Простейшая краевая задача

Метод прогонки. Рассмотрим простейшую краевую задачу для линейного дифференциального уравнения на отрезке [а, Ь] [c.20]

Указанные операции приводят к простым краевым задачам для основных (невозмущенных) членов асимптотических последовательностей /о и о [c.183]

Сравнительно подробно трактованы постановка задачи Сен-Вена-на, теорема о циркуляции, вопрос о центре жесткости, вариационные способы решения, тогда как рассмотрение решений для профилей частного вида сведено к минимуму. В гл. VII применение теории функций комплексного переменного ограничено рассмотрением простейших краевых задач, уделено место применениям других средств решения (преобразование Меллина в задаче о клине, операторные решения задач о полосе и брусе с круговой осью). [c.12]

Рассматриваются две наиболее простых краевых задачи определение напряженного состояния в L или по заданному на Г вектору перемещения (первая), или по распределению поверхностных сил (вторая краевая задача). Решение их основывается на очевидной предпосылке, что напряжения в L и на Г однозначны, равно как и перемещения при отсутствии дисторсий. Исключая точки приложения силовых особенностей, задающие их функции непрерывны и, как решения уравнений эллиптиче- [c.544]

В настоящей книге применение комплексного переменного к плоской задаче ограничено примерами решения наиболее простых краевых задач (первой и второй). Смешанные краевые задачи, решение которых требует применения средств теории линейного сопряжения и сингулярных интегральных уравнений, полно представлены в последних изданиях книги [2], а также в [149, 150] в книге [148] основное место уделено применению интегральных уравнений. [c.923]

Указанную выше краевую задачу удается разделить на две более простые краевые задачи. Введем величины [c.262]

Несколько сложнее расширение условия пластичности Треска — Сен-Венана на случай анизотропного тела. В этом направлении наиболее общие результаты получены Д. Д. Ивлевым (1959, 1966). Для анизотропного тела кусочно-линейные условия не только приводят зачастую к более простым краевым задачам, но, возможно, обладают преимуществами и с физической точки зрения (по крайней мере для кристаллов). [c.110]

Простейшей краевой задачей здесь, по-видимому, будет задача Трикоми, в которой граничное условие в дозвуковой области задано на кривой, не ортогональной звуковой линии. [c.216]

По-видимому, впервые плоская контактная задача была поставлена и решена в 1900 г. выдающимся нашим современником С. А. Чаплыгиным [358]. Он рассмотрел общую задачу давления цилиндра на упругую почву , и в предположении малости смещений дал корректную постановку контактной задачи с граничными условиями на невозмущенном уровне почвы . Введя в рассмотрение две аналитических функции комплексного переменного, он свел проблему к простейшей краевой задаче теории аналитических функций и получил ее решение в частном случае штампа с прямолинейным основанием длины 2а. Для давления под штампом С. А. Чаплыгиным получено выражение, совпадающее с (1.51). Однако эта работа не была опубликована автором и была найдена в архивных документах С. А, Чаплыгина. Поэтому в литературе задачу для штампа с плоским основанием принято называть задачей [c.13]

Простейшая краевая задача [c.729]

Принимая во внимание различные понятия, введённые в предыдущих главах, мы можем сформулировать простейшие краевые задачи трёхмерной теории упругости. Будем рассматривать изотропные сжимаемые упругие материалы, которые могут быть и неоднородными. Заданными считаются следующие объекты [c.227]

Используя формулу (11.3), нетрудно указать большое число примеров нелинейных краевых задач Римана, разрешимых в замкнутом виде. Более подробно рассмотрим одну простейшую краевую задачу такого типа, имеющую практические приложения [3] (см. гл II). [c.223]

Чтобы описать метод сращивания асимптотических разложений, рассмотрим простую краевую задачу [c.125]

Указанная функция X z) (обычно называемая в задачах сопряжения канонической) может быть получена в нашем случае на основе решения простейшей краевой задачи типа (2.12) для [c.128]

Краевые задачи, возникающие при расчете толстостенного цилиндра, также весьма сложны, и если отбросить некоторые простейшие случаи, то не известно ни одного решения, которое полностью и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям на боковой поверхности и на торцах цилиндра [129]. [c.307]

Технику применения МКР поясним на очень простом, но характерном примере (рис. 8.3). В симметричной балке найдем прогибы v в узловых точках 7 и 2, решая краевую задачу для уравнения изгиба балки [c.231]

Как уже отмечалось в 3.1, методы решения краевой задачи существенно зависят от того, является ли уравнение линейным или нет. Начнем с более простого линейного случая. Далее будем ограничиваться рассмотрением уравнений второго порядка — применительно к этим уравнениям можно достаточно просто продемонстрировать основные идеи, которые можно применить при решении уравнений любого порядка. [c.103]

Если бы было известно значение искомого решения у (х) в точке X а, то, воспользовавшись граничным условием (3.52), можно было бы найти у (а) и задача свелась бы к задаче Коши. То же получилось бы, если бы было известно значение у а). Следует отметить, что в реальных физических задачах вид функции ф] бывает настолько прост, что решение уравнения (3.52) не представляет вычислительных трудностей. Будем считать у (а) величиной переменной. Каждому ее значению, как уже отмечалось, соответствует значение у (а) и, следовательно, задача Коши для уравнения (3.51). Решение этой задачи Коши определяет значения величин у (Ь) и у (Ь). Следовательно, путем решения задачи Коши можно определить ф2 как функцию у (а), и решение краевой задачи свелось бы таким образом к отысканию корня этой функции, для отыскания которого может быть привлечен практически любой метод, описанный в гл. 2. Лучше, однако, использовать такие методы, которые требуют для своей реализации только знания значений самой функции ф, и не требуют знания ее производных. Одним из таких методов является метод хорд. [c.115]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

При решении краевых задач, естественно, возникает вопрос о разностной аппроксимации краевых условий. Допустим, что решается краевая задача для некоторой области, которая заменяется совокупностью узлов (среди них будут такие, которые окажутся расположенными на границе области и за ее пределами). Оставшиеся узлы делятся на две группы, называемые регулярными и нерегулярными. К первой относятся такие узлы, для которых образованные шаблоны будут состоять только из внутренних узлов, ко второй группе — остальные. В нерегулярных узлах следует получить разностные соотношения, приближенно эквивалентные краевым условиям. Наиболее простой и. [c.173]

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Теперь для исследования краевых задач строятся сингулярные интегральные уравнения на основе потенциалов простого и двойного слоев (исходя из матрицы (1.33)). Распространение альтернатив Фредгольма на эти уравнения происходит автоматически, поскольку сами уравнения отличаются от уравнений статики наличием регулярных слагаемых. Сложность возникает из-за того, что при определенных значениях частоты собственных колебаний решения однородных задач окажутся не единственными. [c.571]

Разностная схема. Ошибка аппроксимации. Обычно при рассмотрении уравненнй эволюционного типа требуется определить решение в некоторой области G по условиям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут быть начальные условия (задача Коши) или начальные и граничные условия (краевая задача). В процессе изложения будем формулировать различные краевые задачи как для уравнений (3.1), (3.2), так и для других простейших гиперболических и параболических уравнений. [c.75]

Введем некоторые понятия, характеризующие близость сеточной краевой задачи и краевой задачи для дифференциального уравнения. Простейшей характеристикой такой близости является величина невязки, возникающей при подстановке точного решения в уравнения сеточной краевой задачи. [c.76]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

Для уравнения (5.16) решаем краевую задачу с однородными условиями (5.14). Это простейшая задача на нахождение собственных значений необходимо определить значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи (5.16), (5.14). [c.132]

Например, при е=0,01, а=1, Л = 0,01 получаем N 9200. Из этого примера видно, что простейшие итерационные процессы, основанные на явных аппроксимациях нестационарной краевой задачи, могут оказаться неэффективными. [c.137]

Таким образом, для определения весовой или параметрической передаточной функции нестационарного объекта необходимо решать краевые задачи вида (3.2.5), (3.2.6) или (3.2.11), (3.2.12), соответственно. Даже для рассмотренного случая, когда оператор задан с помощью простейшего уравнения с частными производными (3.2.1), получить решение этих краевых задач весьма 98 [c.98]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Иногда для решения этих краевых задач теории функций комплексного переменного, поставленных для некоторой известной области Ж, ограниченной контуром С в плоскости г = X -(- гр, удобно пользоваться заменой переменных, связанной с конформным отображением = / (г) области Ж на некоторую простую вспомогательную область Ж в плоскости 5 4- 111 и получать [c.500]

Сигналы проходных ВТП от дефектов. Определение сигналов ВТП от дефектов объекта представляет собой сложную задачу даже в случае обнаружения дефектов простой геометрической формы. Математическая формулировка задач дефектоскопии приводит к краевым задачам теории [c.114]

Отметим, что задача о построении прямого пути, соединяющего начальную и конечную точки Aq и Ai, не является простой. Она приводит к рассмотрению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений порядка 2п, описывающей движение изучаемой механической системы. Если точка Aq соответствует значениям обобщенных координат 2 Qn точка Ai — значениям ql, 2 Qn то ре- [c.468]

Может возникнуть и такая ситуация, при которой в результате третьего этапа решения задачи происходит не удовлетворение, а лишь упрощение граничных условий. Такой случай может встретиться тогда, когда на четвертом этапе предстоит решать дифференциальное уравнение или систему таких уравнений. При этом на четвертом этапе приходится решать краевую задачу, но более простую, чем исходная краевая задача. [c.637]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

Сформулируем простейшую краевую задачу для определения температурного поля в плоской стейке. Условия задачи должны содержать уравнение теплопроводности в форме [c.204]

Наибольшее распространение получили механические методы, которые в основном различаются характером расположения измеряемых баз и последовательностью выполнения операций разрезки и измерения деформаций металла. Напряжения в пластинах в простейшем случае определяют, считая их однородными по толщине, что справедливо только в случае однопроходной сварки. Так как разгрузка металла от напряжений происходит упруго, то по измеренным деформациям вырезанной элементарной пластинки на основании закона Гука можно вычислить ОН [214]. В случае ОСН при многопроходной сварке, применяемой при изготовлении толстолистовых конструкций, распределение напряжений по толщине соединения крайне неоднородно [86—88], поэтому достоверную картину распределения напряжений можно получить либо только по поверхности соединения [201], либо по определенному сечению посредством поэтапной полной разрезки образца по этому сечению с восстановлением поля напряжений с помощью численного решения краевой задачи упругости [104]. Последний экспериментальночисленный метод [104] будет рассмотрен подробно далее. [c.270]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105]

Остановимся на дополнительных трудностях, которые могут возникнуть при решении внутренних задач. Дело в том, что в каждом случае нагрузка, приложенная к телу, оказывается, вообще говоря, несамоуравновешенной и, следовательно, краевая задача — неразрешимой. Для устранения этих трудностей наиболее просто тогда ввести в какой-либо точке силу и момент, компенсирующие неуравновешенность внешней нагрузки, и решать полученные модифицированные задачи. Из условия равновесия тела в целом будет следовать, что в окончательном решении (после суммирования) введенные вспомогательные слагаемые взаимно уничтожаются. [c.598]

Общие результаты теории ползучести нео дно родно-стар еющих тел, полученные в 1,2, справедливы для произвольных ядер вида К — К (Ь, т) - или соответственно К = КН - р (а ), г -Ь р (а ), х]. Однако для приложений этой теории существенное значение имеет выбор ядер такого типа, чтобы они, с одной стороны, достаточно точно воспроизводили основные свойства стареющих материалов в наиболее важных случаях их нагружения, а с другой стороны, приводили бы к постановке краевых задач, допускающих эффективное рещение. Поэтому ниже остановимся лищь на тех неразностных ядрах специального типа, которые позволяют наиболее просто применить теорию ползучести неодно-родно-стареющих тел к решению прикладных задач. Разумеется, выбор ядер для стареющих материалов эквивалентен выбору вида функций для модулей мгновенных деформаций (х) и О (т) и для мер ползучести С 1, т) и со ( , т), ибо, например. [c.60]

Хотя Рыбицки рассматривал лишь композиционный материал сравнительно простого вида — модель пз двух коаксиальных цилиндров из разных материалов, испытывающую обобщенную плоскую деформацию, — использованный в его работе подход может быть, по крайней мере в принципе, обобщен на случай более сложных краевых задач, обычно возникающих при строгом исследовании композитов. [c.228]

Из-за ограничений типа нерастяжимости и несл<имаемости краевые задачи для идеальных волокнистых композитов ставятся иначе, чем при отсутствии ограничений, а их решения обладают некоторыми необычными свойствами. Для того чтобы исследовать эти свойства в возможно более простом случае, в настоящем разделе мы рассматриваем бесконечно малые плоские деформации материалов, армированных первоначально прямолинейными параллельными волокнами. Помимо всего прочего, оказывается, что поле напряжений в идеальном волокнистом материале может иметь особенности типа дельта-функции Дирака, соответствующие приложенным к отдельным волокнам [c.291]

Наиболее простым (но не всегда применимым) (Гпособом сведения краевой задачи к задаче Коши является метод начальных параметров. [c.457]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...