемент). Скорость же распространения трещины имеет обычно значительно меньшую величину, чем скорость распространения волны расширения, поэтому в течение шага по времени вершина трещины не может переместиться на расстояние между двумя узлами. Кроме того, npi использовании стационарных схем разбивки на элементы вследствие скачкообразного изменения положения вершины трещины возникают нежелательные высокочастотные осцилляции решения. Для преодоления этих трудностей были предложены методики последовательного освобовдения узлов. [c.75]

Поскольку уравнения гидродинамики в случае диссипативной среды не могут быть решены точно, в настоящее время существует ряд приближенных решений, область применения которых ограничивается определенными значениями акустических чисел Рейнольдса. Практически для достаточно интенсивных звуков в та1сих средах, как воздух, малопоглощающие жидкости (особенно в области низких частот звукового и ультразвукового диапазонов), акустические числа Рейнольдса достаточно велики и нелинейные эффекты, связанные с искажением формы профиля волны, проявляются весьма сильно. Как и в случае недисспиативной среды, в поглощающей среде может быть введен малый параметр, позволяющий линеаризовать нелинейные гидродинамические уравнения. [c.99]

К сожалению, главные достоинства метода Моретти часто указываются неверно. Моретти пе применял консервативных уравнений, н часто утверждают, что расчет течений с выделением ударной волны с помощью преобразования Моретти предпочтительнее расчета с помощью консервативных уравнений. На самом деле метод Моретти должен противопоставляться не схемам с консервативными уравнениями, а подходу с размазыванием ударных волн (разд. 5.3). Успех применения метода Моретти зависит главным образом от выбранного преобразования, связанного с выделяемой ударной волной, и от точного учета условий на поверхности тела, а не от отсутствия свойства консервативности использованных уравнений и даже не от варианта конечно-разностной схемы, принятой для расчета во внутренних точках. Так, например, Барнуэлл [1971] рассчитывал трехмерную задачу обтекания с отошедшей ударной волной, применяя II преобразование Моретти, и разновидность схемы Браиловской (разд. 5.6.3), основанную на консервативных уравнениях. Ксерикос [1968] в такой же трехмерной задаче применял преобразование Моретти в сочетании со схемой Лакса (разд. 5.5.4) для внутренних точек Ли [1971] рассчитывал осесимметричное обтекание затупленных тел с химическими реакциями по схеме Мак-Кормака (разд. 5.5.6). Томас с соавторами [1971] также использовал в трехмерной задаче преобразование для ударного слоя, применяя при этом схему Мак-Кормака для продвижения решения по одной из пространственных координат. [c.436]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...