Уравнения термоупругости в перемещениях

Х Уравнения термоупругости в перемещениях 479 [c.479]

Кратко обсудим методы решения уравнений термоупругости в перемещениях [c.482]

Для односвязной области легко доказать единственность решения системы уравнений (17). Доказательство этой теоремы проводится аналогично тому, как это было сделано в 8.2 по отношению к уравнениям термоупругости в перемещениях. Единственность решения будет иметь место, если напряжения принадлежат классу С а перемещения — классу С . [c.534]

Уравнения термоупругости в перемещениях. Используя принцип сложения действия сил, можно разыскивать температурные смещения и напряжения при нулевых внешних силах, а затем сложить найденные величины со смещениями и напряжениями от действия заданных нагрузок. [c.115]

Внося уравнения (2) в дифференциальные уравнения равновесия (12) гл. 1 и опуская объемные силы Х, К, 2 и инерционные члены, получаем уравнения термоупругости в перемещениях ( , V, а постоянные) [c.115]

Если высота включений намного меньше радиуса включения, в уравнениях теплопроводности и термоупругости в перемещениях функции t Orr r R и Огг r-fi заменяем интегральными характеристиками вида [c.87]

Подставляя первые два соотношения (10.33) в соотношения (10.34), в случае одномерной задачи термоупругости цилиндрического тела приходим к следующему уравнению движения в перемещениях [c.344]

Для постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях используется первое из уравнений (1.6.8). Отбрасывая в нем инерционный член —рн и внося в него дополнительный член — вектор объемной силы F, получаем основное уравнение рассматриваемой задачи в виде [c.37]

Сравнивая уравнения (2.2.1) и (2.2.2) с соответствующими уравнениями изотермической теории упругости, можно сделать заключение о том, что постановка квазистатической задачи термоупругости в перемещениях сводится к постановке задачи изотермической теории упругости, если рассматривать в качестве [c.39]

Динамическая задача термоупругости в перемещениях сводится к решению первого из уравнений (1.6.8), в котором температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). Для получения общего решения этого уравнения в форме (1.6.9) требуется исследование волновых уравнений (1.6.14) и (1.6.15). [c.177]

В конце этой главы ( 2.6) приводятся уравнения задач термоупругости в цилиндрических и сферических координатах. Составленные уравнения равновесия в перемещениях в цилиндрических координатах учитывают механическую и термическую неоднородности. [c.38]

Полная система уравнений термоупругости состоит из уравнений движения в перемещениях и сопряженного с ними уравнения теплопроводности. [c.20]

Рассмотрим теперь те уравнения термоупругости, в которых неизвестными величинами являются перемещения и энтропия [c.27]

Для получения полной системы уравнений термоупругости запишем уравнения движения в перемещениях, основываясь на законе сохранения импульса. Для произвольного объема Q, ограниченного поверхностью S, этот закон имеет вид [43] [c.12]

Таким образом, если из уравнений (19.34) или (19.35) определен термоупругий потенциал перемещений Ф, то перемещения, деформации и напряжения находятся простым дифференцированием в соответствии с формулами (19.33), (19.37) и (19.38). [c.411]

Если в качестве независимых переменных выбрать перемещения и энтропию, то система дифференциальных уравнений термоупругости примет вид [c.179]

Следовательно, магнитная индукция превращается просто в источник возмущений в связанных уравнениях термоупругости. Далее упрощаем задачу, выписывая решение в виде суммы трех перемещений и== Ub+Ut + U и суммы двух температурных полей T = Ti + T%. Уравнения (1) — (3) разделяются на следующие уравнения [c.102]

Возможность снять существующее ограничение для трехмерных температурных полей может быть подтверждена с помощью соотношений теории упругости и термоупругости [3], преобразованных для случая [X = 0,5 и не содержащих коэффициентов 1/(1 — 2[г). Уравнения в напряжениях не содержат таких коэффициентов и допускают непосредственную подстановку л = 0,5 [5]. Уравнения в перемещениях допускают такую подстановку после устранения [c.68]

При решении задач термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях (2.1.3), удобно пользоваться системой уравнений в напряжениях, которые получаются, если из уравнений (2.1.1), соотношений (1.5.11) или (1.5.13) и соотношений (1.2.2) исключить перемещения и деформации, выбрав в качестве неизвестных шесть компонентов тензора напряжения о,-,-. [c.39]

Полагая в уравнении (2.2.1) из = ш = 0, получаем следующие два уравнения, к решению которых сводится решение задачи термоупругости о плоской деформации в перемещениях [c.84]

Для постановки плоской задачи термоупругости в напряжениях в случае многосвязных тел необходимы дополнительные уравнения, определяющие однозначность перемещений ( 4.2). В многосвязных телах, находящихся в стационарном плоском температурном поле, в связи с неоднозначностью перемещений напряжения в плоскости хОу, вообще говоря, не равны нулю. [c.88]

Зная температурное поле, выбираем выражение для термоупругого потенциала перемещений, являющееся частным решением уравнения (6.1.6), в виде [c.159]

Представление общего решения квазистатической задачи термоупругости в форме, удобной для практического применения, предложил П. Ф. Папкович (1932—1937). В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные вектор и скаляр, а частное решение неоднородного уравнения, соответствующего заданному температурному полю, определяется [c.7]

Полагая в уравнении (2.2.1) %= О, Р = О и учитывая, что все производные по г равны нулю, для задачи термоупругости о плоской деформации получаем следующие два уравнения в перемещениях [c.96]

В настоящей главе динамическая задача термоупругости рассматривается без учета взаимодействия полей деформации и температуры, т. е. предполагается (в соответствии с классификацией задач термоупругости 1.8) несвязанной. Такая динамическая задача при упругих Я,, Lt и термическом ат коэффициентах, зависящих от температуры, сводится к решению уравнения (1.8.9) при определенных начальных и граничных условиях, которые задаются либо в перемещениях, либо в напряжениях температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). При постоянных упругих и термическом коэффициентах уравнение (1.8.9) переходит в (1.8.6) Представление общего решения этого уравнения известно. [c.251]

Функция грина и общие представления решений. Построению функций грина для уравнений термоупругости посвящены работы 16Ь—с, 35а, 39Ь]. В случае квазистационарной задачи [35а] для неограниченной среды определены функции Грина и получены формулы для перемещений и температуры. В работе [c.237]

В работе [35с] получена формула Кирхгофа для потенциала перемещений Ф, выраженного через значения потенциала и его нормальной производной на поверхности тела. Для Ф найдено разложение по малому параметру сопряжения 8 путем разложения по 8 функций Грина. Для гармонических колебаний в работе [35(1] получены формула Грина для температуры 0 и формула Гельмгольца для потенциала перемещений Ф. В случае плоских гармонических колебаний [44а] получена формула Вебера для Ф и 0, выраженных через значения Ф, Ф,п, 0, 0,п, на границе области. Оригинальным путем получены в работе [7 аналоги формулы Клапейрона для сопряженной термоупругости, из которых следует единственность классического решения задачи Коши для уравнений термоупругости. [c.238]

В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени. [c.239]

Полученные результаты используются для исследования проблемы устойчивости решения уравнений термоупругости. Доказано, что при отсутствии тепловых источников и массовых сил и при указанных выше условиях решение при 1- оо обладает устойчивостью в следующем смысле энтропия и градиент температуры стремятся к нулю, температура и перемещения или стремятся к нулю, или отвечают в пределе периодическим колебаниям. Последний случай определяется специальным видом граничных условий и может иметь место, например, для теплоизолированного тела. [c.239]

Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—1, 40b, 43а—Ь, 44Ь, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения. [c.245]

В этих уравнениях фигурируют три составляющие вектора перемещения и температура. Замкнутую систему уравнений термоупругости получим, присоединяя к уравнениям (3) уравнение притока тепла [c.89]

Основные уравнения термоупругости можно выразить также через перемещения и энтропию. Если в уравнения (1) подставим соотношения (3) 3.7 [c.89]

Приведем несколько простых примеров решения двумерных задач термоупругости. Начнем с наиболее простого примера, а именно нагревания полого цилиндра осесимметричным образом ). Для определения перемещения иг применим формулу Майзеля (42). Обозначим через V радиальное перемещение, вызванное действием единичной радиальной нагрузки, приложенной к цилиндрической поверхности р = г. Для определения этого перемещения нужно решить уравнение в перемещениях [c.507]

К решению задачи о собственных напряжениях, так же как и в термоупругости, ведут два пути формулировка дифференциальных уравнений в перемещениях или в напряжениях. [c.533]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

Для представления общего решения задачи термоупругости в перемещениях ( 2.2) используются формулы П. Ф. Папко-вича [40], которые являются наиболее удобными для применения, так как они содержат функции, подчиняющиеся сравнительно простым дифференциальным уравнениям, и имеют функ- [c.36]

Решим эту задачу в переме-пцениях. Для этого сначала по формулам (19.7), (19.34) и (19.49) запишем уравнение для термоупругого потенциала перемещений Ф [c.413]

После нахождения температурного поля задача распределения напряжений сводится к задаче линейной несвязанной квазиста-тической теории термоупругости, которую описывают уравнения (1.2)-(1.4). Граничные условия на поверхности тела могут быть заданы в перемещениях [c.16]

В деформационной теории пластичности для анализа напряжений широко используется метод упругих решений, разработанный А. А. Ильюшиным [103]. Названный метод в каждом приближении состоит в решении задачи неоднородной теории упругости. С этой целью уравнения поля для процесса нагружения выражаются в перемещениях . В нулевом приближении принимается решение линейной термоупругой задачи для неоднородного тела с заданными граничными условиями при данной интенсивности поверхностной нагрузки. Если известны деформации, согласно (4.12) можно вычислить эквивалентные деформации. Далее, когда в какой-либо точке возникает текучесть, секущий модуль в Х4.9) ф 2[х при (О == (о(ёу, 0) О, Соотношение напряжений — деформации для рассматриваемого материала дается, например, выражением (4.16), следовательно, можно определить секущий модуль. Это позволяет найти из закона Гука соответствующее напряжение, скажем Wij, Если дулевое приближение является точным, будет справедливо равенство ац = ц. Если же это приближение не является точным, то ищется следующее приближение, при котором значение рассматривается как ис-трчник фиктивных массовых сил /П/ и поверхностных нагрузок д ], определяемых как рт,- = Wi/, /, qi s где / — внеш- [c.135]

В шестой главе на основе представления общего решения уравнений теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Пап-ковича исследуются осесимметричные задачи термоупругости для цилиндра и полой сферы при заданных температурных полях (стационарных или нестационарных). Функциональный произвол в представлении общего решения здесь используется так, чтобы наиболее просто удовлетворить граничным условиям. [c.9]

Во многих ситуациях взаимодействием механических и термодинамических процессов можно пренебречь исследованием такого типа является, например, теория несвязанной термоупругости. В этом случае чисто механические процессы описываются уравнениями (5.43) и (5.44). Система уравнений, образованная (5.43) и (5.44), состоит из четырех уравнений с десятью неизвестными. Нужны еще шесть определяющих уравнений, чтобы сделать систему замкнутой. В несвязанной теории, где не учитывается взаимодействие механических и тепловых процессов, определяющие уравнения содержат только динамические (напряжения) и кинематические (скорости, перемещения, деформации) параметры и часто представляют собой соотношения между напряжениями и деформациями Кроме того, в такой теории поле температур обычно считается известным или, быть южeт, задача теплопроводности решается отдельно и иезави- [c.190]

Пусть в неограниченной термоупругой среде в направлении оси XI движется плоская волна, меняющаяся во времени по гармоническому закону. Эта волна может быть вызвана механическим воздействием (например, массовыми силами, равномерно заспределенными на плоскости, ортогональной оси Х1) или тепловым воздействием (плоскими тепловыми источниками). Плоская волна определяется следующим образом в данный момент времени на любой плоскости, ортогональной оси Х перемещения и температура постоянны. Поэтому функции 9 зависят только от пространственной переменной Х1 и времени 1, Уравнения термоупругости значительно упрощаются [c.98]

Интересный метод решения дифференциальных уравнений термоупругости предложил Зорский ). Этот метод сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений (4) и (5) в систему трех интегродифференциальных уравнений для перемещений щ. Продемонстрируем его для простоты по отношению к неограниченному пространству в предположении однородности начальных условий. Напишем уравнение теплопроводности [c.761]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...