Оператор с дискретным спектром

Операторы с дискретным спектром. Рассмотрим неограниченный замкнутый оператор L в со всюду плотной областью определения D(L). Такой оператор называют оператором с дискретным спектром, или оператором со вполне непрерывной резольвентой, если резольвента Ri( i) = L — и-/) существует и является вполне непрерывным оператором хотя бы при одном г = Iq. Доказывается (см., например, [8], гл. III, 6), что тогда спектр 2(L) состоит из не более чем счетного множества собственных значений с единственной возможной предельной точкой оо (а не О, как у вполне непрерывного оператора) каждому собственному значению отвечает конечномерное корневое подпространство й(р,) = ( х) резольвента Ri(n) вполне непрерывна при p,s2(L). [c.303]

Подчеркнем, что оператор с дискретным спектром — обязательно неограниченный оператор, так как оператор, обратный к ограниченному, не может быть вполне непрерывным. [c.303]

Действительно, пусть 1т ц 0. Тогда ц не является собственным значением оператора 4о- Так кака = а (см. 33), то из 5° вытекает, что существует оператор ( о — l/) имеющий порядок —1 и, значит, вполне непрерывный в каждом Я,( ) (см. конец 32). Отсюда и следует, что л/о — оператор с дискретным спектром [c.327]

Абстрактный аналог шкалы Ях( ) (см., например, [49]). Пусть — сепарабельное гильбертово пространство и о — самосопряженный оператор с дискретным спектром в / (/=1, 2,. ..) —ортонормированный базис в составленный из собственных векторов оператора о 0 / = Будем считать, что О < V, V2 ---- [c.329]

В любом оператор Lo с i)(Lo)= i>s+i является самосопряженным оператором с дискретным спектром. Его собственные значения и собственные векторы не зависят от S. [c.330]

Пусть снова > —сепарабельное гильбертово пространство, I — оператор с дискретным спектром и А — вполне непрерывный оператор в ф, ([ —система корневых векторов оператора I или А (см. пп. 3 и 4 31). Условимся пользоваться следующими обозначениями (определения см. в 31) [c.335]

Операторы, близкие к самосопряженным. Рассмотрим оператор — где о самосопряженный оператор с дискретным спектром и положительными (для простоты) собственными значениями V/. Введем шкалу пространств отвечающую оператору Ц (см. п. 3 34). Наложим на L два условия [c.335]

Классические динамические функции А (q, р) обобщенных координат и импульсов (фазовой точки) сопоставляются в квантовой теории эрмитовым операторам А с непрерывным или, чаще, с дискретным спектром Ai, которые действуют на волновую функцию l)i(q). Скобки Пуассона [А, В динамических функций [c.220]

Эта конструкция служит только моделью математически строгого определения спектрального разложения операторов с непрерывным спектром [3], [4]). В большинстве квантовомеханич. задач дискретный и непрерывный участки спектра не пересекаются, а случаи, когда точки дискретного спектра погружены в непрерывный, считаются экзотическими. Простейший пример такой ситуации — осциллирующий н медленно убывающий с расстоянием потенциал (т. н. потенциал Вигнера — фон Неймана). [c.606]

Все сказанное в двух последних пунктах легко переносится на случай, когда вместо вполне непрерывного оператора А рассматривается оператор Ь с дискретным спектром. [c.310]

ЛОСЬ в п. 1 31, ряд Фурье со скобками по системе векторов f/ (/=1,2,...) можно записать в виде Pof + +-P/f+ . где проектор, сопоставляющий вектору f часть Е /f,- ряда Фурье с /Л + 1 < / < (в обозначениях п. 1 31). Если fj — система корневых векторов оператора L с дискретным спектром и собственные значения, ,, отличны соответ- [c.337]

Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложении формулы выписывались применительно к дискретному спектру собственных значений. В случае непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных значений X. Собственную функцию, принадлежащую собственному значению Х, обозначим причем предполагается, что число /С изменяется непрерывно. [c.108]

В тех случаях, когда область D определения <р бесконечна или когда параметры оператора С нерегулярны в области D, т. е. имеют в этой облает особенности, кроме дискретного (точечного) спектра, вообще говоря, может появиться плотное распределение (континуум) собственных значений оператора. L. Этот континуум, соответствующий сингулярным собственным функциям, на зывается непрерывным спектром оператора L. [c.214]

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму все С. з. таких операторов представляются в виде с , <р IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра а А) оператора А. Число А. принадлежит спектру. оператора, если резольвента оператора А, Л(Я) = (Я/ — А)- , будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [они будут изолированными (дискретными) точками а(.4)1. Однако помимо этих точек а А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек Я, для к-рых оператор Д(Я) определён, но не ограничен. В обычном смысле таким Я не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением. [c.568]

Краевая задача (2.8) —(2.10) представляет задачу на собственные числа, где роль собственного числа играет полная энергия элементарной ячейки w. Поэтому решение задачи су- ществует только для вполне определенного множества значений W. Если это множество дискретно, то говорят о дискретном спектре если множество непрерывно, то говорят, что спектр — сплошной. Оператор W — самосопряженный, поэтому для конечной области V собственные числа да образуют действительное счетное множество. Для механики разрушения наибольший интерес представляет состояние с наинизшей энергией Шо в этом состоянии система может находиться сколь угодно долго. Другие стационарные состояния системы, соответствующие большим W, обычно квазистационарны, так как под действием внешних электромагнитных волн система через определенное конечное время с вероятностью, близкой к единице, переходит в более устойчивое состояние с меньшей энергией. Вблизи точки w = Wo на основании соотношения (2.13) нет других возможных стационарных состояний системы. [c.30]

В квантовой механике любая динамическая переменная представляется эрмитовым оператором, имеющим некоторый спектр собственных значений. Поэтому в квантовом случае соотношения (1.2.77) естественно интерпретировать как соотношения для собственных значений координат и импульса частицы. Иначе говоря, будем считать, что в результате применения операции обращения времени к собственным состояниям операторов координат, мы получаем состояния с теми же собственными значениями, а в результате применения этой операции к собственному состоянию оператора импульса получается состояние, в котором частица имеет противоположно направленный импульс. Повым обстоятельством в квантовой механике является то, что частица может обладать спином. В этом случае ее квантовое состояние характеризуется дополнительной дискретной переменной — проекцией спина а на некоторую ось квантования. По аналогии с моментом импульса, проекция которого меняет знак при обращении [c.39]

Свойства оператора К и функции V (с) определяют соответствующие свойства оператора Ь. Для последнего, как для самосопряженного оператора в всегда возможно спектральное разложение, но спектр может быть частично дискретным, частично непрерывным. Точкам дискретного спектра (собственным значениям) соответствуют собственные функции, принадлежащие точкам же непрерывного спектра (обобщенным собственным значениям) не соответствуют никакие интегрируемые с квадратом собственные функции, хотя можно найти обобщенные собственные функции, не принадлежащие (вообще говоря, это не обычные функции). [c.88]

Характерная черта рассмотренных в 2 моделей линеаризованных интегралов столкновений — их связь с ограниченными операторами с чисто дискретным спектром (с бесконечнократно вырожденным собственным значением). Действительно, упомянутые выше операторы столкновений можно представить в виде [c.107]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

В случае же конечной апертуры (что соответствует введению черного экрана с отверстием Е) дискретный спектр не пуст, и существуют собственные функции оператора [c.472]

Отметим, что данная лемма относится к непрерывной части спектра оператора А, а не к непрерывному спектру. Это означает, что С может не обращаться в нуль самое большее в дискретных точках спектра оператора А. Если весь спектр оператора А является непрерывным, то оператор С должен равняться нулю. Другими словами, ни один ненулевой вполне непрерывный оператор не может коммутировать с унитарным оператором, спектр которого состоит только из непрерывного множества точек. [c.195]

Пусть L — оператор с дискретным спектром в ф и Л = (L — го/)" при каком-нибудь хоШЪ Ь). Обозначим через SJ (/=1, 2,. ..) собственные значения самосопряженного положительного оператора АА, занумерованные с учетом алгебраической кратности так, что при всех /. Положительные числа s, называются s-числами оператора А. Их зависимость от jiq несущественна. Наложим на L следующие условия [c.345]

Подпространство 5Ш = 2 (ц) конечномерно, поскольку —оператор с дискретным спектром, и инвариантно относительно Ф, так как Ф перестановочен с( —ц) ". В некотором базисе подпространства ЗЯ матрица оператора Ф в Ш будет жордановой, причем в силу сказанного в предыдущем абзаце ее собственные значения являются корнями квадратного уравнения л==Я —Я , [c.401]

Пример 2. Пусть Яо—положительный оператор с дискретным спектром и такой, что Яо Е 61. Тогда при Я = —Яо разность Я — Е 61, Х>(Я) = Х>(Яо) и Н Но. Функция спектрального сдвига (А) = (А Я,Яо) для этой задачи полностью определяется формулой (2.20). Считая (0) = О, найдем, что (А) О при всех А и (А) 4-оо при А оо. В то же время для отрицательного возмущения ФСС должна была бы быть полуограниченой сверху. [c.385]

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными к служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада Г равносильна отсутствию у оператора II к,-л. собственных ф-ций с собственным значением единица , кроме постоянных все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание — это отсутствие собств. значений, отличных от единицы в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же — счётнократный лебегов-скин спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в ситуация обратная всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром — семейство сдвигов на торе. [c.630]

Метод Абеля. Мы приведем здесь принадлежащее В. Б. Лидскому [50] определение свойства системы f/ корневых векторов оператора Ь с дискретным спектром (или вполне непрерывного оператора А), промежуточное между полнотой и базисностью со скобками. [c.304]

Исходя из физического смысла, можно с уверенностью утверждать, что в рассматриваемой обычно и здесь диффузионной трактовке процесса переноса тепла в среде сингулярных решений оператор переноса тепла не имеет. Иначе обстоит дело при рассмотрении процесса переноса тепла на уровне молекулярных явлений. В этом случае строгий учет молекул — переносчиков тепла, длительное время не испытывающих соударений, несмотря на их малочисленность, привел бы к необходимости использовать сингулярные собственные функции наряду с функциями дискретного спектра. Разумеется, для описания переноса тепла при этом пришлось бы отойти от простейших дифференциальных уравнений диффузионного типа и прибегнуть к интегродифференциаль-ному уравнению Больцмана. [c.98]

В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве) и появляется третья возможность (III) ур-ние Ах = кх имеет лишь нулевые решения в но резольвента (X/ — М) не определена на всём Объединяя вторую (точечный, или дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спект-р ы) возможности, С. о. называют множество таких Я, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём При этом Я принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора X/ — А плотна в Я, и остаточному — в противном случае. У ограннчевшых самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует. [c.605]

Изложенная выше теория собственных функций относилась к максвелловским молекулам. Для немаксвелловских молекул с конечным радиусом взаимодействия, как уже отмечалось в начале параграфа, полный оператор /,(ф) имеет непрерывный спектр собственных значений. Однако можно преобразовать этот оператор так, что спектр нового оператора оказывается дискретным. [c.209]

Нри наличии дифракционных потерь дискретный спектр оператора Ь должен быть дополнен системой собственных функций, собственные значения которых образуют непрерывный спектр. В литературе уделено большое впимапие проблемам, связанным с разложением по такой расширенной системе собственных функций. В частности, можно порекомендовать книгу [37]. Однако в нашем случае эти обстоятельства не имеют особого значения. Известно [38], что путем сколь угодно малого изменения вида оператора Ь можно добиться того, что новый оператор уже будет обладать полным набором собственных функций. Так как любой физический процесс мы всегда описываем приближенно (например, используем параксиальное приближение и проч.), то [c.128]

Эта теорема в известной мере отражает целое направление в теории несамосопряженных операторов. Оно начато в работах М. В. Келдыша [44], [45], где для более общих, чем здесь, операторов в Ь доказаны дискретность спектра, полнота и неравенство arg[ij < <8(/ /о(е)) со сколь угодно малым е > 0. Для s = 0 при менее жестком условии, чем 2), утверждение (35.1в) принадлежит А. С. Маркусу [52] (см. также [37]), утверждение (35.16) с у О — В. Э. Кацнельсону [42, 43] и утверждение (35.1а)—В. Э. Кацнельсону и В. И. Мацаеву (см. 43]). В [43] содержится также последнее утверждение теоремы 1 для у О. В высказанной здесь форме теорема 1 легко выводится из предложений 1—3 в [28]. [c.336]

Снектральпый анализ, развитый первоначально д.чя интегральных операторов с ядром К (х, у), определенным и непрерывным в нек-рой ограниченной области, затем был распространен на линейные операторы других типов, напр, интегральные операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в пеограпичепио области, дифференциальные операторы и т. д. (Сказалось, однако, что переход к таким операторам приводит к существенным осложнениям, т. к. д.ш них собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычпом смысле, могут вообще не сухцество-вать. Поэтому для них спектр должен быть определен пе как совокупность собственных значений, а как совокупность тех значений X, для к-рых оператор А — XEУ не существует или является неограниченным оператором. Все собственные значения оператора принадлежат спектру, их совокупность образует дискретный спектр, остальную часть спектра низ. [c.5]

Таким образом, — собственные функции оператора II с соответствующими собственными значениями в . Множество z р Е , называемое дискретным спектром оператора 11 образует полную ортонорми-рованную систему в 7 2(М, л). Тем самым мы приходим к следующему определению. [c.32]

Примечание. Свойство 3 делает понятным, почему мы определяем след на 91+, а не на Ъ Ж). Предположим, что А — самосопряженный оператор с (невырожденным) дискретным спектром, точки которого совпадают с членами неабсолютно сходящегося ряда. Изменив порядок соответствующих собственных векторов (путем подходящего унитарного преобразования пространства Ж), мы можем добиться, чтобы след сходился к любой наперед заданной действительной величине. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...