Другие определения устойчивости

Возможны и другие определения устойчивости движения. В частности, во многих задачах современной техники важно обеспечить малые отклонения в решении дифференциальных уравнений возмущенного движения от решения невозмущенного движения на конечном интервале времени. [c.646]

Устойчивость траекторий (2). Поскольку понятие устойчивости по Ляпунову не является исчерпывающим для задач классической динамики, мы будем пользоваться другим определением устойчивости. Существует много различных определений, одно из простейших состоит в следующем траектория С (в фазовом пространстве) устойчива, если траектория С, начинающаяся в точке фазового пространства, достаточно близкой к начальной точке траектории С, такова, что всякая точка траектории С находится вблизи от некоторой точки траектории С. Это условие является более слабым, нежели предыдущее, поскольку хотя здесь и требуется, чтобы точка Ф (< а + 6) на траектории С была близка к некоторой точке траектории С, однако эти точки не обязательно должны проходиться в один и тот же момент времени. Устойчивость такого типа принято называть орбитальной устойчивостью. [c.478]

Существует еще много других определений устойчивости движения. Можно, например, принять определение, аналогичное орбитальной устойчивости, но связанное не с фазовым пространством, а с траекторией в -нро-странстве. Согласно этому определению движение является устойчивым, если траектория в g -пространстве, соответствующая слегка измененным начальным условиям, располагается вблизи от невозмущенной траектории. Наглядный пример орбитальной устойчивости такого типа приведен в 17.5, п. 1 невозмущенное движение в этом примере представляет движение по замкнутой кривой х = а, причем ф (а) < 0. Некоторые другие определения устойчивости приводились нами в 17.5 и в 22.7. [c.479]

Определение устойчивости по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости. Состояние произвольной механической системы с п степенями свободы определяется s = 2п переменными i/i, г/з,. .., у (обобщенные координаты и скорости) и описывается системой обыкновенных дис еренциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производных [c.33]

Другие определения устойчивости [c.832]

Ввиду очевидной и несущественной неустойчивости по Ляпунову решения (3.1), связанной с зависимостью угловой скорости и> во) от широты во, естественны другие определения устойчивости (см., например, [7, 9, 13]). Скажем, что стационарное решение (3.1) устойчиво по Раусу, если устойчиво семейство равновесий Г уравнения относительного движения (3.3). [c.358]

Определенную таким образом устойчивость мы будем называть устойчивостью по Ляпунову и именно ее будем иметь в виду, когда будем говорить просто об устойчивости. В последующем мы познакомимся с другими определениями устойчивости и с значением работ Ляпунова [84] в учении об устойчивости. [c.47]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Другим более общим определением устойчивости состояния равновесия в рамках первой элементарной концепции является определение Лагранжа. По Лагранжу исходное состояние упругой сис-318 [c.318]

Ясно, что определения устойчивости движения по Рауту и Н. Е, Жуковскому — различны. Движение может быть неустойчивым в смысле Раута и устойчивым по определению Н. Е. Жуковского. Одним из недостатков определений устойчивости движения, принадлежащих Рауту и Н. Е. Жуковскому, является нечеткость понятия о малости возмущений. Другой недочет этих определений отметим ниже. [c.325]

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

Другое определение коэффициента устойчивости использовано в работе [64] и некоторых других, где [c.126]

Травление широко распространено (особенно в полиграфии, гравировании и электронике) для удаления металла с определенных участков поверхности и получения рельефного изображения. Для этого металлическую поверхность в определенных местах, где не требуется снятия металла, покрывают воском или другим материалом, устойчивым к действию травильного раствора. Травлению подвергается часть металлической поверхности, на которую не наносится изолирующее покрытие. Затем покрытие устраняется с помощью растворителей и производится промывка. [c.67]

Определение устойчивости и другие связанные с этим определения аналогичны приведенным в 19.5 для рассмотренного там частного случая. Будем обозначать через R (t) значение R в точке (xj, Х2, . ., Хт) в момент t (иными словами, R (t) будет обозначать расстояние изображающей точки от точки О в момент t). [c.419]

В 30-х годах современная теория автоматического регулирования только зарождалась. В наследство от классической теории регулирования хода машин, основы которой были заложены Вышнеградским и Стодолой, был получен критерий устойчивости Раута — Гурвица для определения устойчивости линейных систем, кривые Вышнеградского, пригодные для выбора параметров линейных систем 3-го порядка и некоторые другие результаты. Потребности развития новой техники и автоматизации технологических процессов настоятельно требовали введения более сложных и качественных систем автоматического регулирования. Для выполнения этих задач требовались новые эффективные методы расчета автоматических регуляторов. Результаты, полученные в классической теории регулирования хода машин, постепенно были распространены на регулирование электрических параметров, тепловых процессов и т. д. К концу 30-х годов в теории регулирования наметился серьезный сдвиг, связанный с введением частотных представлений. Повышение быстродействия и увеличение точности производственных процессов требовали от автоматических регуляторов не только устойчивости, но и высокого качества регулирования. Таким образом, в 30-е годы расширяется понятие о регулировании машин, постепенно осуществляется переход к регулированию технологических процессов и выдвигаются новые задачи теории регулирования исследование качества регулирования, синтез регуляторов и т. д. [48]. [c.237]

На основании теоремы 2. 9 приходим к выводу о том, что функция R (ф), служит асимптотически устойчивым предельным режимом движения машинного агрегата. По теореме 1.6 в условиях 1.1, 1.2, 1.3 другого асимптотически устойчивого предельного режима, определенного в промежутке Е = —со, машинный агрегат иметь не может. Следовательно, [c.90]

Для этой цели обычно используется спектральный критерий устойчивости Неймана [8], основанный на анализе спектра оператора дискретной задачи. Другое более практическое определение устойчивости алгоритма, связанное с понятием корректности задач с непрерывным аргументом, предложено в [7]. В этом случае счетная устойчивость алгоритма устанавливает непрерьшную зависимость решения от входных данных, когда малым вариациям исходных данных соответствуют малые вариации решения. Этот подход и будет использован ниже при решении задач теплопроводности в элементах ВВЭР. [c.175]

Наполнитель обеспечивает прочность материала и изменяет его свойства. К наиболее распространенным наполнителям относятся древесная или минеральная мука, асбестовое, хлопчатобумажное или другое органическое волокно, а также стеклянное волокно и различные ткани. Краситель придает пластмассе определенный устойчивый цвет. Отвердитель (инициатор) ускоряет переход термореактивных смол в неплавкое или нерастворимое состояние или отверждает некоторые термопластические смолы. [c.493]

Определение устойчивости по переходному процессу, который можно получить интегрированием системы высокого порядка на цифровой ЭВМ, связано и с другой трудностью — большим потребным машинным временем. Интегрирование системы для получения одного переходного процесса часто требует десятки часов. При синтезе системы возникает необходимость проводить массовые объемные исследования с оценкой устойчивости большого числа систем. В этом случае проектировщику требуется настолько большое машинное время, что задача синтеза становится невыполнимой. Определение корней также требует большого машинного времени. Поэтому сокращение времени счета является важной задачей. [c.14]

Здесь Р — вероятность х — норма вектора. Два других распространенных определения устойчивости — по моментам и по вероятности — являются более слабыми по связи со свойствами реализаций. Однако при определенных условиях эти определения становятся тождественными с первым. [c.136]

Критическое время потери устойчивости вязкоупругой конструкции можно определять также из условия достижения скоростью нарастания прогиба некоторой наперед заданной величины [118, 134]. Преимущество определения (5.45), на нащ взгляд, заключается в том, что предельное значение прогиба w обладает качеством интегральной характеристики конструкции, в которой в принципе могут быть синтезированы не только требования по жесткости и устойчивости, но и прочности проекта. Практическое использование (5.45) затруднительно, поэтому на основании результатов, полученных в [83], вместо интуитивно очевидного определения (5.45) имеет смысл сформулировать другое определение [c.237]

Вторичное ориентирование — часть процесса автоматического ориентирования, в течение которого неправильно ориентированные заготовки отсеиваются или переводятся из начального определенного устойчивого положения в другое устойчивое положение до тех пор, пока заготовка не будет переведена в какое-либо одно заданное положение. [c.266]

Эффект от действия той или иной внешней нагрузки (силы) зависит не только от ее значения, но и от точки ее приложения. Чем дальше действующая сила от ребра опрокидывания, тем больше эффект ее действия. Другими словами, действие нагрузок на кран характеризуется моментом действующей силы, равной произведению этой силы на расстояние от ребра опрокидывания (плечо действия). В свою очередь плечи действующих сил зависят от угла наклона площадки, на которой стоит кран, положения стрелы и груза. Краны проектируют так, чтобы при любых условиях (как в рабочем, так и нерабочем состоянии) была обеспечена их устойчивость. При определении устойчивости ветровая нагрузка и уклон пути в расчетах рассматриваются как факторы, всегда неблагоприятные для устойчивости крана. [c.13]

Раздел 3 — Неравновесные состояния условия равновесия и их применение (возрастание энтропии при необратимом адиабатическом переходе из одного равновесного состояния в другое определение энтропии неравновесных состояний определение свободной энергии для равновесного состояния изменение энтропии при необратимых процессах изменение свободной энергии при необратимых процессах условия равновесия системы замечания, связанные с уточнением физического смысла законов термодинамики фаза условие устойчивости системы, состоящей из одной фазы фазовые превращения фазовые превращения первого рода уравнение Клапейрона — Клаузиуса равновесие трех фаз поверхность термодинамического потенциала критическая точка поверхностная энергия и поверхностное натяжение роль поверхностного натяжения при образовании [c.364]

Как при ляпуповском, так и при некоторых других определениях устойчивости нас интересует поведение решений системы (а) при t- oo. Будем считать правые части уравнений системы (а) вполне определенными регулярными функциями своих аргументов при любых конечных значениях их. Если мы предположим, что при t со искомые функции х ж у стремятся к каким-то вполне определенным конечным пределам, то это же самое будет верно относительно функций X, Y, и если пределы последних отличны от нуля, то мы придем к противоречию. Таким образом, надо сказать, что в этом случае X = У = О при t оо, ш исследование поведения решений системы (а) на устойчивость становится частным случаем изучения поведения 136 решений (а), иначе говоря, траекторий этой дифференциальной системы в окрестности одной из ее особых точек — точек одновременного обращения в нуль правых частей этой системы [c.136]

В литературе имеется также и ряд других определений устойчивости по двум мерам [Ьак5Ьт1кап111ат и др., 1989], в том числе и для процессов, описываемых системой вида (1.2.1) с неофаниченным разрывным оператором в банаховом пространстве [Матросов, 1989]. [c.50]

Для определения устойчивости системы к внешним возмущениям проведены специалыше эксперименты. К иэмерителыюму стенду между создающим больщой перепад давлений регулирующим вентилем и образцом через вентиль подключался заглушенный с другого конца отрезок прозрачной толстостенной пластиковой трубки, в котором находился воздушный пузырек объемом - 1,6 см при атмосферном давлении. После достижения стационарного режима с полностью сухой внешней поверхностью вентиль открывался и отрезок трубки с воздушным пузырьком подключался к стенду. Начиная с этого момента (т = О с), изменение характеристик системы изображено на рис. 6.17. Здесь же условно показано и изменение расхода охладителя G через образец. [c.151]

Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях орямо-линейная форма стержня всегда является возможной формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Q, которая вызовет прогиб. При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызывает малый прогиб. Если сила Р невелика, то положение останется таким же и равновесие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое определение устойчивости состоит в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, задавшись любой величиной г) > О, всегда можно указать такую конечную величину е>0, что при (31 <е вели- чина прогиба ни в одной точке не достигнет величины т], т. е. будет 1г 1<г . Оказывается, как мы увидим Рис. 4.1.1 далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р . При Р> Рк равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. [c.114]

Понятие устойчивости очень широко используется для характеристики различных систем — биологической, химической или механической. Применительно к механическим (и другим) системам понятие устойчивости можно трактовать как способность системы пребывать в состояниях, для которых определяющие параметры при действии на систему возмущений заданного ограниченного класса остаются в заданных пределах. Это достаточно общее определение устойчивости в каждом случае требует конкретизации. Простей-UJHM, но далеко не вскрывающим все дегзли явления примером может служить стержень, шарнирно закрепленный одним концом, как показано на рис. 15.8. Если вес G стержня считать приложенным в его середине С, то оба изображенных вертикальных положения стержня можно считать равновесными в силу выполнения уравнения равновесия [c.345]

Но есть другое понимание устойчивости. В широких кругах ученых под устойчивостью понимается определенный раздел механики — совокунность приемов, позволяющих анализировать поведение идеальной системы при малых возмущениях. Этот раздел механики правильнее было бы называть не устойчивостью, а теорией устойчивости. Но слово теория , как правило, опускается. Устойчивость стала символом, обозначающим определенную сферу научной деятельности, связанную с разработкой особенностей классической расчетной схемы. [c.139]

В соответствии с этими неравенствами на рис. 8.8 построена карта устойчивости для л = О и для нескольких значений величины силы/ . Как видим, наличие силы трения приводит в данном случае к некоторому расширению области устойчивости, однако не устраняет возможности возникновения неустойчивых режимов. Точка А на рис. 8.8 соответствует значениям параметров, для которых построены законы движения на рис. 8.7. (Напомним, что решению вопроса об устойчивости того или иного режима движения следует предпослать проверку его по неравенствам (8.11).) Выполненный нами анализ устойчивости позволяет теперь ответить на вопрос, какой из этих двух возможных режимов будет реализован системой. Каждому из них соответствует определенное значение %2, вычисленное в соответствии с формулой (8.8). С другой стороны, эти значения А.2 непосредственно используются при определении нижних границ областей устойчивости согласно уравнению (8.25). Последовательно подставляя сюда значения и кгг, соответствующие знакам в формуле (8.8), можно убедиться в том, что критериям Шура удовлетворяет значение Я,2, соответствующее знаку минус перед корнем. Другими словами, устойчивым оказывается тот из режимов движения системы, который сопровождается более активным ударным взаимодействием ее частей. На рис. 8.7 этот режим движения изображен сплошными линиями. [c.275]

Схема расположения контрольного органа приведена на рис. 1. Допустим, что нам необходимо управлять процессом ориентирования плоской квадратной детали, движущейся по наклонному лотку, которая после первичного ориентировання поступает на позицию вторичного ориентирования, находясь во II, III или IV положениях (см. рис. , а). Таким образом, деталь находится не в произвольном, а в определенном устойчивом положении. Только одно из этих положений, например IV — требуемое. Для приведения всех других положений детали в IV необходимы повороты детали вокруг оси на 4-90°, —90° или 180°. [c.208]

Для определения устойчивости жидкостей к вспениванию наиболее щироко применяется метод ASTM D892-58T [22], разработанный для испытания смазочных масел и других жидкостей. [c.121]

Для неконсерватнвных систем в исходные уравнения входят уже два или несколько параметров. Один из них по-прежнему характеризует частоту X периодических движений, а другие (параметры устойчивости iJj) — внутренние силы и факторы, приводящие к потере устойчивости. Для таких систем ставится задача об отыскании границы (границ) устойчивости. Как и при определении собственных частот в этом случае составляется условие — уравнение [c.184]

Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Толковый словарь Даля определяет слово устойчивый как стойкий, крепкий, твердый, не шаткий . Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Теория регулятора Уатта, разработанная Максвеллом и Вышнеградским, была в сущности первым применением понятия устойчивости в машиноведении и отправной точкой для создания теории автоматического ретулирования (позднее - более общей теории автоматического управления). Р. Беллман характеризовал устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. Это полностью относится и к устойчивости механических систем [6]. [c.455]

В мировой литературе описан ряд методов для определения устойчивости к плесневению пластических масс и других органических веществ. При этом испытанию подвергаются не только готовые изделия или материалы, но и основные вещества, применяемые для их изготовления (например, пластификаторы). В дальнейшем приведены лишь наиболее употребительные из этих методов и рассмотрены важнейшие работы, в которых они описаны. Эти работы касаются не только исследования присущей (ингерент-ной) материалам и изделиям стойкости или же стойкости входящих в их состав веществ, но также и испытания материалов, обработанных фунгицидами, для определения степени токсичности последних по отношению к грибам. [c.33]

И. Д. Моисееву принадлежит и общий обзор развития понятия устойчивости, в котором систематизированы различные определения устойчивости, и обзор качественной небесной механики и большая монография по истории теории устойчивости Он занимался также устойчивостью за ограниченный промежуток врёмени при наличии возмущающих сил ( техническая устойчивость ) и исследовал на такую устойчивость некоторые линейные системы дифференциальных уравнений из теории автоматического регулирования. В других работах Моисеев изучал орбитальную устойчивость, имеющую особое значение в задачах небесной механики. [c.131]

Спинодаль является границей устойчивости метастабильной фазы относительпо непрерывных изменений состояний. Считается, что к сииподали можно подойти квазистатически, сохраняя макроскопическую однородность вещества. Термодинамически безупречное определение спинодали совершенно не касается свойств конкурирующей фазы и возможности появления ее зародышей. Эта возможность связана с другим видом устойчивости, который рассмотрен в 10. Обратимся теперь к обсуждению таких свойств снинодального состояния, которые связаны с сосуществованием фаз. Чтобы удовлетворить требованию равновесия, рассмотрим внутри метастабильной жидкости пузырек пара критического размера. Для него выполняются условия (1.15), (1.16). Сместим неустойчивое равновесие системы за счет изменения температуры и давления в жидкости. При этом изменяется давление пара и химические потенциалы, так что л = Последнее равенство можно записать в следующем виде [c.253]

Для н-гексана константы в (9.52) найдены Тимпаном по значениям критических параметров и по удельному объему жидкости при 20 °С и атмосферном давлении. Граница термодинамической устойчивости жидкости по (9.52)-вполне удовлетворительно согласуется с другими определениями (см. рис. 80, 81). Формулу Фюрта и уравнение Гимпана можно рекомендовать в качестве первого приближения для оценки положения спинодали жидкости. Уравнение состояния по ячеечной теории, протабу.чиро-ванное в [221], и уравнение по дырочной модели в приближении Оно [39] приводят к заметно более низким [c.271]

Шестой прикцип —сохранение определенной устойчивости показателей в течение длительного времени. Поскольку стабильность информации относительна, информационная система должна быть одновременно и достаточно гибкой. Устойчивость и гибкость информационной системы являются не противоречивыми, а взаимно дополняющими требованиями. Без учета этих особенностей системы управления могут быть, с одной стороны, слишком консервативными , а с другой — весьма неустойчивыми при сопоставлении показателей во времени. Общим следствием таких состояний будет низкая эффективность принимаемых решений. [c.71]

Другое направление в исследовании устойчивости сплошных сред, позволяюш ее успешно решать конкретные задачи, связано с распространением на сплошные среды теорем Лагранжа и Рауса. Как известно, названные теоремы были доказаны для систем е конечным числом степеней свободы задолго до создания Ляпуновым теории устойчивости однако их можно доказать и на основе теоремы Ляпунова об устойчивости. Как уже упоминалось во введении, Ляпунов ввел определение устойчивости формы равновесия жидкости и установил теорему, сводящую вопрос об устойчивости формы равновесия вращающейся жидкости к решению задачи минимума функционала, представляющего собой измененную энергию системы. Задача минимума была решена А. М. Ляпуновым в его работах 1884 и особенно 1908 г. (Собр. соч., т. 3, 1959), что позволило ему получить строгие заключения об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости в форме эллипсоидов Маклорена и Якоби, а также некоторых фигур, производных от последних. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...