Колебание стержня и балки

КОЛЕБАНИЕ СТЕРЖНЯ И БАЛКИ [c.37]

Расчетную модель опорной конструкции можно представить в виде двух продольных балок или плоских рам переменного поперечного сечения, связанных поперечными связями в виде балок или колец (рис. 1). В частности, такими связями служат корпуса механизмов, установленные на раме. Рама соединяется с фундаментом амортизаторами, каждый из которых в расчете рассматривается как сосредоточенный упруго-вязкий элемент. Балки рамы могут совершать вертикальные и крутильные колебания. Ротор и балки опорной конструкции разбиваются на участки. Расчетная модель участка представляется стержнем постоянного поперечного сечения с распределенными параметрами. К концу стержня присоединяется жестко сосредоточенная масса т -, обладающая моментами инерции к повороту и кручению ll, I]. Масса соединяется упруго с абсолютно жестким фундаментом и сосредоточенной массой т , обладающей моментами инерции /ф, (рис. 2). Упругие связи характеризуются жесткостями Св, Сф, v (/с = 1, 2) в вертикальном, поворотном и крутильном направлениях (на рис. 2 Z = Ь, г з, 7). Демпфирование в системе учитывается комплексными модулями упругости материала стержня и комплексными жесткостями амортизаторов. [c.6]

I ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ. При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии упругая стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось л и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек [c.271]

В общем случае при исследовании действия подвижной нагрузки на упругую систему необходимо учитывать массу как нагрузки, так и самой упругой системы. Однако в случае стационарного режима движения груза по бесконечной балке, лежащей на сплошном упругом основании, когда прогиб под грузом остается постоянным (рис. 7.22), масса груза роли не играет (так как нет ускорения по оси Хз). Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня постоянного сечения, лежащего на упругом основании, без учета сил сопротивления, инерции [c.212]

Основополагающие исследования по теории пластин и оболочек, колебаниям стержней с учетом влияния деформаций сдвига, по удару груза по балке были выполнены С. П. Тимошенко. Многие задачи решены предложенным им энергетическим методом. [c.11]

Задачу о колебаниях составных стержней и рам при действии гармонического возбуждения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Элементами матрицы являются суммы гиперболических и гармонических функций, зависящих от размеров стержней и частоты. С увеличением длины участка стержня и частоты аргументы функций растут, что при расчете на ЭЦВМ с ограниченным количеством значащих цифр приводит вначале к замене гиперболических функций экспонентами, а при дальнейшем росте аргумента — к потере гармонических функций. При этом матрица системы вырождается и получить удовлетворительное решение не представляется возможным. Например, на ЭЦВМ типа Минск вычисления производятся с семи значащими цифрами, поэтому при расчете колебаний опертой балки, начиная с третьей формы, гиперболические функции заменяются экспонентами, а расчет форм колебаний выше пятой практически осуществить не удается, так как теряются гармонические функции. [c.107]

Под термином вынужденные или возбужденные колебания следует понимать такие колебания, которые возникают по истечении определенного времени от начала наблюдения при действии переменной внешней нагрузки, которая предполагается перпендикулярной к оси стержня и в целях упрощения изменяющейся по гармоническому закону. При этом мы обычно вводим понятие так называемого исчезающего трения, т. е. предполагаем, что под действием трения исчезают колебания, вызванные соответствующими условиями в начале наших наблюдений, после чего трение исчезает и не оказывает никакого влияния на вынужденные колебания. В качестве примера рассмотрим случай вынужденных поперечных колебаний свободно опертой призматической балки, которые выражаются следующим дифференциальным уравнением [c.95]

Для математической формулировки задачи определения вынужденных колебаний стержня можно с успехом применить способ, основанный на дифференциальных уравнениях Лагранжа второго рода. Представим себе, например, вынужденные колебания балки, вызванные совокупностью сосредоточенных сил меняющихся по времени и расположенных известным образом на ее длине. Предположим далее, что прогиб балки можно в произвольный момент представить уравнением [c.97]

Лучшие результаты получаются, если воспользоваться вторым вариантом и принять в формуле (11.30) за фиктивную нагрузку вес балки q х) = т х) g, а вместо сил Р,- — веса m g сосредоточенных грузов. Этот вариант соответствует предположению о том, что форма колебаний совпадает с формой статического изгиба, вызываемого весом самого стержня и связанных с ним грузов. При этом формула (11.30) записывается в виде [c.37]

Под стержнем понимают упругое тело, два размера которого малы по сравнению с третьим, обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Благодаря тому обстоятельству, что толщина стержня является малой по сравнению с его характерной длиной, задача об изгибе стержня сводится к исследованию изгиба нейтральной линии, т.е. к одномерной задаче. Стержень, работающий на изгиб, часто называют балкой. Говоря о распространении изгибных волн, обычно имеют в виду такой тип колебаний стержня, при которых части стержня подвергаются изгибу, а элементы нейтральной оси в процессе колебаний совершают движение в поперечном направлении. [c.30]

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень, совершающий изгибные колебания w(x t) в плоскости xOz (ось X направлена вдоль стержня и проходит через центры тяжести сечений). Элементарная (техническая) модель балки основана на предположениях, что поперечные сечения при изгибе остаются плоскими и перпендикулярными к нейтральной линии балки (рис. 1.3), а нормальные напряжения на площадках, параллельных нейтральной линии, пренебрежимо малы. [c.30]

Автору трудно говорить о значении своих трудов, да к тому же и выполненных много лет тому назад. Как мне представляется, центральное место среди них занимают работы по вынужденным колебаниям стержней, учету поперечных сдвигов при колебаниях стержней, упругому удару груза о балку, а также по применению энергетического метода к решению плоской задачи теории упругости и но проблеме изгиба консольного стержня. [c.10]

Так же подходил и Эйлер к задаче о поперечных колебаниях стержня. Например, поперечные колебания консольной балки, заделанной в вертикальную стенку (схема, идущая от Галилея), они исследовали, решая сначала соответствующую статическую задачу, для которой Д. Бернулли вывел уравнение [c.267]

Вышеприведенные формулы справедливы и для случая поперечных (изгибных) колебаний стержня при условии, что в этом случае величина бц будет определяться как прогиб балки от единичной силы, приложенной в точке прикрепления колеблющейся массы. [c.264]

Имеется три типа колебаний в тонком стержне или балке продольные, крутильные и поперечные. При продольных колебаниях элемент стержня удлиняется, но нет никаких поперечных перемещений оси стержня. При крутильных колебаниях каждое поперечное сечение стержня, оставаясь в своей плоскости, поворачивается относительно своего центра, а ось стержня остается невозмущенной. Наконец, поперечные колебания соответствуют изгибу частей стержня, при котором элементы его центральной оси движутся в поперечном направлении. [c.47]

Хотя эти соображения верны только для свободных колебаний, они могут быть применимы также и для вынужденных колебаний, так как в этом случае форма колебаний стержня приближенно соответствует той собственной форме колебаний, частота которой ближе всего к частоте вынужденных колебаний. Предполагая, что стержень между двумя узловыми точками ведет себя как балка на двух опорах, определим по амплитуде скорости колебаний динам.ические напряжения. [c.291]

Аналогичное рассмотрение вынужденных колебаний стержня со свободными концами дано в работе [1.310] (1965). Исследован импеданс в зависимости от положения внешней силы. Показано, что в балках, изготовленных из пластиков и резиноподобных материалов, необходимо учитывать инерцию вращения и сдвиг. [c.73]

Вследствие того, что колебания стержней представляются линей ными дифференциальными уравнениями, к ним применим принцип наложения, и если на балку действует несколько гармонических сил, то результирующие колебания можио получить наложением колебаний, вызванных каждой отдельной силой. Таким же образом можио решить задачу в случае непрерывно распределенной гармонической нагрузки, но суммирование должно быть заменено интегрированием вдоль длины балки. Положим, например, что балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности W — W S nШI. [c.338]

Интегрирование уравнения изгиба. Интегрированию уравнения (116.4) посвящена весьма большая литература, хотя математически вопрос и представляемая элементарным. Правая часть уравнения обычно не является аналитической функцией координаты г, аналитическое выражение момента меняется от участка к участку. Поэтому задача об определении прогибов может оказаться довольно трудоемкой. На каждом участке появляются свои константы интегрирования, я их приходится определять из условий сопряжения. Излагаемый ниже метод интегрирования по идее восходит к Эйлеру, для более сложных уравнений изгиба балки на упругом основании % колебаний стержня ои разработан А. Н. Крыловым для уравнения (116.4) этот метод использовался многими авторами. Проинтегрировав уравнение (116.4) в пределах от нуля до г, получим [c.253]

Рассматривая только свободные колебания,балки, когда возмущающая сила отсутствует, мы внесем это выражение д в уравнение движения (176.1) и получим следующее дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня [c.386]

При использовании численных методов решения уравнений (1.41) и (1.47) встает вопрос о корректном выборе шага интегрирования Ат, т. е. о получении результатов с требуемой точностью при минимальном времени счета. Многочисленные исследования показали, что достаточно точные результаты получаются при использовании шага по времени в пределах времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ [177, 178, 187]. С целью оценки эффективности предложенного алгоритма и выбора допустимых шагов интегрирования Ат было решено нескодыго модельных-задач колебан й стержня и балки [102]. Во всех задачах принимали следующие механические свойства материала модуль упругости = 2-10 МПа, плотность материала р = 5- 10 кг/м коэффициент Пуассона ц = 0,3. [c.37]

Известно, что вес мотора равен 109 н, вес балки—150 н, длина балки / = = 1,7 м, момент инерции ее поперечного сечения У = 20,9 см, модуль упругости = 2,1 10 н1см. Определить пренебрегая массами стерженьков, вес грузов Яг и коэффициент жесткости Сг при изгибе каждого из стержней, если известно, что при помощи этого виброгасителя колебания мотора и балки погашаются, а амплитуды вынужденных колебаний гру.зов не превышают 0,27 см. [c.133]

Примечания Сен-Венана к книге Клебша также представляют большую ценность, в особенности в части, касающейся колебаний стержней и теории удара. Говоря о поперечном ударе балок, мы уже отметили важный вклад Сен-Венана в этот вопрос (стр. 217). Предполагая, что тело после удара по свободно опертой балке продолжает оставаться в соприкосновевии с ней, он трактует проблему удара как задачу колебаний балки с присоединенной к ней массой. Он исследует первые семь форм колебаний системы, вычисляет соответствующие частоты и находит формы соответ-. твующих кривых для различных значений отношения между несом балки и весом ударяющего тела. Полагая, что балка в начальный момент находится в покое, между тем как присоединенная к ней масса обладает некоторой скоростью, Сен-Венан вычисляет амплитуду для каждой формы колебаний. Суммируя прогибы,, соответствующие этим элементарным колебаниям, он получает кривую прогибов балки для различных моментов времени t, а также находит наибольший прогиб и наибольшую кривизну ) [c.289]

Классические уравнения продольных и изгибных колебаний стержней, по существу, являются одномодовыми аппроксимациями краевых задач трехмерной динамической теории упругости . Уточнения классических теорий, которые не приводят к увеличению числа мод, сравнительно мало улучшают эти теории. К таким уточнениям относятся поправка Лява >, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Релея >, которая-учитывает инерцию вращения элемента балки при ее изгибных колебаниях. [c.12]

При определении частот и форм собственных колебаний элементов трубопроводных систем в практике проектирования обычно применяют результаты линейной теории колебаний стержней постоянного сечения [1]. Более полные данные могут быть получены с исполь-вованием теории оболочек. Исследование [2], выполненное с применением полубезмоментной теории оболочек, показало, что при некотором предельном значении относительной длины Иг (I — длина пролета, г — радиус поперечного сечения трубы) частота колебаний трубы по балочной форме (с числом окружных волн и = 1) совпадает с частотой колебаний, при которой п — 2 ( овализация ). При большей длине низшей частоте колебаний соответствует балочная форма, при меньшей — колебания по форме с п = 2. Эксперименты, выполненные на однопролетном многослойном трубопроводе, показали, что фактически колебания трубы как балки сопровождаются ова-лизацией, т. е. имеют место связанные колебания. Решение задачи [c.226]

Отличием данного курса, от большого количества уже суш ествуюш их учебников по механике материалов, является, прежде всего, добавление нескольких тем и глав обычно не традиционных для данного предмета. Это разделы по расчету оболочек и толстостенных цилиндров, а также применение метода граничных интегральных уравнений к расчету стержней и балок (глава 25). Кроме этого достаточно подробно рассмотрены разделы, связанные с простыми деформациями, статически неопределимыми системами (в том числе неразрезные балки), устойчивостью, колебаниями и расчетом при повторнопеременных напряжениях. [c.11]

Колебания этого вида связаны с изгибной деформацией стержней (например, колебания груза иа несущих балках, колебания лонагок турбин и осевых компрессоров и т. д ). [c.487]

Обозначим через S величину площади поперечного сечения и предположим, что размеры поперечного сечепия малы по сравнению с длиной стержня I. Предположим также, что по стержню движется некоторая лталая (по сравнению с массой балки М) масса [лМ. Кроме того, пусть стержепь находится под воздейст-зием вертикальной периодической по 0 силы j.F(0), точка приложения которой в любой момент времени совпадает с центром массы t.iM (рис. 14). Введем обозначения р, Е — плотность и модуль НЗпга материала I — момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба. При рассмотрении поперечных колебаний стержня, происходящих в вертикальной плоскости Оху, пренебрегаем инерцией вращения поперечных сечений и перерезывающими силами. [c.175]

Двухмодовая модель изгибных колебаний стержня была введена С.П. Тимошенко [1.24]. Он предложил учитывать не только инерцию вращения элементов, но и поправки на деформации сдвига, вызванные перерезывающими силами. Его модель основывается на следующих предположениях поперечные сечения остаются плоскими, но перпендикулярными к деформированной оси стержня нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом элементов балки в плоскости ее колебаний. [c.42]

Далее в книге Эйлера мы находим разработку проблемы поперечных колебаний стержней. Ограничивая эту тему случаем малых перемещений, он обосновывает возможность принятия в качестве кривизны изогнутой оси балки значения второй производной d yldx и записывает уравнение изогнутой оси в том самом виде, [c.48]

Большое практическое значение имеют также поперечные колебания валов и балок. Простейшие случаи колебаний призматических стержней были исследованы еще в XVIII веке, причем решения их входили в состав сочинений по акустике. Использование этих решений в применении к балкам технического назначения, поперечные размеры которых не малы в сравнении с пролетом, или же в случаях, когда недопустимо пренебрегать сравнительно более высокими частотами, вызвало необходимость в выводе более полного дифференциального уравнения, учитывающего влияние на прогиб также и касательных напряжений ). Весьма часто размеры поперечного сечения меняются вдоль пролета балки. Строгий анализ колебаний таких балок выполним лишь в простейших случаях ), обычно же приходится прибегать к одному из приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Эти методы приобрели популярность в связи с потребностями расчета частот поперечных колебаний в судах ). Основываются они обычно [c.501]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

Если поперечные колебания стержней происходят с его собственной частотой, то на оси стержня на расстоянии I находятся узловые точки колебаний. Часть стержня между двумя узловыми точками можно представить как колеблющуюся однопролетную шарнирно опертую балку. При равномерном, распределении на единицу длины балки нагрузки q ((//s — погонная масса), постоянных модуле упругости и моменте инерции поперечного сечения стержня круговая собственная частота по уравнениям (17), (410) равна [c.291]

При определенных условиях вынужденное плоское движение нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравнением (3.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные движения. Похожее явление известно и для плоского движения натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибкими, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (например, 0,25 мм X 10 мм X 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных сечений. Однако при сильном изгибе в разрешенном направлении становятся возможными и боковые смещения, сопровождающиеся перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колебания стержня в разрешенном направлении на частоте, близкой к [c.108]

Дифференциальное уравнение (5.115) поперечных колебаний прямого стержня с учетом поперечного сдвига и инерции вращения известно как (уточненное) уравнение Тимошенко или уравнение балки Тимошенко (двухмодовая аппроксимация). Вывод его можно найти в кн. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. 2-е изд, Киев Наукова думка, 1972, с. 338. См. также Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М. ВИНИТИ, [c.466]

С. П. Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделан ранее Дж. Релеем > [1.294] (1877) и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу [1.120] (1859). Уравнение поперечных колебаний стержней с учетом инерции вращения и деформации сдвига обычно называют уравнением Тимошенко или уравнением балки Тимошенко, а уравнение учитывающее только инерцию вращения, — уравнением Релея. [c.14]

А. Marines u [1.241] (1967) исследует свободные и вынужденные колебания стержня со свободными концами. Предполагается, что стержень имеет переменные по длине массу и жесткость, которые являются гладкими функциями продольной координаты. Система уравнений балки Тимошенко приведена к одному уравнению с переменными коэффициентами. Выписаны члены, которые, по мнению автора статьи, учитывают внутреннее демпфирование, аэродинамическое демпфирование, осевые и восстанавливающие силы. Для низших мод не учитываются инерция вращения, деформация сдвига и демпфирование. Рассмотрены три типа возмущающих сил гармонические, случайные, разрывные. Возмущающая сила вводится в правую часть дифференциального уравнения, при этом допущена ошибка — вместо пространственно-временного дифференциального оператора в правой части записана единица. Решение выписывается в виде бесконечного ряда по системе собственных, по предположению, ортогональных функций, которые в работе не определяются. [c.69]

Уточненные уравнения продольных колебаний балки-полоски выводили методом степенных рядов М. П. Петренко и Г. А, Кильчинская. В работе [1.54] (1960) получено уравнение для балки переменной толщины. Затем получено уточненное гиперболическое уравнение продольных колебаний стержня постоянной толщины [1.57] (1961), уточняющее классическое уравнение (14,1). Были рассмотрены также продольные термоупругие колебания балки [1.32] (1965). [c.108]

Колебания судовых корпусов. — В качестве другого п мера приложения теории колебаний стержней переменного сечен рассмотрим задачу о колебаниях судового корпуса ). В дайн случае возмущающая сила обычно возникает от неуравновещеннос двигателя или действия гребного винта ), н если частота воз щаюшей силы совпадает с частотой одной из нормальных фо колебаний корпуса, то могут возникнуть больщие колебания. Ес принять корпус судна за балку переменного поперечного сечения свободными концами и использовать метод Ритца (см. 61), то уравнения (158) всегда можно с достаточной степенью точное определить частоты различных форм колебаний. [c.380]

Удар и колебания. Описанный способ даег достаточно точные результаты в случаях тонких стержней и балок, если масса падающего тела велика по сравнению с массой балки. В противном случае становится необходимым рассмотрение колебаний балки и местных деформаций в окрестности точки удара. [c.398]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...