Общее определение устойчивости

Другим более общим определением устойчивости состояния равновесия в рамках первой элементарной концепции является определение Лагранжа. По Лагранжу исходное состояние упругой сис-318 [c.318]

После этих предварительных замечаний приведем общее определение устойчивости движения, принадлежащее А. М. Ляпунову ). [c.327]

Состояние равновесия нелинейной системы является устойчивым, если все движения системы, вызванные малыми возмущениями относительно точки равновесия, остаются незначительными. Строгое общее определение устойчивости динамических систем дано Ляпуновым. [c.754]

При таком общем определении устойчивости легко без всяких вычислений установить неустойчивость вихревых цепочек Кармана. В самом деле, сместим все вихри одной из цепочек, например верхней, на одну и ту же малую величину 5 = н-Ьг 7. Тогда разность — г2 = Ь- -1к увеличится на [c.211]

Пусть в фазовом пространстве введена некоторая норма его элементов о) . Тогда общее определение устойчивости фазовой траектории о) = о)о(0 по А. М. Ляпунову будет следующим при каждом сколь угодно малом положительном числе г существует такое положительное число 6 = 6(8), что для любой траектории 0 выполняется неравенство (o t) —о)о(011 < Нетрудно убедиться, что из наличия хотя бы одного неустойчивого инфинитезимального волнового возмущения о) (0= (0 — о(0 (с отрицательной мнимой частью 7 = 1п1(т<0 собственной частоты а) вытекает неустойчивость траектории (oo t) по Ляпунову. Действительно, пока возмущение со ( ) мало, оно растет как е в согласии с линейной теорией, затем нелинейные члены уравнений этот рост замедляют, и, как правило, достигается некоторый конечный предел. Уменьшение же амплитуды А начального возмущения лишь затягивает этот процесс, но не меняет его конечного предела — отсутствие здесь сходимости возмущения к нулю при всех t, когда Л- >0, и означает отсутствие устойчивости по Ляпунову. Поскольку в реальности малые возмущения всегда присутствуют, линейная неустойчивость течения [c.83]

Мы приводим здесь общее определение устойчивости стационарного движения — по сути, нужно решить, по отношению к каким переменным стационарное движение может быть устойчиво, и исключить те переменные, по отношению к которым оно заведомо неустойчиво. [c.244]

Общее определение устойчивости. Пусть имеем какую-нибудь материальную систему (например систему материальных точек), положение которой определяется к независимыми переменными [c.446]

ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 447 [c.447]

В связи с этим широкое распространение получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Общая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.651]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Взгляды Раута (1877 г.) и Н. Е. Жуковского (1882 г.) отличаются в самом определении устойчивости движения, как об этом более подробно сказано ниже. Но в подходе к математическому решению вопроса об определении критериев устойчивости у этих ученых много общего, хотя Н. Е. Жуковский написал свою работу, не зная о существовании исследования Э. Раута. [c.323]

Переходим к определениям, принадлежащим А. М. Ляпунову. Необходимо отметить, что определения А. М. Ляпунова также подвергались некоторой эволюции ). Приведем в сокращенном изложении определение устойчивости движения, указанное А. М. Ляпуновым в его классической работе Общая задача об [c.325]

Это замечание позволяет упростить применение признаков устойчивости движения по А. М. Ляпунову к вопросу об устойчивости траекторий. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени t, и приравнивая остальные координаты функциям Qh Ляпунова, вновь заключаем, что определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому вытекает из общего определения А. М. Ляпунова как частный случай. [c.330]

Дадим общие определения. Состоянием со спонтанным нарушением симметрии называется такое устойчивое Состояние физической системы, симметрия которого ниже симметрии уравнений (и граничных условий), описывающих это состояние. Напомним, что симметрия по определению тем выше, чем больше количество преобразований, относительно которых симметрия имеет место. [c.297]

Гл. 5 посвящена исследованию на устойчивость неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней при различных способах закрепления концов стержня и способах его нагружения. Устойчивость изучена в нескольких принципиально различных постановках. Принятое определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определении устойчивости движения динамических систем по Ляпунову, а на конечном интервале времени — по Четаеву. Развиты общие методы исследования устойчивости. Установлены условия устойчивости армированных вязкоупругих стержней непосредственно в терминах характеристик рассматриваемых задач. Изучена зависимость критического времени потери устойчивости от параметров задачи (коэффициента армирования, упругих и реологических характеристик материалов стержня, величины нагрузки и т. д.). [c.10]

Наличие на местах строительства неограниченных запасов аллювиальных песчаных отложений, хорошо поддающихся разработке и укладке средствами гидромеханизации, привело к отказу от насыпных типов плотин, возведение которых требует сосредоточения громадного количества землеройных и транспортных механизмов и ведет к общему усложнению работ. Возникла и стала получать все большее развитие идея применения намывных плотин распластанного профиля, полная надежность которых была удостоверена большими теоретическими и экспериментальными работами по определению устойчивости песчаных плотин под действием статических и динамических нагрузок. [c.79]

Для определения устойчивой работы агрегатов между собой на одну общую электрическую сеть вводится остающаяся неравномерность регулирования, определяющая собой рабочую характеристику регулятора, которая выражается зависимостью пр=/(N). Если пренебречь нечувствительностью регулятора, то обычно она имеет вид наклонной линии аЬ в координатах (Лу-N) с наклоном в сторону увеличения мощности (фиг. 105). Рабочая характеристика может быть смещена вверх или вниз, в положение aib или 2 2 с помощью действия механизма изменения числа оборотов или повёрнута (например, в положение а6 ) за счёт перестановки механизма остающейся неравномерности. Величина 5 из рабочей характеристики получится в виде отношения отрезка Дл к средним числам оборотов [c.332]

Волновой критерий устойчивости имеет общее доказательство, и его с успехом можно использовать для определения устойчивости различных динамических систем. [c.29]

В связи с тем, что в статье будут рассматриваться вопросы, связанные с устойчивостью балансировки, целесообразно вкратце остановиться на самом понятии устойчивость , которое в самом широком смысле характеризует соотношение между возмущающими воздействиями и вытекающими последствиями. Невозмущенное движение (или равновесие) называется устойчивым, если, уменьшая начальные возмущения, можно сделать отклонения, вызванные ими, меньше любых наперед заданных [1, 2]. Это определение, являясь общим, не является математически строгим. Если же конкретизировать эти возмущения и отклонения, то можно получить различные частные определения устойчивости. [c.55]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

В настоящем разделе приводятся общие определения и формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных задач по деформированию тел из упругих и упругопластических материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование поведения решения уравнений с использованием других тензоров напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же исследуется поведение решений для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации. [c.131]

Для расчета общей потери устойчивости оболочек с радиальными ребрами может быть использована формула (142), где ф = 2ns a, а коэффициент Р, определенный по формулам (17), (18), нес ходимо умножить на 0,85, 0,9. Меньшее значение относится к оболочкам, имеющим г — h. [c.124]

В разд. 1.15.4 была подчеркнута необходимость проведения четкого различия между двумя типами взаимодействия систем, приводящими к осуществлению работы и передаче тепла соответственно. В связи с этим в разд. 3.1 было введено понятие о взаимодействии, осуществляющем только работу. Затем в разд. 3.2 было дано общее определение работы, а в разд. 5.1 с помощью адиабатической работы было определено изменение энергии системы, возникающее в результате перехода между двумя заданными устойчивыми состояниями. Установленная таким образом связь между работой и энергией позволяет говорить о работе как о способе передачи энергии. При этом следует иметь в виду, что, в то время как энергия является функцией состояния тела, о работе этого сказать нельзя. В настоящей главе будет дано такое количественное определение теплопереноса, которое также позволит рассматривать тепло как способ передачи энергии. Для однозначного различия между этими двумя способами передачи энергии определение теплового взаимодействия необходимо сформулировать так, чтобы оно исключало возможность того, что рассматриваемое взаимодействие окажется связанным с совершением работы. Такое взаимодействие будет называться чисто тепловым. [c.73]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

Новое определение устойчивости — так называемой технической устойчивости — было предложено Н. Д. Моисеевым. Однако постепенно выясняется, что в достаточно общей постановке и при использовании аппарата общей теории операторов различные определения устойчивости и исходящие из них методы исследования можно ввести в рамки единой теории, в которой 132 центральное положение занимают определения и методы Ляпунова. [c.132]

Определение критической нагрузки для случая общей потери устойчивости пластинки вместе с ребрами см. [11], [14]. [c.202]

Понятие устойчивости очень широко используется для характеристики различных систем — биологической, химической или механической. Применительно к механическим (и другим) системам понятие устойчивости можно трактовать как способность системы пребывать в состояниях, для которых определяющие параметры при действии на систему возмущений заданного ограниченного класса остаются в заданных пределах. Это достаточно общее определение устойчивости в каждом случае требует конкретизации. Простей-UJHM, но далеко не вскрывающим все дегзли явления примером может служить стержень, шарнирно закрепленный одним концом, как показано на рис. 15.8. Если вес G стержня считать приложенным в его середине С, то оба изображенных вертикальных положения стержня можно считать равновесными в силу выполнения уравнения равновесия [c.345]

ТО рассматриваемое положение равновесия называется асимпто-тически устойчивым. (Эти определения устойчивости равновесия представляют следствия из общих определений устойчивости движения, принадлежащих А. М. Ляпунову.) [c.457]

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qs времени t, координат и скоростей системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Qs, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Рд времени t. Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения [c.8]

Общее определение устойчивости (446) — 2. Примеры устойчивых и неустойчивых решений диференциальных уравнений (449)—3. Диференциальные уравнения во1мущ нного движения (452) — 4. Интегрирование уравнений возмущенного движения (455). [c.16]

О Брайен, Хаймен и Каплан [1950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений. [c.27]

С учетом указанных условий работы можно дать следующее, более общее, определение устойчивости двигателя. Двигатель устойчив, если выходная величина остается огра ниченной в условиях действия на него ограниченных по величине возмущений. [c.86]

Исследование влияния структуры сил на устойчивость движения началось по существу с работ Томсона и Тета ). В 1879 г. они дали общее определение гироскопических сил и доказали чет1.г])с теоремы об устойчивости движения. Это направление по развивалось около семидесяти лет. По-видимому, ото мо/кно объяснить тем, что за эти годы была создана общая теория устойчивости движения с ее эффективными методами исследования. Другая причина состоит в том, что теоремы Томсона и Тета были сформулированы только для линейных автономных систем. Наконец, эта теория не включала неконсервативные позиционные силы, значение которых для многочисленных технических приложений прояснилось в полной мере лишь за последние десятилетия. [c.150]

Дадим теперь определение устойчивости движения движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия но минимуму потенциальной энергии. [c.160]

Из разбора графического метода определения граничного подведенного давления рпг следует, что совпадение общих решений устойчивой и неустойчивой амплитуд, при граничном шодведенном давлении рт соответствует совпадению обоих положительных корней кубического уравнения системы (3.40) — слиянию ветвей 1 я 2 амплитуд А и т. д. и Л2 и т. д. в одну ветвь, как это показано на рис. 3.30, в, причем кривая 3 амплитуд А и т. д., определенных при тех же условиях из квадратного уравнения системы (3,40), должна проходить через точку слияния ветвей 1 и 2. [c.153]

Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Толковый словарь Даля определяет слово устойчивый как стойкий, крепкий, твердый, не шаткий . Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Теория регулятора Уатта, разработанная Максвеллом и Вышнеградским, была в сущности первым применением понятия устойчивости в машиноведении и отправной точкой для создания теории автоматического ретулирования (позднее - более общей теории автоматического управления). Р. Беллман характеризовал устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. Это полностью относится и к устойчивости механических систем [6]. [c.455]

То, что для простой системы эТот дифференциал является полным, Ёидно из установленного в разд. 18.3 факта, согласно которому для определения устойчивого состояния простой системы достаточно задать значения двух независимых термодинамических характеристик. В этом уравнении в качестве независимых переменных выбраны S и V, зависимой же переменной является U, изменение которой с изменением S и 1/ в общем виде выражается следующим образом [c.314]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

И. Д. Моисееву принадлежит и общий обзор развития понятия устойчивости, в котором систематизированы различные определения устойчивости, и обзор качественной небесной механики и большая монография по истории теории устойчивости Он занимался также устойчивостью за ограниченный промежуток врёмени при наличии возмущающих сил ( техническая устойчивость ) и исследовал на такую устойчивость некоторые линейные системы дифференциальных уравнений из теории автоматического регулирования. В других работах Моисеев изучал орбитальную устойчивость, имеющую особое значение в задачах небесной механики. [c.131]

Участки бифуркационных границ, отвечающих мягкой смене установившегося движения, можпо называть безопасными, а отвечающие жесткой смене — опасными. Понятие мягкого и жесткого возникновения автоколебаний было введено А. А. Андроновым. Понятие опасных и безопасных границ было введено П. П. Баутиным [72, 73] для границ областей устойчивости состояпия равновесия. Дальнейшее обобщение этих понятий на периодические движения связано с работой [259], на основе которой можно дать общее определение и описать общую картину мягкой и жесткой смены установившегося движения. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...