Решение задач А и В для системы Теоремы единственности

Это — единственная из четырех общих теорем динамики, в формулировку которой входят не только внешние, но и внутренние силы. Наличие в формулировке теоремы внутренних сил несколько усложняет решение задачи. Если, однако, требуется определить внутреннюю силу, то решение задачи с помощью общих теорем динамики возможно только при применении теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек. [c.305]

В этом параграфе мы доказали, что система (5.1), (5.2) при заданных внешних силах однозначно определяет напряженное или деформированное состояние тела. В приведенном доказательстве теоремы единственности решения упомянутых граничных задач, которое дано Кирхгофом, тело может быть принято как односвязным, так и многосвязным. [c.86]

Важная роль производящей функции в задаче о движении. В теории канонических преобразований нет более важной теоремы, чем та, которая утверждает, что произвольное каноническое преобразование полностью характеризуется заданием одной-единственной функции S — производящей функции этого преобразования. Подобным же образом и канонические уравнения характеризуются одной функцией —функцией Гамильтона Н. Эти две фундаментальные функции можно связать между собой определенными соотношениями. Для решения задачи о движении достаточно рассмотреть функцию Гамильтона и попытаться упростить ее с тем, чтобы канонические уравнения стали непосредственно интегрируемыми. С этой целью можно применить подходящее каноническое преобразование, причем это преобразование зависит от одной функции S. Поэтому вместо решения целой системы канонических уравнений можно свести задачу к решению одного уравнения, дифференциального уравнения в частных производных. [c.264]

Таким образом, система (7.8) имеет определитель нормального типа. Для идеально упругого тела определитель не равен нулю в силу теоремы единственности решения данной задачи [63]. Для вязко-упругого тела из-за потерь энергии не могут существовать незатухающие во времени свободные колебания, поэтому определитель также не может обращаться в нуль. [c.151]

Но последний ряд сходится (это можно установить аналогично тому, как II в случае ряда (7.10)), так как Rk + Rq следовательно, определитель системы (8.8) является определителем нормального типа. Согласно теореме единственности решения рассматриваемой граничной задачи и ограниченности величин система [c.187]

Случайные движения — тоже объекты другого мира, отделенного высоким барьером от мира детерминированных динамических систем. В качестве этого барьера выступает, казалось бы, трудно опровержимый или игнорируемый довод — теорема о единственности решения задачи Коши, гласящая, что решение системы дифференциальных уравнений однозначно определяется начальными условиями. Следовательно , делали вывод приверженцы традиционных взглядов, ни о какой случайности не может быть и речи. С формальных позиций это простое соображение — не только довод против стохастичности движений простых динамических систем с небольшим числом степеней свободы, но и неопровержимый довод против всей классической статистической механики и физики. Однако в статистической механике и физике он не опровергается, а обходится с помощью уловки — ссылки на очень большое число частиц, ссылки, оставляющей чувство неудовлетворенности, но позволяющей как-то примириться с противоречием. [c.82]

Эти особые сочетания частот и параметров представляют значительный интерес для теории дифракции именно потому, что при них суш,ествуют решения однородного уравнения, так называемые собственные колебания. Совокупность этих собственных колебаний — например, для упомянутых дискретных частот — при фиксированных параметрах системы образуют систему функций, используемых в одном из методов решения задач дифракции (гл. П1). Задача дифракции при этом решается в обычных условиях, при которых решение существует и единственно (например, при другой частоте), но используются решения, соответствующие особым условиям, когда теоремы существования и единственности нарушены. [c.40]

Кривой вида (1.13) можно аппроксимировать достаточно точно опытную кривую (Ti — ei для большинства металлов. Как известно, степенная кривая (1.11) всегда будет иметь расхождение с опытной кривой хотя бы на начальном участке, для его аппроксимации нужен полином (1.13), который предполагает сложное нагружение (1.14) при наличии объемных сил (1-10) для выполнения условий применимости теории малых упруго-пластических деформаций. Заметим, что в силу теоремы единственности решения задачи теории малых упруго-пластических деформаций для данной совместной системы деформаций (1.1) для данной функции (1.13) сложное нагружение (1.14), при котором деформация будет простой, будет единственным. Заметим, что для несжимаемого тела сг в (1.9) — произвольная дифференцируемая функция координат, поэтому из (1.10) массовые силы определяются с точностью до потенциального поля, а поверхностные — до соответствующей нормальной нагрузки. [c.138]

Решение задач А и В для системы (4.11). Теоремы единственности. [c.606]

Имея в виду доказать теоремы единственности , т. е. что система уравнений (1), (2) может иметь только одно определенное решение для каждой из названных основных задач, выведем сперва одну важную формулу. [c.72]

Подставляя значение Со в систему (5.47), получим относительно коэффициентов Сх, С2,. . ., С х систему п—1 линейных уравнений. Эта система однозначно разрешима на основании теоремы единственности решения основной смешанной задачи. [c.55]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Теперь докажем теорему существования для уравнений (8.64г, а). Для этого прежде всего заметим, что из предыдущего и из теоремы единственности для задачи (А) (теорема 9) вытекает, что однородные уравнения, соответствующие уравнениям (8.64 , Д могут иметь только тривиальные решения. Обращаясь к построению решения системы (8.64 , д замечаем, что из (8.64 ) можно получить для точек Хд 1 предельным переходом изнутри уравнение [c.279]

Качественные свойства. Очевидно, что гиперболическая система (7) является симметрической (см. 7). Поэтому для нее справедливы все выводы, полученные для уравнений одномерного движения в 15. В частности, верны теоремы единственности решения задач Коши и Гурса, а также некоторых смешанных задач. Теорема существования гладкого решения. [c.264]

Теорема 2.1 (Коши) [65, с. 365]. Если правые части системы (2.1) аналитические в области V, то система имеет единственное решение задачи Коши, аналитическое в окрестности точки 8= о представимое рядами [c.17]

Иными словами, предположение о возможности наличия двух разных напряженно-деформированных состояний, соответствующих одним и тем же силам и закреплениям, сделанное в самом начале обсуждения вопроса, является неправильным. На самом деле одной системе внешних сил (объемных и поверхностных) и закреплений в случае линейной задачи теории упругости соответствует одна и только одна система функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние тела. В этом и состоит теорема о единственности решения линейной задачи теории упругости. Вопрос о перемещениях (единственности или неединственности) будет обсужден более подробно ниже. [c.626]

Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы существования и единственности. Рассмотрим первую и вторую основные граничные задачи с постановкой этих задач мы познакомились в 2 гл. II. Правда, здесь речь идет уже о построении решения системы уравнений (8.4). Разыскивая решение первой задачи в виде потенциала двойного слоя первого рода, а решение второй — в виде потенциала простого слоя первого рода, получим на основании [c.265]

Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8]

Теорема 2.2. [36, 50, 59]. Пусть задача (2.6) имеет единственное решение и оператор А В вполне непрерывен в Н . Предположим также, что последовательность подпространств Н предельно плотна в Яд. Тогда при достаточно малых к задача (2.7) и система (2.9) однозначно разрешимы, и и в На при к О и справедлива оценка (2.10). [c.42]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Каждый этап полностью описывается приближенными формулами [56 с учетом касательных смещений точек границы. Произведя выкладки, соответствующие процедуре сопоставления точек gi 2 и (Oi,2), получим систему двух линейных уравнений относительно йо, о с остаточными членами сг(г5о, г ь). Коэффициенты системы непрерывно зависят от liJj, w S) в некоторой окрестности основного решения. Следовательно, условия теоремы будут выполнены, если определитель системы не равен нулю, т. е. если решение задачи в вариациях единственно. Ввиду громоздкости выкладок предпочтительнее оказалось получить независимое доказательство несуществования двух близких профилей с одинаковым годографом. Это доказательство приводится в п. 3. [c.152]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Доказательство полной теоремы единственности будет завершено, если мы установим монотонное возрастание величины Л (а)=Г(1) с ростом параметра а, так как в этом случае значение iV = 1 может достигаться только при единственном значении а. Речь все время идет, разумеется, о таком множестве значений параметра а, при которых решение задачи Коши (6), (4), (55) продолжимо вплоть до ж = 1. Если временно считать параметр N данным и выбрать Сз в соответствии с (10), то для системы (12), (16), (20) получится краевая задача со следующими условиями s(0)=F(0)=0, F(l) = . При этом параметр а = Г (0) определится соотношением [c.52]

Теоремы единственности играют особо важную роль для математического изучения задач физики и механики без исследования единственности (или неединственности) решения математической задачи нельзя утверждать, что полученное решение действительно описывает исследуемое физическое состояние. Кроме того, мы увидим, что интересующие нас задачи классической теории упругости, микрополярной упругости и термоупругости приводят к определенным системам линейных сингулярных интегральных уравнений и для этих систем остается в силе классическая теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Благодаря этому, из теорем единственности мы получим также теоремы существования. [c.120]

Ср, —упругие постояйные. Ра сшотрены колебания прямоугольной пластины с четырьмя свободными краями. Решение системы (19.30) и (19.31) нельзя построить в замкнутой форме, т. е. в виде конечного числа элементарных функций. По этому вводятся некоторые упрощения, которые показывают, что уравнение обобщенного плоского напряженного состояния можно не учитывать при исследовании изгибно-крутиль-ных движений. В такой постановке задача решена. Доказана теорема единственности. Определены резонансные частоты, и показано хорошее соответствие между полученными теоретическими и известными экспериментальными результатами. [c.130]

Система (6.6), (6.7) в точности такая же, как и (5.5), (5.7) и существование V, р) е 1 5 ) х В) следует из единственности. Допуская, что 9 = Ф = О, мы сначала доказываем, что плотности V, р непрерывны, а затем из теоремы единственности 2.3 выводим, что они равны нулю. Существование решения с непрерывными плотностями получается теми же рассуадениями, чго и в случае задачи Неймана. Теорема 6.1 доказана. [c.378]

Что же касается условий существования и единственности траекторий системы, то дополнительно отметим весьма полную теорему существования, изложенную в уже упоминавшейся работе Немыцкого и Степанова [19], а также теорему Лефшеца [21,22] и теоремы [23], определяющие достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши с фазовыми ограничениями. Отметим, кроме того, работу [24], в которой обсуждаются достаточные и необходимые условия асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем при рассмотрении необходимых условий вводятся функции, отличные от функций Ляпунова. [c.27]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Условия существования поставленной в 1 задачи Коши совпадают с условиями существования неявной функции. Согласно теореме о единственности малого решения системы (4.11) в окрестности состояния Х(п) ранг матрицы Якоби Hflijli должен быть равен г [13]. [c.142]

Левые части системы (39) представляют собой тг-периодические функции угла -д. Они могут быть представлены сходяш имися рядами Фурье, а тождественное равенство нулю этих рядов влечет за собой равенство нулю всех в отдельности коэффициентов этих рядов. Таким образом, может быть получена бесконечная система алгебраических уравнений для нахождения восьми неизвестных h, а, п, g, Р, d, 7, с. Такая переопределенная система всегда совместна и имеет единственное решение относительно hi — /г os 2а, h2 — /г sin 2а, п, gi — g- os2 , 7, с. Это следует из доказанной выше теоремы об асимптотической устойчивости отсчетного многообразия, а также из линейности системы (39) по отношению к этим переменным. Для их нахождения из указанной переопределенной системы достаточно взять любые восемь уравнений с отличным от нуля детерминантом. Пользуясь условием, что г много больше /е, эту задачу можно решать приближенно. В частности, в нулевом приближении А = О, г = л/2Ео, и из системы (39) находим [c.385]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Остается показать, что полученная система всегда разрешима. Для этого в свою очередь достаточно показать, что однородная система, получающаяся при g (t) — onst, не имеет решений, кроме q — Су —. . . = Сп = 0. Это же последнее есть простое следствие из теоремы о единственности решения смешанной задачи. [c.455]

Очевидно, что уравнения (7), выраженные через напряжения, необходимо выполняются в линейной эластокинетике. Как мы покажем ниже на примере плоской задачи, они не являются достаточными для решения конкретной краевой динамической задачи. Ниже мы предложим другой вариант уравнений движения в напряжениях, которые не только являются следствием основной системы уравнений эластокинетики, но и обусловливают эту систему. Игначак ) доказал разрешимость этого ва рианта уравнений в напряжениях, а также теорему единственности их решения иным путем, без ссылки на энергетические соображения. Вывод этой последней теоремы мы ниже повторим. [c.575]

Кроме задачи Коши (когда по состоянию системы в заданный момент времени надо найти движение), в механике важное значение имеет краевая задача найти движение 1 х 1), которое в заданные моменты времени о и Ь принимает заданные значения жо и Ж1. В отличие от задачи Коши, краевая задача разрешима не всегда. Наиболее эффективным методом доказательства ее разрешимости является вариационный метод среди кривых с закрепленными концами ищется стационарное значение (обычно минимум) действия по Гамильтону. Например, в отсутствие внешних сил (тогда траектории будут геодезическими метрики на М, определяемой кинетической энергией) краевая задача имеет решение, если все движения нестеснены, т. е. определены на всей оси времени (теорема Хопфа—Ринова). Эти две задачи имеют еще одно существенное отличие краевая задача может иметь несколько различных решений. Простейшим примером служат навесные и настильные траектории снарядов. Более сложный пример доставляет теорема Серра любые две точки компактного риманова многообразия можно соединить бесконечным числом различных геодезических. Единственности решения краевой задачи препятствуют сопряженные точки, где пересекаются бесконечно близкие траектории, выходящие из одной точки. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...