Формулировки контактных задач

В книге приводятся формулировки контактных задач и алгоритмов численного решения этих задач, основанные как на методе множителей Лагранжа, так и на методе штрафных функций. [c.7]

Формулировки контактных задач [c.151]

Формулировка контактной задачи с помощью метода множителей Лагранжа [c.153]

Матрица — ядро основания в случае плоских задач. Под плоскими будем понимать такие задачи, в которых контактируемое с линейно-деформируемым основанием тело обеспечивает условия плоской деформации для основания, т. е. перемещения поверхностных точек последнего являются функциями одной переменной, например х. Очевидно, это будет тогда, когда область контакта не ограничена вдоль оси у и заданные функции, входящие в математическую формулировку контактной задачи, являются функциями только одного х. [c.283]

Отмеченные затруднения привели к поиску методов решения, сво бодных от указанных недостатков. Были разработаны различные варианты метода прогонки [1, 6]. Большинство их ориентировано на специальные типы уравнений. Применительно к задачам строительной механики метод прогонки впервые был предложен в работе В. Л. Бидермана [11]. Сущность метода прогонки заключается в том, что краевая задача сводится к решению таких задач Коши, для которых численный процесс интегрирования оказывается устойчивым. Недостатком такого под- хода является отсутствие общих приемов преобразования исходных уравнений, трудности формулировки контактных задач. [c.69]

Остановимся теперь на некоторой разновидности смешанных (контактных) задач теории упругости. Как уже отмечалось, при их формулировке предполагается, что разбиение поверхности на участки, где выполняются разные краевые условия, заранее известно. Однако возможен и более общий случай. Вообще говоря, контактная задача (в физическом смысле) ставится как задача о воздействии жесткого тела на упругое. Как правило, начальный контакт происходит в одной точке и лишь при дальнейшем сближении контактирующих тел образуется площадка контакта, которая, вообще говоря, увеличивается в размерах. При этом, естественно, вводится имеющее физический смысл ограничение напряжения вдоль контура, ограничивающего [c.248]

В настоящем параграфе приводятся лишь постановка некоторых типичных контактных задач и некоторые характерные результаты решения небольшого числа задач. Математическая же формулировка задач и методы их решения не обсуждаются. Сначала будут показаны типичные представители контактных задач, а после уяснения их специфических особенностей читатель познакомится с практическими примерами тех условий, которые приводят к постановке контактных задач. Контактные задачи могут быть классифицированы по нескольким признакам. Остановимся на важнейших из них. [c.714]

Интегральную математическую формулировку нестационарной задачи теплопроводности можно свести к нелинейному граничному интегральному уравнению относительно распределения температуры на внешней 5и контактной 5 поверхностях неоднородного анизотропного тела произвольной формы. Для этого примем в (2.42) [c.49]

Контактные задачи теории пластин и оболочек имеют свою специфику, отличающую их от контактных задач теории упругости. При рассмотрении последних, как правило, трудности встречаются на втором этапе —при выводе и решении уравнений. Что касается самой теории, которая используется при формулировке задачи, она обычно ясна. [c.3]

Контактные задачи принадлежат к классу задач с ограничениями. По своей природе они являются нелинейными, так как при их решении требуется определить заранее неизвестную границу контакта двух (или более) тел и контактные силы взаимодействия этих тел. Наиболее известны такие методы решения контактных задач, как методы множителей Лагранжа и штрафных функций. Применение метода множителей Лагранжа к решению этих задач приведено в [1, 2, 7, 50, 59, 69, 82, 91, 92, 102], а применение метода штрафных функций развито в [1, 2, 55, 57, 58, 69-71, 85-87, 91, 92, 102, 114]. У каждого из этих методов есть достоинства и недостатки. Для метода множителей Лагранжа точно выполняются кинематические условия контакта, но вводятся дополнительные уравнения для множителей Лагранжа и получается усложненная формулировка уравнений. В то же время для метода штрафных функций число уравнений при введении условий контакта не меняется, однако в численном алгоритме точно удовлетворить кинематические условия контакта не удается. Введение большого коэффициента штрафа приводит к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости, а для малого коэффициента штрафа ухудшается выполнение кинематического условия контакта тел. Поэтому выбор величины штрафа является непростой задачей. [c.6]

Таким образом, контактная задача представляет собой формулировку уравнений для движения двух тел с наложенными кинематическими (4.45) и статическими (4.46) ограничениями на их движения друг относительно друга. Существует два наиболее известных метода решения задач с ограничениями метод множителей Лагранжа и метод штрафных функций. Суть решения [c.152]

Соответствуюш ая контактная задача допускает следующую формулировку [c.270]

Наряду с классическими постановками контактной задачи существует ее вариационная формулировка, впервые предложенная в работе А. Синьорини [264]. Для ее применения к рассматриваемым задачам строится функционал, достигающий минимума на решении исходной задачи и, кроме того, имеющий гранитные условия в качестве необходимых условий экстремума. [c.10]

Описанная схема решения контактной задачи в конечных соотношениях, естественно, не лишена недостатков. Наиболее существенным моментом такой постановки задачи является вопрос о характере и истории нагружения конструкции. Известно, что при учете трения в зонах контакта решение задачи существенно зависит от последовательности приложения внешних нагрузок. Кроме того, в точках, входящих в контакт и выходящих из него, реализуются сложные программы нагружения. Учет перечисленных факторов возможен лишь в случае инкрементальной формулировки основных соотношений задачи, что значительно усложняет пути ее реализации. [c.29]

При решении контактной задачи по теории старения в формулировке Ю. Н. Работнова сгущение сетки конечных элементов можно [c.147]

Схожесть задач о контактном взаимодействии и задач механики разрушения состоит прежде всего в наличии точек с особенностями напряженного состояния. Это позволяет применять методы решения контактных задач теории упругости для решения отдельных задач механики разрушения, таких как определение поля напряжений у вершины трещин. Вместе с тем заметим, что нахождение коэффициентов интенсивности напряжений не есть механика разрушения, подобно тому как нахождение напряжений еще не определяет прочности изделия. И только формулировка и использование критериев разрушения, т.е. условий страгивания и роста магистральных трещин, составляет предмет механики разрушения. Некоторые приемы механики разрушения можно использовать при решении контактных задач. Например, корневую особенность в угловых точках штампа можно снизить (не прибегая к закруглению краев штампа), предполагая пластическое течение вдоль определенных линий скольжения. Допуская несколько таких линий или сплошной их веер можно устранить особенность вообще, как это описано в статьях В. 1У[. Александрова и Л. А. Кип-ниса [1, 2]. [c.624]

Вариационная формулировка. В работе [13] доказана теорема о том, что решение динамической контактной задачи с учетом трения, сформулированной в п. 1, эквивалентно решению следуюш его квази-вариационного неравенства [c.481]

Нужно отметить также, что как в плоском, так и в пространственном случае с помощью интегральных преобразований может быть найдено решение смешанной граничной задачи, напрнмер задачи о действии штампа или общей контактной задачи. Способ здесь в общем случае является очень сложным, так как формулировка граничных условий приводит к так называемым парным интегральным уравнениям, решение которых (если его вообще удается получить в замкнутой форме) не всегда просто. Следует также назвать в качестве важного еще так называемый метод Винера — Хопфа [В43]. Интегральные преобразования позволяют также получить решения элементарных задач теории трещин, которые лежат в основе линейной механики разрушения для плоского и пространственного случаев [ВЗО] (так называемых трещин Гриффитса, или дискообразных трещин). [c.127]

ФУНКЦИОНАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ [c.94]

В параграфах 3.2 и 3.3 дана локальная формулировка динамических контактных задач с односторонними ограничениями. Здесь рассмотрим глобальную вариационную формулировку задачи. [c.96]

Метод граничных интегральных уравнений при решений динамических задач теории упругости широко используется [29, 41, 42, 374, 408, 439, 442 и др.]. В контактных задачах прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений более предпочтительна по сравнению с непрямой. Динамические задачи можно решать в реальном пространстве — времени, а можно использовать преобразования Лапласа или Фурье по времени. Сравнительный анализ таких подходов с точки зрения эффективности численной реализации [517, 556] показал, что с точки зрения скорости и объема вычислений методы использующие преобразования Лапласа или Фурье по времени, более эффективны. Предпочтение отдается методу, использующему преобразование Лапласа. Дополнительное преимущество этого метода по сравнению с методом решения в реальном пространстве — времени состоит в том, что при небольших изменениях он позволяет решать задачи о гармоническом нагружении. Это обстоятельство и явилось решающим при выборе варианта метода граничных интегральных уравнений. Таким образом, при,решении динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами использовалась прямая [c.106]

Таким образом, даны три эквивалентные математические формулировки динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Первая свелась к начально краевой задаче (3.1) — (3.3) с односторонними ограничениями, вторая вариационная заключается в нахождении седловой точки граничного функционала (4.56) на множествах допустимых вариаций (4.55) и (4.57), третья предполагает выполнение прямого и обратного преобразования Лапласа и решение бесконечного множества систем граничных интегральных уравнений (5.81) с учетом односторонних ограничений [c.131]

После того, как поверхность контакта на некоторой итерации определена, необходимо нгийти контактные силы, предотвращающие взаимные проникновения контактирующих тел. Для их определения следует добавить член, полученный варьированием потенциала контактных сил, в стандартное уравнение принципа возможных перемещений. В зависимости от вида потенциала получаем формулировку контактной задачи с помощью либо метода множителей Лагранжа ( 4.5.2), либо метода штрафных функций ( 4.5.3). [c.231]

Выражения (50) используются затем для формулировки контактных задач электроунругости. Предполагая, что электроды-штампы занимают область 5, где заданы компоненты вектора перемещения и потенциал, а остальная часть границы свободна от механических нагрузок и зарядов, авторы [13] приходят к системе четырех сингулярных интегральных уравнений вида [c.601]

Задача о контактном взаимодействии берегов трещины конечной длины в плоскости при статическом действии нагрузки впepвыeJpa -смотрена в [262, 263]. В дальнейшем контактные задачи для тел с"трещинами при статическсш нагружении рассматривались многими авторами [32, 35, 55, 75—82, 90—94, 118, 227, 228, 281, 282, 301, 385, 395, 446, 447, 476, 564]. Задача об изгибе полосы с трещиной при учете контакта берегов решалась в (221—225, 287]. Трещины с контактирующими берегами в анизотропных средах рассматривались в [120, 361, 362]. Контакт тела, содержащего трещины, со штампом изучался в [199, 200]. В работах [75, 77, 80, 433, 434, 457, 458, 573] кроме плотного контакта учитывается возможность образования областей сцепления и скольжения. Контакт берегов трещин в температурных полях рассматривался в [91, 168, 170, 171, 193], а задача о контакте берегов сквозной трещины в изгибаемой пластине и пологой оболочке — в [411] и [412]. Этот подход распространен в [135] на случай произвольного динамического нагружения изгибаемой пластины со сквозной трещиной. Некоторые модельные динамические контактные задачи для тел с трещинами в идеализированной постановке рассмотрены в [336, 342, 344]. В работах [34, 75, 86, 365, 486 и др.] дана вариационная формулировка контактных задач для тел с трещинами. Обзор работ по статическим контактным задачам для тел, содержащих трещины, представлен в [168, 171]. [c.62]

До сих пор не учитывалось, что для корректной формулировки контактных задач при гарй оническом нагружении необходимо рассматривать односторонние ограничения (3.5). В этом случае вектор контактных сил взаимодействия берегов трещин вследствие наложенных на него односторонних ограничений не является гармоническим и не может быть Представлен в виде (х, /) = Ке <7 (х) Это об- [c.68]

Рассмотрим примеры задания максимальных монотонных операторов и суперпотенциалов для тех типов граничных условий, которые использованы при формулировке контактных задач с односторонними ограничениями в динамических задачах для тел с трещинами. [c.92]

Формулировку вариационных принципов этой теории, так же как и теории упругости для сплошного тела (см. гл. 3, 6), можно обобщить, рассматривая в качестве варьируемых переменных разрывные поля перемещений, деформаций, усилий и функций напряжений. Вариационные принципы при разрывных полях параметров напряженно-деформированного состояния могут служить для построения алгоритмов расчета оболочек, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, а также для решения некоторых контактных задач. [c.132]

В третьей главе содержится решение некоторых плоских ко нтактных задач взаимодействия ребер с пластинами. В отличие от первых двух глав решение строится иа основе уравнений теории плоского обобщенного напряженного состояния пластины без введения упрощающих гипотез. Ребра считаются присоединенными к пластинам по линии, ширина участка контакта не учитывается. В связи с математическими трудностями, возникающими при построении функций Грина для пластин конечных размеров (в случае плоской задачи) в литературе, за небольшим исключением, рассмотрены плоскость, полуплоскость и полоса с ребрами конечной и бесконечной длины. В силу высокой концентрации напряжений вблизи концов ребер такие решения приближенно могут описывать напряженное состояние и характер реакций взаимодействия в окрестности концов ребер и для пластин конечных размеров, если, ргйумеется, ребро не доходит до границы пластины. В данной главе делается акцент на решение контактной задачи, состоящей в определении касательных реакций взаимодействия между пластинами и ребрами. Напряжения в пластинах не исследуются, но необходимые для этого формулы естественно получаются при формулировке задачи. [c.121]

По существу предложенный выше вариант и нужен для того, чтобы можно было выполнить эти важные условия при решении контактных задач. Как легко можно убедиться, при формулировке даже простейших контактных задач ни классическая теория Э. Рейсснера, ни вариант П. Нагди не позволяют этого сделать. -При решении же обычных задач для тонких пластин с заданными поверхностными усилиями все модификации теории пластин в большинстве случаев приводят к близким результатам, включая и теорию Кирхгофа. Иными словами, тот или иной вариант теории желательно выбирать в зависимости от класса рассматриваемых задач. [c.198]

При формулировке задач механики контактного взаимодействия трение (сопротивление относительному перемещению контактирующих точек) учитывается феноменологически заданием некоторого соотношения между нормальными р и тангенциальными г напряжениями, действующими в зоне контакта. Наиболее часто используется закон трения Амонтона вида г = р. Методы исследования плоских контактных задач с трением, основанные на сведении их к решению смешанных задач теории функций комплексного переменного, разработаны Н.И. Мусхели-швили [107], Л.А. Галиным [23], А.И. Каландия [74]. Эти методы нашли применение при решении задач для тел с различной макроформой. Контактные задачи с законом трения в форме Амонтона в пространственной постановке рассмотрены в работах [29, 86, 87, 106] и т.д. [c.134]

Идея использования подходов квадратичного программирования для решения контактных задач впервые была предложена в работах В. М. Фридмана и В. С. Черниной [211, 212]. В дальнейшем вопросы применения квадратичного программирования изучались в работах [68, 94—96, 98, 257, 258]. Такой подход к решению контактных задач тесно связан с использованием современных численных методов, таких, как вариационно-разностный [74, 75, 165] метод и МКЭ [104, 105, 187,240,242], которые базируются на эквивалентных вариационных формулировках задачи. Причем большинство авторов отдает предпочтение А КЭ благодаря его высокой универсальности и эффективности. [c.11]

Решение трехмерной контактной задачи о вдавливании в пьезоэлектрическое полупространство плоского эллиптического штампа рассмотрено в работе [36] при условии, что вне области, занятой штампом, механические нагрузки отсутствуют, в области основания эллиптического штампа касательные напряжения нулевые, а нормальное напряжение неизвестно и должно быть определено при решении задачи. При таких условиях равновесие штампа возможно только при действии на него сжимаю-ш,ей силы и моментов, равнодействующие которых определяются из условий равновесия штампа. Краевое усилие для перемещения т точек площадки штампа определяется через перемещение штампа как жесткого тела и принимается в виде ш б-сОуХ+и у, где 6 поступательное, аш ,иу —вращательные движения штампа. При формулировке граничных условий для электрических полей рассмотрены два варианта их задания [c.596]

Матрица — ядро основания и структура ее компонентов. При контакте двух тел одно из них можно считать основанием. Классическим случаем основания является упругое изотропное однородное полупро-странствЬ. Если контактную задачу ставить в узком смысле, т. е. отыскивать только контактное напряжение и смещения поверхностных точек основания вне зоны контакта, то достаточной информацией для формулировки той или иной контактной задачи является наличие функций определяющих все три смещения любой поверхностной точки (х, у) основания от воздействия произвольно ориентированной силы, приложенной в некоторой другой поверхностной точке ( , т]). Указанные функции в общем случае должны составить матрицу третьего порядка [c.281]

Уравнения (3.22) используются для вывода граничных интегральных уравнений задачи. Следует обратить внимание на тр, что при решении контактных задач наиболее пришлемой является прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений. Это связано с тем, что при таком подходе используются физические величины— перемещения и усилия на границе. Если же исйользовать непрямую формулировку, то соответствующие плотности потенциалов не имеют такого прямого физического смысла [29, 42, 205, 439 и др.]. [c.71]

Таким образом, имеется две эквивалентные формулировки рассматриваемой динамической контактной задачи, с односторонними ограничениями для тел с трещинйми. Это начально-краевая задача [c.73]

Дана строгая математическая формулировка динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Для этого использованы некоторые понятия и результаты из фукционального анализа и теории вариационных неравенств, которые кратко изложены здесь. Дан краткий обзор литературы математического и прикладного характера по затронутым вопросам. [c.81]

Приведенные выше вариационные неравенства (4.40) и (4.43) имеют место как для произвольного динамического, так и для гармонического нагружения. Из-за наличия односторонних ограничений (3.5), которые делавдт задачу нелинейной, нельзя дать вариационную формулировку задачи в пространстве функций, преобразованных по Лапласу, или для коэффициентов Фурье, как этб делается в линейных задачах [47, 471]. Тем не менее, метод преобразования Лапласа в, рядов Фурье может с успехом применяться при решении динамических односторонних контактных задач [104, 107, 130, 132— 136 и др.]. Вариационные неравенства (4.40) и (4.43) сохраняют свой вид и при таком подходе, а множество допустимых перемещений имеет вид [c.98]

Рассмотрена прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений динамических задач теории упругости для тел с трещинами в пространстве преобразований Лапласа. Исследованы граничные свойства этих потенциалов на границе тела и на трещине. Приведены выражения для фундаментальных решений (функций Грина) уравнений динамической теории упругости в пространстве преобразований Лапласа для трех- и двумерного случаев. Изучен характер особенностей ядер этих потенциалов. Рассмотрены методы регуляризации потенциалов, ядра которых имеют сильную особенность,, основанные на сведении к псевдодифференциальным уравнениям и уравнениям, в которых интегралы рассматриваются в смысле конечной части по Адамару. Разработан алгоритм решения односторонних контактных задач динамики тел с трещинами, основанный на отыскании седловой точки субдифференцируемого граничного функционала. Показано, что при определенном выборе параметров, входящих в алгоритм, его можно рассматривать как сжимающий оператор, действующий в соответствующем функциональном пространстве, что является обоснованием сходимости этого алгоритма. [c.102]

Граничные равенства (5.51) и (5.58) получены исходя из формулы Сомилианы. Поэтому плотности входящих в них потенциалов имеют прямой фрический смысл это векторы поверхностных сил, перемещений и разрыва перемещений на внешней границе тела и на поверхностях трещин. Такую формулировку метода граничных интегральных уравнений называют прямой. Такой подход имеет ряд преимуществ при решении контактных задач, когда необходимо определять контактные силы взаимодействия и перемещения в окрестности области плотного контакта. [c.125]

Разработанные в предыдущей главе методы решения динамических контактных задач теории упругости с односторонними ограничениям для тел с трещинами используются здесь,при решении задачи о взаимодействии гармонической плоской волны растяжения — сжатия с трещиной конечной длины в плоскости. Как показано в работах [ 105, 130, 134], для корректной формулировки таких задач необходимо учитывать контактное взаимодействие берегов трещины. Приведены уравнения и формулы, дающие математическую постановку рассматриваемой задачи. Эти уравнения являются следствием общих уравнений, полученных в предыдущих главах. Приведены также численные примеры и иследованьь количественные и качественные эффекты, вызванные контактным взаимодействием берегов трещины. [c.159]

Разработанные в предьщущих главах методы решения динамических контактных задач теории упругости с односторонними ограничениями для тел с трещинами в этой главе используются при решении задачи о взаимодействии плоской волны растяжения — сжатия с двумя колинеарными трещинами конечной длины в плоскости. Как показано [106, 135, 139], для корректной формулировки этой задачи необходимо учитывать контактное взаимодействие берегов тре1цины. Приведены уравнения и формулы, дающие математическую постановку рассматриваемой задачи. Эти уравнения являются следствием общих уравнений, полученных в пятой и шестой главах. Используются также некоторые формулы и результаты седьмой главы. Приведены численные результаты и исследованы количественные и качественные эффекты, вызванные контактным взаимодействием берегов трещин. [c.185]

Прежде чем мы перейдем к формулировке соответствующей задачи теории упругости, необходимо дать описание геометрии контактирующих поверхностей. В гл. 1 мы договорились принять точку начального контакта в качестве начала прямоугольной системы координат, в которой плоскость ху служит общей касательной плоскостью к поверхностям обоих тел, и считать, что ось ориентирована вдоль общей нормали к касательной плоскости и направлена внутрь нижнего тела (см. рис. 1.1). Поверхность каждого из тел предполагается топографически гладкой на микро- и макроуровне. На микроуровне это означает отсутствие или неучет поверхностных микронеровностей, которые обусловливали бы неполное прилегание поверхностей контакта или резкие локальные изменения контактных давлений. На макроуровне профили поверхностей считаются непрерывными в зоне контакта вместе со вторыми производными. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...