Интегральное представление 4-потенциала

Исследование такого типа можно осуществить, записав интегральное представление потенциала р в виде [c.200]

Решение уравнений задачи теории стационарной теплопроводности строится аналогично. Исследование нестационарных процессов осуш ествляется с помош ью интегральных принципов. Термодинамика нестационарного процесса теплопроводности устанавливается на основе представления Фурье [6], путем введения соответствуюш,его этому представлению потенциала рассеивания Ф. Из уравнения баланса энтропии следует [c.165]

Нерегулярные решения радиального уравнения Шредингера (к, г) можно определить точно так же, как и в несингулярном случае, ибо для интегрального уравнения (12.138) не существенно поведение f" при малых г. Фактически мы должны решить уравнение (12.138) только в области Гд. После того, как решения ф, (А, г) и (к, г) найдены, функции Иоста (к) и f (к) определяются, как и раньше, с помощью вронскиана (12.28) от ф, и /г . Вронскиан можно взять в точке Го- Конечно, интегральные представления (12.143) и (12.144) теперь не имеют места, так как интегральные уравнения для Фг и fi существенно отличаются друг от друга S-матрица выражается через функции Поста так же, как прежде. Из изложенного ясно, что все предыдущие утверждения, касающиеся аналитичности функции Иоста и S-матрицы в любой конечной области А-плоскости (или -поверхности), справедливы и в сингулярном случае. Изменяется только поведение функции Иоста при больших к, и становится невозможно разложить ее в ряд по степеням константы взаимодействия. Изменение поведения функции Иоста при больших к имеет место вследствие того, что теперь ф, (к, г) не стремится к своему невозмущенному значению при к оо. Уравнение (12.214) показывает, что поведение ф (к, г) при высоких энергиях зависит от вида потенциала и его трудно изучать. Фазовый сдвиг с ростом энергии не стремится к величине, кратной л ). [c.367]

Приведем интегральное представление для потенциала ф, удовлетворяющего уравнению (31.2). Расходящуюся цилиндрическую волну можно рассматривать как результат действия сферических источников, равномерно распределенных по оси 2. Каждый из элементарных источников излучает сферическую волну (29.5) [c.172]

Зная асимптотические свойства коэффициентов рядов и плотностей интегральных представлений в выражении (2 55), можно получить удобные для вычислений формулы в любой точке существования поля Наихудшая сходимость соответствующих рядов и интегралов наблюдается на поверхности раздела частичных областей В связи с этим приведем соответствующие выражения для потенциала скорости и радиальной составляющей колебательной скорости на этой поверхности, полученные путем выделения и представления в замкнутом виде соответствующих медленно сходящихся частей рядов и интег- [c.72]

Интегральное представление звуковых полей. Как уже указывалось в 1, при расчете звуковых полей, излучаемых колеблющимися поверхностями, возникает необходимость вычисления потенциала поля Ф в некоторой области пространства по значению потенциала и его нормальной производной (т. е. по значению звукового давления и колебательной скорости) на заданной поверхности. [c.14]

Решение. Расчету потенциала й в общем случае мещает конструкция с логарифмом (в невырожденном случае, рассмотренном в предыдущей задаче, она пропадает, и этой трудности нет). Покажем, что вытащить экспоненту ехр —( р—и)/6 из-под знака логарифма можно с помощью его интегрального представления [c.546]

В дальнейшем при рассмотрении задач теории потенциала для областей, ограниченных несколькими поверхностями, будут изложены приемы, связанные с определенной модификацией представлений гармонической функции, что приводит к интегральным уравнениям, всегда разрешимым, в частности, в случае задачи В . [c.102]

ИЗ принципа максимума следует, что малые изменения краевых условий приведут к малым изменениям решения. Если искомую функцию выбрать в виде потенциала двойного слоя, то для плотности получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое является корректным уравнением (решение непрерывно зависит от правой части). Если же воспользоваться представлением в виде потенциала простого слоя, то получается уравнение первого рода, которое является некорректным. [c.191]

Для решения основной задачи II следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя (1.2). Тогда из формул (1.23) получаем интегральные уравнения второго рода (запишем их сразу в универсальной форме) [c.557]

Установленное несоответствие между разрешимостью интегрального уравнения и разрешимостью краевой задачи следует трактовать как дефект использованного представления для смещений в виде потенциала двойного слоя. Этот потенциал убывает на бесконечности как 1/Л в то время как по постановке задачи смещения должны иметь порядок 1// . [c.564]

В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ и его применение для численного решения двумерных задач теории упругости в случае малых деформаций. Большая часть представленных в данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3. Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории упругости близко связан с аналогичным выводом теории потенциала [I, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения в теории упругости выражаются системой векторных уравнений в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являющихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории упругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала. Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться системой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где приводятся необходимые пояснения. [c.100]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

В то время как исследования, в которых используются интегральные уравнения для потенциала, были в большинстве своем направлены на выяснение теоретических вопросов, в прикладной математике пытались найти общие методы решения инженерных задач, исходя из решения дифференциальных уравнений. На этом пути был ряд крупных достижений, к которым относятся различные усовершенствования в методах бесконечных рядов и конечных разностей, приближенные методы вариационного исчисления и, наконец, метод конечных элементов, что привело к созданию мощных и общих численных методов прикладной механики. Метод конечных элементов является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин. [c.9]

Виртуальные состояния. Если не требовать, чтобы потенциал удовлетворял более жестким условиям, чем (12.9) и (12.21), то мы ничего не сможем сказать о распределении нулей функции f в нижней полуплоскости к. Если потребовать, чтобы потенциал удовлетворял более сильному условию (12.20), то станет доступной полоса шириной а. Допустим, что потенциал убывает даже быстрее, чем любая экспонента, так что [ будет регулярной на всей /г-плоскости. Из представления (9.22) полной функции Грина через собственные значения а ядра К радиального уравнения Липпмана — Швингера можно немедленно получить информацию относительно виртуальных состояний. Используя представление функции Грина (9.22) и уравнение (9.18), получаем следующее решение интегрального уравнения (11.7) (здесь мы используем смешанные обозначения, рассматривая как абстрактные векторы состояний, так и радиальные волновые функции в координатном представлении) [c.334]

По определению система уравнений (11.2), (11.5), (11.8) называется замкнутой системой уравнений МСС для внутреннР1х точек области движения среды. В силу основного постулата решение этой системы существует при некоторых начальных условиях и условиях на границе области. Уравнение (П.8) может быть заменено на (11.10). В случае существования обобщенного потенциала система (11.2), (11.11), (11,12) замкнута. При этом функциональной производной г ) по функции z(, t) называется ядро интегрального представления вариации ip по 2 (при т = /) [c.161]

Причина возникновения разреза вдоль верхней мнимой полуоси не может быть разъяснена без дальнейшей специализации вида юкавского потенциала. Рассматривая эту проблему, Мартин [69, 70], а также де Альфаро и Розетти [26] получили интересное интегральное представление для X, к, г), устанавливающее тесную связь между видом функций С(ц,) или о(ц), определяемых уравнениями (6.1) и (6.5), и особенностями функции (X, к) на верхней мнимой полуоси. Указанные работы существенно разъясняют общую ситуацию и заслуживают детального изложения. [c.74]

Вместо функции тока для составления интегрального уравнения можно использовать потенциал ф скорости в этом случае условием на контуре обтекаемого тела будет d(pldn L = 0. Можно также применить аппарат теории аналитических функций, в частности их представление криволинейными интегралами для получения интегральных уравнений, определяющих комплексный потенциал и сопряженную скорость. Этот метод применяется для расчетов гидродинамических решеток [4]. [c.249]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Повышение требований к точности расчета конструкций, находящихся в условиях контактного взаимодействия, приводит к необходимости усложнения моделей сплошной среды, в частности, к необходимости учета начальных (остаточных) напряжений, к необходимости развития эффективных методов исследования особенностей контактного взаимодействия преднапряженных упругих тел. Первые работы по контактным задачам для преднапряженных тел были основаны на использовании простых форм упругого потенциала (Трелоара, Муни, Джона и др.) с целью более прозрачного представления о характере влияния и сущности изменений, вносимых начальными напряжениями. В этом плане Л. М. Филипповой в работе [28] рассмотрена задача о внедрении жесткого штампа в упругую полуплоскость из несжимаемого материала Муни. Начальная деформация предполагалась однородной, действующей вдоль границы полуплоскости, трение в области контакта не учитывалось. Задача сведена к решению интегрального уравнения вида [c.234]

Представление (3Л) в применении к функциям ш (г), и z) или 1п г (2) на основном профиле решетки после отделения действительных и мнимых частей дает линейные интегральные уравнения относительно потенциала скорости <р, проекций иу или модуля скорости V как функций дуги профиля 8. в случае решеток из тонких профилей эти уравнения имеют указанное в 2 эффективное решение в виде квадратур для профилей произвольного вида уравнения решаются численно, путем сведения к системе линейных уравнений или последовательными приближениями. Такой способ решения прямой задачи называется обычно вихревым методом в связи с гидродинамической интерпретацией представления (3.1) при Р z) = = V z) и другим способом получения уравнений задачи в результате наложения однородного потока со скоростью иоо на поток от вихрей, распределенных по контурам профилей. Вихревой метод, как лринципиально самый простой, получил широкое распространение и применялся как для одиночных профилей (П. А. Вальтер, 1922 М. А. Лаврентьев, 1932 [c.115]

Интегральное уравнение (4.77) хорошо известно в теории потенциала как уравнение Лява для классической задачи о круговом конденсаторе (Снеддон, 1966). Рассмотрим два противоположно заряженных коаксиальных диска единичного радиуса, расположенных на расстоянии а друг от друга с потенциалами dzVo- В цилиндрических координатах (г, г) потенциал, создаваемый аксиально симметричным распределением заряда а (г) на нижней пластине (например, г = 0), допускает следующее удобное представление в терминах вещественной четной функции f(t) [c.82]

Такое звуковое поле не связано с переносом энергии вдоль волновода, (даако очевидным образом связано с некоторыми источниками звука на бесконечности и, естественно, должно быть удалено из общего представления для потенциала в рассматриваемой задаче. Именно с необходимостью устранить в общем представлении поля составляющие типа (1.36) и (1.37) и связаны определенные методические приемы при использовании в данной задаче интегрального преобразования Фурье 166]. В рамках метода частичных областей каких-либо трудностей при рассмотрении задачи не возникает. [c.22]

Как было отмечено в 5.4, большое нретшуш ество компактного представления типа метода когерентного потенциала пли его обобпцеиий состоит в возможности выявить многие типы сложного аналитического поведения плотности состояний путем решения лишь небольшого числа алгебраических или интегральных уравнений. С другой стороны, просто обрывая ряды, возникаюш ие при разложении исходных уравнений, этого добх ться не удается приходится суммировать ту или иную бесконечную подпоследовательность слагаемых, как в уравнении Дайсона. Хотя для вычисления многих таких сумм моншо использовать диаграммную технику, здесь все же приходится руководствоваться теми же феноменологическими соображениями, которые непосредственно используются в компактных уравнениях. Например, при обобш,ении метода когерентного потенциала сразу видно, что главную роль играет взаимодействие между соседними узлами в решетке (т. е. узлами, лежаш,ими в пределах данного кластера), а формально образованные с помощью графиков парные слагаемые, отвечающие более удаленным узлам, дают лишь пренебрежимо малый вклад. По этой причине использование граничных условий Бете ( 11.4), позволяющих расширить кластер без резкого его обрыва, приводит к очень хорошим результатам [40]. [c.403]

Сделаем краткий обзор материала, включенного в раздел задач. Он достаточно разнообразен, и его тематика отражена в заголовках параграфов. Но это в основном не учебные задачи типа упражнений, а именно дополнительные вопросы, оформленные в виде задач из соображений сохранения общей структуры книги. В соответствии с уже сказанным нами ранее раздел, посвященный корреляционным функциям, несколько расширен (по сравнению с профаммными требованиями) помимо равновесных задач в него включены вопросы о связи функции Р2(Н) с флуктуациями плотности, с экспериментами по рассеянию частиц и электромагнитного излучения на статистических системах и т.д., а также обсуждены варианты построения интефальных уравнений для этой функции. Отдельный парафаф посвящен методу Майера. Он сыфал значительную роль в развитии теории неидеальных систем, а выработанные в нем диаграммные представления интегральных конструкций до сих пор являются своеобразным языком теории. Для получения окончательных результатов, которые можно было бы сравнивать с какими-либо измеряемыми на эксперименте величинами, в теорию неидеальных систем, включая, конечно, и метод Майера, необходимо ввести аналитические выражения для реалистических потенциалов взаимодействия, например потенциал Ленарда-Джонса, при этом, естественно, теория кончается и начинаются численные оценки фигурирующих в теории интегралов. Подобные расчеты на бумаге теперь уже не производят, и они не входят в наши задачи. Специальный параграф посвящен одномерной модели газа. Это одна из редких точно решаемых моделей при любом взаимодействии ближайших соседей. Причем это именно та система, для которой при специальном дальнодействующем виде взаимодействия частиц традиционное уравнение состояния Ван дер Ваальса является точным. [c.370]

ЭТОЙ функции. Отдельный параграф посвящен методу Майера. Он сыграл значительную роль в развитии теории неидеальных систем, а выработанные в нем диаграммные представления интегральных конструкций до сих пор являются своеобразным языком теории. Для получения окончательных результатов, которые можно было бы сравнивать с какими-либо измеряемыми на эксперименте величинами, в теорию неидеальных систем, включая, конечно, и метод Майера, необходимо ввести аналитические выражения для реалистических потенциалов взаимодействия, например потенциал Ленарда—Джонса, при этом, естественно, теория кончается и начинаются численные оценки фигурирующих в теории интегралов. Падобные расчеты на бумаге теперь уже не производят, и они не входят в нащ задачи. Специальный параграф посвящен одномерной модели газа. Это одна из редких точно решаемых моделей при любом взаимодействии ближайших соседей. Причем это именно та система, для которой при специальном дальнодействующем виде взаимодействия частиц традиционное уравнение состояния Ван-дер-Ваальса является точным. [c.716]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...