Уравнения связанной термоупругости

Подставляя (1.30) в (1.23), получаем систему дифференциальных уравнений связанной термоупругости для изотропной среды [c.180]

Применяя процедуру проекционного метода с нормированными полиномами Лежандра качестве координатных функций, получаем систему двумерных разрешающих уравнений связанной динамической термоупругости для пластин при четных п [c.124]

Распространение плоских волн в полупространстве для связанной термоупругой среды описывается следующей системой уравнений [3] [c.125]

Далее рассмотрим применение изложенного в п. 3.8 общего подхода к исследованию условий на поверхности разрыва в однородной среде к уравнениям связанной теории термоупругости. Предполагая, что возмущения в рассматриваемой среде распространяются со скоростью В, из закона сохранения количества движения (3.11) в случае малых деформаций используя соотнощение (3.71), получаем [c.96]

Уравнения (4.23) и (4.8) (или (4.18)) вместе с граничными условиями (4.13), (4.14) и (4.15) и первым и третьим равенствами из (4.16) образуют квазистатическую задачу связанной термоупругости. [c.97]

Таким образом, при безвихревом движении (Л=0) общее решение связанной термоупругой задачи (1.6.9) в связи с уравнениями (7.1.6) и (1.6.10) принимает вид [c.179]

Это первая в мировой литературе монография по теории связанной термоупругости. Термоупругость — новая область механики, обобщающая в единое целое две независимые ранее дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности. В книге дан вывод основных уравнений термоупругости, изложены методы их решения, а также сформулированы основные энергетические и вариационные теоремы. Приведен подробный анализ распространения гармонических и апериодических волн. В конце книги в качестве приложения помещен обзор новейших результатов, полученных в термоупругости после выхода в свет польского издания. [c.4]

Под теорией температурных напряжений мы понимали в симметричной упругости такую теорию, в которой пренебрегают связанностью поля деформаций с полем температуры. Упрощения, найденные при пренебрежении этой связанностью, легче всего будет продемонстрировать на уравнениях несимметричной термоупругости 13.5. [c.846]

Вторую из основных общих теорем, а именно теорему о вза- им ности работ, получим из теоремы для связанной термоупругости (из уравнения (6) 13.9). Это уравнение имеет вид [c.847]

Операторным методом и методом предельного перехода получены точные и приближенные уравнения обобщенной теплопроводности для анизотропных и изотропных пластинок и стержней, изотропных оболочек с внутренними источниками тепла. Выведены уравнения связанной и несвязанной термоупругости анизотропных и изотропных пластинок [19—21], несвязанной термоупругости изотропных стержней и оболочек. Для изотропных пластинок с криволинейным краем сформулированы условия теплообмена на подкрепленном крае и условия неидеального теплового контакта. Сформулированы термомеханические граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений на стыке пластинок и подкрепляющих стержней, пластинок и стержневых включений, пластинок и круговых включений. Граничные условия дают, в частности, возможность изучать динамические температурные напряжения в окрестности металлических неоднородностей стеклянных элементов конструкций электроннолучевых приборов. [c.56]

Но в динамике имеем сложную задачу связанной термоупругости. Степень важности различных слагаемых в уравнениях (5.1) — (5.4) можно оценить, рассматривая синусоидальные плоские волны вдоль декартовой оси х [c.119]

Предложенный вариационный принцип позволяет развить различные приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих термоупругие процессы в твердых телах, в частности взаимосвязанные и с учетом конечности скорости распространения тепла. Исходя из того, что принуждение для действительного движения минимально, можно определить, например, конкурентную способность различных способов приведения трехмерных связанных задач термоупругости к двумерным задачам теории пластин и оболочек, различных моделей реальных нагретых упругих тел. [c.136]

Подставляя (5.126) в уравнение (5.114) и определяя обобщенные силы при заданных объемных силах Fi и плотности функции диссипации (5.122), получаем две группы уравнений, описывающих связанные термоупругие процессы при конечной скорости распространения тепла и действии тепловых источников. [c.150]

Для расчета параметров упругой волны, порождаемой взаимодействием частицы с веш еством по термоупругому механизму, используют уравнения связанной теории термоупругости [c.83]

Связанность полей деформаций и температур в приведенной выше полной системе уравнений термоупругости описывается [c.471]

N, где N —число шагов). Возможны две модификации пошагового расчета. Более распространен вариант, в котором по известному состоянию Ri, в начале шага и по приращению внешнего воздействия АВ = (индекс 2 относится к концу шага) находится изменение состояния /S.R = —R . Текущее состояние R (//) находится суммированием приращений AR. В другой модификации расчета [82 ] по состоянию и воздействию В непосредственно находится состояние Идея данной модификации использует тот факт, что от предыстории деформирования можно считать зависящим только поле неупругих деформаций pij (л ), а состояние R определяется по заданному полю pij х) однозначно — из упругого решения. Напомним, что так названо решение краевой задачи термоупругости с дополнительным полем начальных деформаций — в отличие от упругого решения, определяющего реакцию R идеально упругого тела на заданное воздействие В. Таким образом, достаточно суммировать по шагам одно поле неупругой деформации. Это устраняет накопление ошибки, связанной с неточностью выполнения условий равновесия, совместности и физических уравнений (записываемых в первой модификации алгоритма в приращениях и, следовательно, приближенно). С другой стороны, вторая модификация более устойчива по отношению к случайным ошибкам при определении неупругой деформации если в некотором шаге пластическая деформация в какой-либо точке конструкции ошибочно оказалась завышенной, напрял<еиия в ней получатся заниженными и в следующем шаге приращение пластической деформации будет меньше действительного, что частично компенсирует ошибку. [c.207]

Решение связанной динамической задачи термоупругости, описываемой системой дифференциальных уравнений (1.54) и (1.56), оправдано в тех случаях, когда механическое и тепловое воздействия на тело изменяются достаточно быстро, так что инерционные члены pUj оказываются по значению сопоставимыми с другими членами в (1.54). К таким случаям относятся, в частности, распространение и затухание упругих волн [34], интенсивные импульсные тепловые воздействия на поверхности тела и быстрое изменение мощности энерговыделения в объеме. При импульсных воздействиях, когда характерное время воздействия сравнимо с периодом релаксации при переносе тепловой энергии в материале тела (для металлов 10 с [25]) вместо (1.49) следует использовать обобщенный закон теплопроводности qi + t ji = —ЯТ, , который учитывает конечную скорость переноса тепловой энергии и запаздывание значения теплового потока относительно текущего значения градиента температуры. Тогда из (1.47) вместо (1.56) получим [c.21]

Уравнение (1.57) в сочетании с (1.54) описывает обобщенную связанную динамическую задачу термоупругости. Анализ задач такого типа проведен в работе [35]. [c.21]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

Упругая среда является обратимой. Поэтому в уравнении притока тепла (2.31) следует положить 1 = 0. При сохранении второго слагаемого правой части уравнения (2.31) задача термоупругости будет связанной. Наличие этого члена позволяет качественно описать некоторые наблюдаемые явления, например затухание упругих волн. Однако чаще всего этим членом пренебрегают, и задача термоупругости становится несвязанной можно отдельно решить задачу теплопроводности (2.31), (2.32), (2.33), а затем задачу теории упругости, в которой температура считается известной. [c.23]

Как было уже отмечено ранее, связанная задача термоупругости представляет чаще всего только академический интерес. Пренебрегая связанностью, запишем уравнение (4.2) в виде [c.117]

Заметим, что связанные задачи в линейной теории упругости чаще всего представляют академический интерес, ибо величина входящая в (1.35), значительно меньше остальных членов. Поэтому практический интерес представляет рассмотрение несвязанных задач термоупругости. А для таких задач, как было указано в конце 6 гл. 1, после решения отдельно задачи теплопроводности, т.е. уравнения [c.77]

Метод 2. В гл. 12 будет показано, что наличие нелинейностей в исходном дифференциальном уравнении при формулировке МГЭ можно преодолеть посредством модификации члена Q в уравнении (9.11), отвечающего действию внутренних источников. Таким образом, в самом общем алгоритме решения задач диффузии, учитывающем возможность изменения со временем и граничных условий, и интенсивностей внутренних источников, которые к тому же определяются только в результате решения связанных систем дифференциальных уравнений (как в теории консолидации или термоупругости), удобнее следующий процесс пошагового изменения времени. [c.257]

Решение связанных задач динамической термоупругости для пластин сопряжено с большими математическими трудностями, ибо используются системы дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому полученные аналитические решения относятся к простейшим задачам с рядом упрощающих предпосылок. Численные результаты, оценивающие термоупругий эффект при колебаниях пластин в тепловом поле с условиями конвективного теплообмена на поверхностях z= hj2 отсутствуют. [c.133]

Предлагаемый нами подход к решению нестационарны.х задач термоупругости пластин приводит к рассмотрению системы двумерных уравнений теплопроводности (3.15), (3.16) и связанного с одним нз ннх уравнения движения (3.17). Следует отметить, что применение в процедуре проекционного метода любых координатных функций, кроме полиномов Лежандра, приводит к системе, в которой уравнение движения пластины связано со всеми N уравнениями теплопроводности. Действительно, в каждое из соответствующих уравнений теплопроводности входят все функции Ti (или Т) и w. Уравнение движения будет [c.133]

Следовательно, магнитная индукция превращается просто в источник возмущений в связанных уравнениях термоупругости. Далее упрощаем задачу, выписывая решение в виде суммы трех перемещений и== Ub+Ut + U и суммы двух температурных полей T = Ti + T%. Уравнения (1) — (3) разделяются на следующие уравнения [c.102]

Для определяющих законов (4.8), (4.11) система основных уравнений является гиперболической. Поэтому входящий в равенство (4.8) член, связанный с тепловым расширением, при своем внезапном появлении будет генерировать волны сильного разрыва. Эта ситуация аналогична известной ситуации в динамической термоупругости, за исключением того, что в данном случае распространяется упругопластическая граница [c.150]

И. Т. Селезов и Г. А. Кильчинская [2.53] (1964) методом степенных рядов вывели уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний бесконечной термоупругой пластины. Они исходили из уравнений связанной термоупругости для слоя [c.141]

В некоторых, редких случаях для иллюстрации обсуждаемых вопросов приводится краткая информация — уравнения и комментарии к ним —без подробного вывода и обсуждения метода их решения (теория тонких стержней Кирхгоффа — Клебша, теория связанной термоупругости, пиро- и пьезоэлектрического эффектов). [c.9]

Связанные термоупругие процессы в сплошной среде сопровождаются диссипацией энергии. Это обстоятельство должно быть принято во внимание при построении канонических уравнений. Одним из известных в аналитической механике дискретных систем методов получения канонических уравнений в гамильтоновой форме при описании диссипации квадратичной функцией обобщенных скоростей является нахождение преобразований, приводящих канонические уравнения к гальмиль-тоновой форме. В работе [78] предлагается метод зеркальных отображений. Следуя этому методу, рассматриваемую систему с диссипацией дополняют гипотетической, где рассеиваемая в исходной системе энергия поглощается. С помощью этого математического приема получают составную систему, где [c.152]

Уравнения связанной задачи термоупругостн. Основные соотношения теории термоупругости базируются на предположении, что температурное поле может быть рассчитано или определено экспе- [c.187]

Глава V посвящена изучению неупругого поведения, причем особое внимание уделяется термомеханически простым материалам и материалам с памятью. Выводятся общие уравнения движения и теплопроводности для конечных элементов таких материалов и описывается ряд применений этих уравнений к некоторым избранным задачам, в частности к задачам линейной и нелинейной связанной термоупругости и нелинейной связанной термовязкоупругости. [c.8]

Если теплоизоляция отсутствует или же процессы не настолько медленны, чтобы все время существовало температурное равновесие с окружающей средой, часть механической энергии, превращающейся в тепло, будет рассеиваться. Совместное рассмотрение уравнений теории упругости с температурными членами и уравнений теплопроводности позволяет ставить так называемую связанную задачу термоупругости. Обнаруживаемые при этом эффекты незначительны и в эксперименте их трудно отличить от эффектов, связанных с внутренним трением. Поэтому исследование эффекта температуры в теории упругости почти всегда основывается на уравнениях Дюамеля — Пеймана (8.6.1), в которых модули упругости считаются постоянными п не зависящими от характера термодинамического процесса. [c.253]

Аналитическое решение краевой задачи (418)—(420) в замкнутой форме для тел сложной геометрии с учетом многосвязности не представляется возможным. Известны частные решения для одномерных задач при парной связанности в теории термоупругости [549, 550]. Общее решение требует численного анализа уравнений (418)—(420) на базе конечно-элементной процедуры и модификаций как в связанной, так и в несвязанной постановках [551] с программным обеспечением Y12M [552] и МА [553], построенных на стратегии Марковица [554]. [c.349]

Общая теория эластомерного слоя позволяет эффективно решать задачи статики и термоупругости. Два независимых малых параметра в уравнениях упругости, связанные с малой относительной толщиной и малой сжимаемостью материала, входят в уравнения слоя в виде одного совмещенного параметра. Смешанные задачи упругости для полосы и слоя ранее рассматривались в ряде работ, в том числе математического характера (задачи о действии штампа и др.) [3, 28]. Их результаты не применимы к эластомерным материалам, так как асимптотик ческие разложения не учитывают малый физический параметр. [c.299]

Связаннал динамическая нестационарная задача линейной теории термоупругости для анизотропной неоднородной среды заключается в интегрировании трех уравнений движения [c.76]

Среди неразрушаюш,их механизмов оптической генерации звука наиболее универсальным является термоупругий, связанный с деформацией кристалла при его оптическом нагреве. Поглощенная оптическая энергия в процессе термализации частично передается в акустическую подсистему твердого тела, распределяясь между когерентными и случайными волновыми движениями решетки. При термоупругой генерации звука источники акустических волн являются объемными — возбуждение акустических волн происходит во всей области нагрева. Поэтому термоупругая генерация акустооптических импульсов описывается неоднородным волновым уравнением. В простейшей ситуации, когда лазером облучается свободная поверхность полупространства 2 0 (рис. 3.34), в кристалле возбуждаются только плоские продольные волны для колебательной скорости имеем уравнение [c.161]

Наличие члена ijToeij в уравнении (1.22) отражает связанность полей деформаций и температур. Если этим членом можно пренебречь, то говорят о несвязанной термоупругости. [c.178]

Как было только что отмечено, для расчета г и результирующего напряжения на рис. 4 использована теория несвязанной термоупругости. Как видно из уравнения (8), поправочные решения u . Т2 обусловлены двумя источниками d Urldxdt, d Ue/dxdt. Первый источник является поправкой к самой термоупругой волне. Его влияние хорошо известно оно приводит к затуханию волны Мг. В работе [9] было показано, что основное влияние связанной теории проявляется в поведении разрывов в решении и что (связанное) решение в начальные моменты времени мало отличается от результатов вычислений по несвязанной теории лишь при больших значениях времени влияние термического взаимодействия становится заметным . Таким образом, можно оценить, что поправка, обусловленная членом d ur/dxdt, сглаживает разрыв и приводит к затуханию волны. Расстояние затухания можно оценить по вычислениям Новацкого [15]. Волна на рис. 4 характеризуется осцилляциями с безразмерной длиной волны Л=5 и частотой в реальном времени со= —2n //5(j=2,0 10 //с для алюминия. Из табл. 1 гл. V книги [c.108]

Теории связанного термомеханического поведения учитывают взаимосвязь- напряжений и температуры. Неоднородное температурное поле создает напряжения, в свою очередь деформационные процессы приводят к изменениям температуры и образованию в телах тепловых потоков. Поэтому энергетическое уравнение теплопроводности содержит дополнительный член, обусловленный тепловыми источниками, связанными с деформациями. Характерной особенностью такой связанной теории является совместное определение температуры и деформаций. В теории линейной термоупругости проблема хоро-що изучена и тщательно разработана в монографиях В. Но-вацкого [187, 188]. [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...