Вырождающиеся системы

Клаузиуса 85 Виртуальное перемещение 26 Волновое число 339 Волчок 186, 197 Вращение 317 Вырождающиеся системы 326 [c.412]

Линейная зависимость фазы (частоты) от амплитуды является необходимым условием самоорганизации в системах. Естественно, возможны и вырождающиеся случаи этой линейной зависимости равенство нулю углового коэффициента или свободного члена, а также одновременно того и другого. [c.12]

Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот равны. Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты колебания. Такая система является полностью вырождающейся. [c.326]

В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения между переменными действие — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0. (Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных (J, w) не является ортогональным.) [c.344]

Следует иметь в виду, что для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения этот результат, вообще говоря, не справедлив. Так, система (31) имеет решение с прямой звуковой линией (г = О при г < О при (р < при этом ди/д(р = О при г = О (гл.2, 5). Парадокс раскрывается тем, что приведение системы (31) к каноническому виду (32) неизбежно связано с переходом в плоскость годографа, в которой указанное решение определено так, что прямая звуковая линия изображается точкой излома границы дозвуковой области, т. е. условие теоремы Жиро о гладкости границы не выполнено. [c.50]

Решение (9) аналитично во всей области определения. Однако кроме него на базе формул (9) может быть построено кусочно аналитическое решение с разрывами производных вдоль характеристик, проходящих через точку Kj . Это решение имеет вид (9), но с разными постоянными Ai A2 вместо А в областях (р —А ф /А., (р Аф /2. Первая соответствует М-области, вторая — области определения решения задачи Коши с данными на оси симметрии ф = О при (р 0 и = А2(р v = О для вырождающейся в точке гиперболической системы (7). [c.59]

На основе сказанного выше ясно, что область диаграммы, лежащая над верхней кривой, называемой ликвидус, соответствует однофазному жидкому состоянию изучаемой системы, т. e. раствору (для солей), расплаву (для металлов). Область, лежащая под нижней кривой, называемой солидус и вырождающейся иногда в прямую, соответствует твердому состоянию (в приведенном примере — эвтектическому сплаву, системе — двухфазной). [c.105]

Была получена зависимость ж=/ (v) для и = йг=1,14 и 7=0. При этих параметрах в системе отчетливо наблюдаются две зоны захватывания автоколебаний зона гармонического захватывания (v (о) и зона субгармонического захватывания второго порядка (v 2о)). В зоне субгармонического захватывания резонанс выражен сильнее и зона синхронизации шире, чем в зоне гармонического захватывания. В левых и правых окрестностях зон захватывания наблюдается модуляция амплитуды. Зоны почти периодических колебаний, которые вырождаются из соответствующих захватывающих колебаний, расположены как между областями захватывания, так и до v о>) и за 2ш) областями захватывания. По мере приближения к областям захватывания глубина модуляции max х усиливается. На зависимости ж=/ (v) хорошо заметен переход почти периодических колебаний, вырождающихся из гармонических колебаний в почти периодические колебания, которые вырождаются из субгармонических колебаний второго порядка при увеличении частоты v. Аналогичная зависимость была получена для гг = 1,2 и х=0. Отличие состоит лишь в величине шах1ж , которая при соответствующих частотах оказывается меньше величины тах[ж , соответствующей и=1,14. Рис. 1 записан при Ь=0,2, и=1,28 и у=0. Значение скорости и соответствует восходящему участку функции Т U). При этих параметрах резонанс резко выражен в области гармонического захватывания. В области субгармонического захватывания второго порядка резонанс выражен довольно слабо. Из рисунка видна область ультрагармонических колебаний второго порядка (2v со) эти колебания выражены сильнее, чем субгармонические колебания соответствующего порядка. После прохождения зоны гармонического захватывания наблюдается модуляция амплитуды, которая убывает с ростом частоты. [c.26]

Таким образом, пользуясь зависимостями (3. 2) для невырож-дающихся участков и модифицированными зависимостями (3. 5) — для вырождающихся, можно построить переходную матрицу В и вектор f для всей системы [c.110]

Конечно, функция V должна содержать одну постоянную интегрирования (соответствующую фиксированному значению h), и если решение q = q it) системы [L q = О известно, то определение исключенной координаты q-n = qn t) требует, как можно ожидать, одной квадратуры (соответствующей (14) и вырождающейся в случае предыдущего параграфа в равенство t = qn + -Ь onst). [c.160]

Поскольку (150, (ISz) представляют собой уравнения, соответствующие в силу (140, (1 2) системам с одной степенью свободы, то к ним применимы результаты ) 185—188, а также 191—192 (только к (15i)). Разумеется, точками обозначается дифференцирование по вспомогательной переменной Т. Заметим, однако, что если значения постоянных h, ho в (140 —(142), (150, (ISz) находятся в области, в которой g = i t), т] = liO — периодические фзгнкции с периодами Ti = Ti(a, ho), Tz = Xzlh, ho) соответственно, то ti и tz являются непрерывными, не вырождающимися в константы функциями h, ho и таким образом в общем случае несоизмеримыми. Следовательно, если только отношение Ti Т2 не окажется рациональным, кривая = (Г), 11 = 11(0, описывающая движение частицы М, не является периодической, но полностью заполняет (всюду плотно) прямоугольную область на плоскости (S, т]) (см. 125). [c.181]

В литературе предложены три выхода из этой ситуации, позволяющие получить обычный порядок точности. Во-первых, в работах [102, 66] предлагается добавлять к обычным базисным функциям еще одну или несколько функций, описьюающих характер особенности решения в угловых точках. Эти функции имеют большую площадь носителя, что существенно усложняет алгоритмы формирования и решения линейных алгебраических систем метода Бубнова - Галёркина. Во-вторых, в работе [92] предлагается использовать нормы с весом, вырождающимся в нуль в особых точках. В такой норме порядок сходимости остается обычным, но за счет вырождения веса точность приближенного решения вблизи особой точки хуже, чем вдали от нее. В-третьих, в работах [92, 66, с. 273] предлагается специальным образом сгущать триангуляцию при подходе к особой точке. Это сгущение можно подобрать так, чтобы общее число узлов разностной сетки осталось по порядку таким же, как обычно. Некоторое увеличение числа узлов (и соответственно неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений) все же имеется в сравнении с обычным путем, но зтапы автоматизации не меняются. Мы рассмотрим именно этот прием и покажем, что приведенные в гл. 4 алгоритмы могут бьпь распространены и на этот случай без потери экономичности. [c.219]

Течение из конечного линейного источника питания в скважину. Преобразования сопряженной функции. Бесконечный ряд отображений. В предыдущем разделе было показано, что всякое уравнение вида (1), гл. IV, п. 8 дает две сопряженных функции , одна из которых может интерпретироваться физически как система эквипотенциальных кривых, а другая соответствующими им линиями тока. Они найдут себе отражение в действительной физической системе, если заранее намеченное распределение давлений и расходов на ее границах будет пропорционально (аддитивной константе) тем величинам, которые создаются решеткой сопряженных функций на кривых, оконтуривающих физическую систему. Так, при рассмотрении задачи, представленной в гл. IV, п. 8, фактическое решение состоит в заключении, что один из эквипотенциалов решетки сопряженной функции, сформулированной уравнением (8), гл. IV, п. В,, а именно вырождающийся эллипс из уравнения (14), гл. IV, п. 8 геометрически совпадает с конечным линейным источником питания исследуемой физической системы. Аналогичные задачи могут решаться тем же путем. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...