Эллипсоид Маклорена

Лаплас с той же точки зрения исследовал формулу для главного момента количеств движения. Оказывается, что правая часть формулы (9) непрерывно возрастает от О до оо, когда С уменьшается от оо до 0. Поэтому при заданном объеме определенной жидкости существует одна и только одна форма эллипсоида Маклорена, обладающая заданным наперед главным моментом количеств движения. [c.887]

Эти вопросы можно также исследовать путем непосредственного вычисления функций, стоящих в правых частях формул (6) и (9). Следующая таблица, содержащая числовые данные для ряда эллипсоидов Маклорена, взята из книги Томсона и Тэта ). Единица момента [c.887]

Если положить первый множитель равным нулю, то придем к случаю эллипсоидов Маклорена, рассмотренному в предыдущем параграфе. Равенство нулю второго множителя дает условие [c.889]

Проблема относительного равновесия, в которой эллипсоиды Маклорена и Якоби представляют лишь частные случаи, была предметом большого числа интересных исследований, о которых здесь следует кратко напомнить. [c.892]

В качестве простого приложения предшествующей теории исследуем вековую устойчивость эллипсоида Маклорена для таких эллипсоидальных возмущений, при которых ось вращения остается главной осью ). [c.900]

Окончательный результат исследования можно высказать так эллипсоид Маклорена при эллипсоидальных возмущениях оказывается вековым образом устойчивым или неустойчивым, смотря по тому, меньше эксцентриситет е или больше, чем 0,8127 таков именно эксцентриситет того эллипсоида вращения, с которого начинается [c.901]

Оказывается, чю эллипсоид Маклорена для деформаций, при которых поверхность его остается эллипсоидом вращения, всегда устойчив. [c.901]

Дальнейшее исследование устойчивости эллипсоида Маклорена завело бы нас слишком далеко. Пуанкаре показал, что в этом случае равновесие обладает вековой устойчивостью относительно всякого рода возмущений, пока е лежит ниже названного выше предела. Это устанавливается тем, что для эллипсоида вращения с меньшим эксцентриситетом не существует формы бифуркации. [c.902]

Пуанкаре исследовал далее коэфициенты устойчивости рядов эллипсоидов Маклорена и Якоби при помощи функций Ламе, чтобы выяснить, какие члены представляют формы бифуркации. Он нашел, что существует бесконечно много форм такого рода, а следовательно, и бесконечно много других линейных серий фигур равновесия. В каждом случае оказывается возможным указать форму членов новой серии в окрестности точки бифуркации. Исследование этого вопроса было продолжено Дарвином ) и самим Пуанкаре в более поздней работе ). [c.902]

Простейшие из всех возможных типов возмущений суть те, при которых поверхность жидкой массы остается эллипсоидом, и ось вращения является главной осью этого эллипсоида. В случае эллипсоида Маклорена существует два различных типа возмущений этого рода при одном из них поверхность жидкой массы остается эллипсоидом вращения, в то время как при другом экваториальные оси становятся неравными, причем одна ось возрастает, а другая убывает, полярная же ось остается неизменной. Риман ) показал, что второй тип становится неустойчивым, когда эксцентриситет е меридионального сечения превосходит значение 0,9529. В этом исследовании не принимались во внимание силы трения, и критерий относится к обыкновенной устойчивости . [c.903]

Существуют два типа эллипсоидов Маклорена сплюснутые и дискообразные. [c.775]

Работы Клеро, который самостоятельно получил некоторые результаты Маклорена б задаче о притяжении эллипсоидов, по методу исследования относятся к этапу перехода от геометрических приемов, к аналитическим. Основные результаты, полученные Клеро, вошли в его книгу Теория фигуры Земли (1743 г.) В рассматриваемом вопросе он дал формулы, определяющие силу притяжения эллипсоида, близкого к сфере, с точностью до членов второго порядка малости относительно эллиптичности . Более об- [c.151]

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Все эти рассуждения и представляют теорему Маклорена. Он первый доказал, что эллипсоид вращения есть возможная форма равновесия затем Даламбер показал, что существуют два эллипсоида равновесия при данных условиях совсем закончил этот вопрос Лаплас, 7. Давление тяжелой жидкости на погруженные тела. Рассмотрим сначала давление жидкости на погруженные в нее пластинки. [c.646]

Докажем сначала теорему Маклорена для бесконечно тонких эллиптических слоев. Имеем два бесконечно тонких эллиптических слоя / и /У (фиг. 469). Назовем полуоси эллипсоидов внешнего и внутреннего первого слоя через а. Ь, с ka, kb k , второго слоя через dj, с и ka , kb , k y. Проведем через какую-нибудь внешнюю точку М эллипсоид, софокусный с данными, и построим [c.758]

Метод Шаля. Французский геометр Шаль, опираясь на теоремы Ньютона, Маклорена и Лапласа, дал геометрическое решение задачи о притяжении однородным сплошным эллипсоидом внешней точки. Изложением метода Шаля теперь и займемся. [c.763]

Теорема Маклорена. Силовые функции двух однородных софокусных эллипсоидов на внешнюю точку относятся как массы этих эллипсоидов. [c.126]

Первый член ряда Якоби является одновременно и сфероидом Маклорена идя далее вдоль последовательности, для больших значений углового момента экваториальные оси фигуры будут иметь уже разную длину, и фигура в целом будет вытягиваться. При стремящемся к бесконечности моменте вращения предельная фигура данного ряда неограниченно вытягивается одновременно средняя ось эллипсоида стремится к равенству с третьей, наименьшей осью, причём обе они приближаются к нулю. [c.15]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Для того чтобы установить существование сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби как возможных форм равновесия, в первую очередь нам потребуется выражение для гравитационного потенциала таких фигур во внутренних точках. Рассмотрим эллипсоид, главные оси которого совпадают с осями координат его уравнение [c.64]

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости этой проблеме посвящена была его магистерская днссертащтя (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби. [c.266]

Сопоставление полученных результатов для эллипсоида врагцення с эллипсоидами Маклорена показало, что фигуры равновесия, полученные при учете сил лучистого сжатия, лучгае объясняют фигуры действительных планет, чем эллипсоиды Маклорена, у которых снлюгцеппость значительно больгае, чем в действительности. [c.162]

Самостоятельный раздел гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости составляет теория фигур равновесия вращающейся жидкости, зародившаяся в связи с изучением фигуры Земли и других небесных тел. Статические подходы к исследованию фигуры Земли восходят еще к И. Ньютону (1687) и А. Клеро (1743). Первые исследования вращающихся эллипсоидов были предприняты в XVIII в. К. Маклореном (1740), который рассмотрел частный случай эллипсоидов вращения (исследованный затем подробнее П. С. Лапласом). Общий случай трехосных эллипсоидов был рассмотрен К. Якоби и затем О. Мейером (1842), в результате чего было установлено существование однопараметрического семейства трехосных эллипсоидов, примыкающих к эллипсоидам Маклорена с эксцентриситетом меридиана [c.76]

Устой Швость эллипсоида Маклорена 901 [c.900]

В случае эллипсоида Маклорена ход вычислений несколько упрощается, так как входящие при этом гармонические функции принадлежат к виду, исследованному в 104, 107. Эта задача исчерпывающим образом была разрешена Брианом ), который, в частности, [c.905]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Другое направление в исследовании устойчивости сплошных сред, позволяюш ее успешно решать конкретные задачи, связано с распространением на сплошные среды теорем Лагранжа и Рауса. Как известно, названные теоремы были доказаны для систем е конечным числом степеней свободы задолго до создания Ляпуновым теории устойчивости однако их можно доказать и на основе теоремы Ляпунова об устойчивости. Как уже упоминалось во введении, Ляпунов ввел определение устойчивости формы равновесия жидкости и установил теорему, сводящую вопрос об устойчивости формы равновесия вращающейся жидкости к решению задачи минимума функционала, представляющего собой измененную энергию системы. Задача минимума была решена А. М. Ляпуновым в его работах 1884 и особенно 1908 г. (Собр. соч., т. 3, 1959), что позволило ему получить строгие заключения об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости в форме эллипсоидов Маклорена и Якоби, а также некоторых фигур, производных от последних. [c.32]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Теорема Маклорена. Два эллаптичесшх слоя, ограниченных софокусными эллипсоидами, или два софокусных сплошных эллипсоида притягивают внешнюю точку силами одинаково направленными, величины которых относятся, как массы эллипсоидов ила эллиптических слоев. [c.758]

Лагранж, Гаусс и Дирихле дали методы, позволяющие найти выражение для силовой функции однородного эллипсоида для случая, когда нритягивае.мая точка лежит внутри него. Затем теоремы Лапласа, Айвори и ]Маклорена позволили найти, почти уже без вычислений, силовую функцию и для внешней точки. [c.116]

Представим сйбе, что эллипсоид Е заполнен притягивающей материей с плотностью б. Так как точка Р лежит на поверхности Е, то ее можно рассматривать с одинаковым правом и как внешнюю и как внутреннюю точку для Е. Рассматривая точку Р как внешнюю для Е, мы можем применить теорему Маклорена и написать [c.127]

Данная задача принадлежит к тем разделам астрономии и гидродинамики, начало которым было положено открытием закона всемирного тяготения. Именно тогда стало возможным объяснять не только движение планет и спутников, но также и саму форму небесных тел. С той поры немало крупных ученых-математиков внесли свой вклад в развитие теории фигур равновесия. Имена Клеро, Маклорена, Якоби и Лиувилля говорят сами за себя. Но наиболее весомый вклад принадлежит А. Пуанкаре и нашему соотечественнику А. М. Ляпунову. В 1884-85 годы они независимо друг от друга установили, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, но все же счетное ) существуют неизвестные науке неэллипсоидальные фигуры равновесия. Научный мир с изумлением взирал на эти открытия. И если можно (а почему бы и нет ) сравнить новые фигуры с драгоценными кристаллами, то шахта для их добычи оказалась круто уходящей вниз, где на большой глубине могут работать лишь сильные разумом и духом исследователи. И именно отсюда, с этой глубины берут свое начало такие отрасли математики, как теория нелинейных интегральных уравнений, теория бифуркаций, здесь же возникло само понятие линейных рядов фигур равновесия. [c.9]

Книга состоит из Введения и девяти глав. В ней подробно разбираются равновесные свойства классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби, а также трудные и сложные вопросы их устойчивости. Особенно тщательно разбираются свойства функций и произведений Ламэ. Столь тщательного изложения гармонического анализа и его приложений к гравитирующим эллипсоидам не встретить [c.10]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...