Плоские гармонические функции

Показать, что если V—плоская гармоническая функция, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа [c.80]

Определение компонент напряжений и перемещений в полубесконечном теле при плоской деформации с помощью плоских гармонических функций. Как показал автор ), компоненты напряжений и перемещений в плоско деформированном полубесконечном теле из упругого сжимаемого (или несжимаемого) или чисто вязкого материала, нагруженного на граничной плоскости заданными распределенными напряжениями — нормальными Oy=f x) либо касательными Тхг/ = / (л ) — можно определить путем решения первой краевой задачи для плоской гармонической функции. Хотя при определении формул для напряжений можно использовать функцию напряжений F x,y), мы убедимся, что их можно также определить с помощью плоских гармонических функций, не прибегая к бигармонической функции(л , ). [c.263]

Мы видим, что в эти формулы входит только одна плоская гармоническая функция V вместе с ее производными [c.265]

Плоские гармонические функции 184. [c.449]

В упоминавшейся выше (см. 5) работе В. И. Моссаковского [91] при решении задач для полупространства вводились плоские гармонические функции, которые выражались через аналитические функции комплексного переменного, и указанные задачи теории упругости при- [c.224]

Метод решения проблемы кручения. Так как tp есть плоская гармоническая функция, то должна существовать сопряженная гармоническая [c.328]

Задача приводится, таким образом, к нахождению плоской гармонической функции, удовлетворяющей этому последнему условию. Еслн оставить в стороне аддитивные постоянные, то функции tp и ф определяются однозначно i). [c.328]

В 32 было показано, что для изотропного однородного тела, когда отсутствуют массовые силы, объемная деформация является гармонической функцией в случае плоской деформации имеем [c.118]

Отсюда следует, что любая бигармоническая функция и, в частности, функция Эри, через производные которой определяются напряжения и перемещения в плоской задаче, может быть представлена в общем ваде через три гармонические функции, две из которых (р и q) сопряженные [c.234]

Наличие функции Грина для пространства с плоским круговым разрезом автоматически приводит к решению смешанной задачи для полупространства, когда в области, совпадающей с разрезом, задано значение гармонической функции, а на оставшейся части границы ее нормальная производная равна нулю. Естественно, что последнее ограничение может быть легко устранено преобразованием исходной краевой задачи при наложении частного решения задачи Неймана для всего полупространства. [c.110]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Заметим, что если граничная поверхность 2 простирается до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведении гармонических функций в бесконечности недействительно. В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное исследование, в частности, это необходимо для плоских задач, в которых поверхности 2 — бесконечные цилиндры. Однако и в этом случае требование об исчезновении скорости при удалении от внутренних границ области в бесконечность и требование об однозначности потенциала гарантируют единственность решения рассматриваемых основных краевых задач. [c.173]

Известно, что в плоской задаче теории упругости сумма главных напряжений является гармонической функцией [c.65]

Самый простой способ построения плоского потенциального течения несжимаемой жидкости заключается в численном решении краевых задач для уравнения Лапласа относительно различных гармонических функций, связанных с течением. Решение находится во всей области течения (для решетки — в полосе одного периода) путем последовательных приближений с применением различных вариантов известного метода сеток [57]. [c.41]

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Следовательно, при постоянных объемных силах сумма нормальных напряжений о + а в плоской задаче теории упругости является гармонической функцией. [c.350]

При решении плоских задач в декартовых координатах гармонические функции часто выбираются в форме однородных гармонических полиномов, равных вещественной (Re) или мнимой части (Im) степеней z = х + iy [c.476]

Стационарное распределение температуры. Температура в стационарном тепловом режиме при плоской деформации (средняя температура в обобщенном плоском напряженном состоянии) задается гармонической функцией координат [c.559]

Наименование обусловлено тем, что рассмотрение плоской деформации тела из такого материала сводится к нелинейной краевой задаче теории гармонических функций. Можно назвать этот материал полулинейным . [c.645]

Рассмотрим некоторую плоскую область о, окруженную кривой г. Пусть и(х) - гармоническая функция в этой области. Зададим на границе г источники интенсивностью ст( ). Тогда значение [c.174]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

Мы уже показали, что функция в , определенная формулой (19), является гармонической функцией двух переменных, следовательно, уравнение (20) удовлетворяется. Таким образом, полученная для X формула (66) удовлетворяет всем тем требованиям, которым должна удовлетворять функция напряжений плоского напряженного состояния. [c.525]

Разложение волновой функции в ряд Фурье. Если волновая функция плоских волн Ф = /(ti) = /( — х/с) имеет период Т и /(т]) =/(т1 + Т), то ее можно разложить в ряд по гармоническим функциям [c.165]

Гармонические волны являются наиболее простым частным случаем периодических волн. Для плоских гармонических волн, распространяющихся в сторону положительного направления координатной оси X. потенциал скорости может быть записан комплексной функцией Ф = Л. [c.166]

Плоские гармонические волны. Если Ф1 и Фг в (2.21) являются гармоническими функциями своего аргумента, то волна называется гармонической. Запишем для примера функцию Ф2 в виде [c.20]

Аргумент гармонической функции в (2.29) называется фазой волны. Волна, у которой поверхностями постоянных фаз являются плоскости, называется плоской. Учитывая, что [c.21]

Метод Вайиштейиа, описанный в 2.8, можно применить к задаче о свободных колебаниях пластины, защемленной по контуру. Вспомогательную задачу можно сформулировать следующим образом выбрать последовательность линейно независимых функций Pi(x, у), Рз(х, у),. .., р (х, у), которые являются плоскими гармоническими функциями, и смягчить геометрические граничные условия исходной задачи [c.253]

Итак, обе величины Диш удовлетворяют одному и тому же дифференци-лльному уравнению в частных производных, которое называется уравнением Лапласа. Функции, которые удовлетворяют атому уравнению, назыв<1Ю1Ся плоскими гармоническими функциями. [c.184]

Известно представление осесимметричных гармонических функций ф(г, г) через плоские гармонические функции т з(я , у) (формула Даугола [152]) [c.45]

В работе В. И. Моссаковского [91] при решении основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий пространственные гармонические функции были представлены в форме тригонометрических полиномов по углу 0, и для функций, являющихся коэффициентами полиномов, при помощи формул типа (2.23) и (3.9) были найдены соответствуюпще им плоские гармонические функции. Граничные условия также преобразовывались, [c.47]

При решении многих плоских задач удобно принимать гармонические функции fi хх, Хг) в выражениях (9.85) в форме однородцых гармонических полиномов, определяемых вещественной Re и мнимой Im частями функции о = 2 - комплексного переменного г — Xi + ix . В этом случае представления (9.85) бигармонической функции Ф принимают вид [c.240]

При наличии в теле плоских трещин гармонические функции, входящие в решение (43.12), можно представить в виде комбинации гармонических потенциалов с плотностями, характеризующими раскрытие трещин в процессе деформации тела. Если же раскрытие трещины известно, то по соответствуюпщм формулам легко определить возникающие при этом напряжения в теле. [c.350]

Рассмотрим плоские изгибиые волны. Можно показать, что единственным решением уравнений (12), определяющим плоские волны, является гармоническая функция вида [c.276]

Перейдем теперь к рассмотрению задачи Девисона. Пусть имеем земляную плотину с вертикальными стенками AD и ВС (рис. 3). G DH— непроницаемое горизонтальное основание, — высота воды в верхнем бьефе, — ъ нижнем h и постоянны). Длина основания плотины равна I. Движение считаем плоским установившимся. Тогда, как известно (см. [2, 4, 5, 8]), существует потенциал скорости ф — гармоническая функция, связанная с давлением р таким образом [c.100]

Таким образом, сумма нормальных напряжений в плоской задаче есть гармоническая функция. Это условие носит название уравнения Леви и выведено для обобщенного плоского напряженного состояния. Оно не содержит упругих постоянны.к и поэтому в случае плоской деформации имеет тако11 же вид. [c.61]

Эллиптическая пластинка, имеющая верх (г > 0) и низ (г<0), ограниченная фокальным эллипсом о, представляет одну из координатных поверхностей р = 1 семейства эллипсоидов р = onst в системе эллиптических координат р, [х, v [см. п. III. 11, в частности формулу (III. 11.16)]. Поэтому естественно ввести в рассмотрение потенциал простого слоя со (х, г ро) на поверхности эллипсоида Q (р = ро>1), определив эту непрерывную гармоническую функцию ее значением (и х,у,г рс) на Q. Можно для задачи о плоском штампе по (6.2.6) принять [c.312]

Из этих соотношений следует, что при кручении поперечное сечение стержня, поворачиваясь вокруг оси стержня, не остается плоским ( депланирует ) — его точки смещаются вдоль оси стержня. Обнаружение этого факта является одним из важнейших достижений теории Сен-Венана. Определяющая депла-нацию гармоническая функция ц> х,у) является решением задачи Неймана (2.1.14) по (2,4.5) функция ([> х, у) однозначна в 5. Заметим, что ее разыскание, равно как и функции напряжений Ф, не связано с задачей об изгибе силами Р или Q. [c.380]

С помощью последнего из соотношений (3.12а) функций может представляться довольно широким классом функций, куда входят все гармонические функции плюс-большое количество дополнительных функций, так как коэффициенты а, Ь, с могут принимать любые значения, включая нуль, однако их класс гораздо более ограничен, чем класс бигармонических функций. Такйи образом, выражения (3.12а) можно применять к большому диапазону физических задач, которые, вероятно, включают в себя все те задачи о плоском напряженном состоянии, для которых воз-м ожно получение таких простых решений. Ниже будут построены [c.144]

Решения, содержащие гармонические функции. Если, например, в выражениях (5.19) положить = О и, кроме того, взять V2(t + bJ = —(2/v) (a j у), где V ij) = О, с тем чтобы были удовлетворены уравнения (5.18а), то получим приведенные выше точные решения (3.126) и (3.12в) для плоского напряй енного состояния. Новое решение можно ползгчить, положив в выражениях (5.19) = Ьг = = О, tz — = = — 2/[3(1 — v)] J i )dx, где = 0. Полагая функцию if гармонической, удовлетворим уравнениям (5.18а) (хотя эти уравнения будут удовлетворены и в том случае, если положить функцию ij) бигармонической, что приведет к более общему решению, показанному ниже). С учетом соотношения = О [c.345]

Пусть граница тела расположена вдоль плоскости z = О, т. е. тело представляе г собой пространство с плоскими щелями вдоль одной плоскости или полупространство. Если на границе заданы произвольные нормальные и касательные нагрузки, то эту общую задачу теории употгости можно свести к суперпозиции трех отдельных задач Дирихле для гармонических функций, применяя специальные представления через одну функцию. [c.548]

На рис. 4 изображена плоская гармоническая волна в два последовательных промежутка времени I и с + А1. Для наглядности можно представить, что это волна на поверхности воды, а Ф характеризует отклонение частиц поверхности воды от горизонтальной плоскости. Конечно, при такой интерпретации с является не скоростью света, а скоростью распространения волны относительно воды. Положительные значения Ф соответствуют горбам на поверхности воды, а отрицательные — впадинам . На рисунке изображена небольшая часть волны, включающая в себя два горба и одну ивпадину . Если следить за какой-то фиксированной точкой среды, то будем наблюдать ее колебание по гармоническому закону с течением времени. Например, в точке г=0 этот закон описывается функцией [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...