Уравнения в вариациях их решение

Эти уравнения, позволяющие исследовать решения, бесконечно близкие к заданному решению, были введены Пуанкаре, который назвал их уравнениями в вариациях решений системы (33). [c.410]

Отметим, наконец, что для всякого решения систему (36) существует оо" виртуальных перемещений, так йак для соответствуюи их уравнений в вариациях можно произвольно задать начальные значения п функций 8л , которые им удовлетворяют. [c.281]

Уравнения (23.10.13) и (23.10.14) определяют зависимость функций а и ср от времени их называют уравнениями в вариациях. Как станет ясно дальше, эти уравнения определяют медленные долгопериодические вариации. Уравнение (23.10.15) называется пертурбационным уравнением- оно определяет короткопериодические вариации. Если бы, например, а и ф были постоянны, то уравнение (23.10.15) имело бы решение [c.484]

Имея решения (15) и пользуясь их свойствами (16), легко записать интеграл Коши системы уравнений в вариациях [c.655]

Вариации N a) не приводили к существенному изменению результатов расчетов. Видио, что моделирование реальной поли-дисперсной среды уравнениями п их решениями (4.2.15) для монодисперсной смеси с некоторым средним диаметром частиц хотя II соответствует экспериментальным данным в целом, тем [c.331]

Зависимые вариации выражаются линейными функциями от k независимых вариаций в результате решения системы (3). Подставим их значения в уравнение (1), представляющее собой общее уравнение статики. Так как это уравнение после указанной подстановки будет содержать лишь k независимых вариаций, то оно должно удовлетворяться при произвольных значениях последних каждый из k коэффициентов при этих вариациях должен поэтому в отдельности обращаться в нуль. Таким способом мы получаем k уравнений равновесия между координатами точек системы и проекциями прямо приложенных сил. Эти k новых уравнений в соединении с Зи — А уравнениями связей (2) определяют значения координат для положений равновесия, если известны прямо приложенные силы в случае же неизвестных сил, эти силы могут быть определены из тех же уравнений и выразятся, следовательно, как функции от координат точек системы. Тогда говорят, что силы позиционны. [c.306]

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца. [c.562]

С. А. Чаплыгин вывел свои уравнения для истинных координат, однако, в дальнейшем при решении задачи о плоском неголономном движении он использовал их, введя в качестве независимого параметра длину дуги, которая является квазикоординатой, причем С, А. Чаплыгин не отметил этого обстоятельства. Законность такого использования выведенных уравнений связана с тем, что вид уравнений С. А. Чаплыгина сохраняется и в том случае, когда некоторые из первых т координат (вариации которых приняты за независимые) не входят ни в уравнения связей, ни в функцию Лагранжа , а вместо них введены квазикоординаты. Обычно квазикоординаты вводятся в виде соотношений (как правило линейных) между производными квазикоординат и обобщенными скоростями, причем сами квазикоординаты в силу своей природы входить в эти соотношения не могут. Если I (I < т) — число координат, входящих в функцию L и уравнения связей, тогда, имея в виду применение уравнений Чаплыгина, можно ввести не более т—I квазикоординат. [c.110]

Это значит, что для стационарных связей действительные перемещения совпадают с одним из виртуальных перемещений. Материальная система, состоящая из п точек, имеет Зя вариаций координат. Однако в силу уравнений (1.26) эти вариации координат не являются независимыми друг от друга. Решая уравнения (1.26) относительной вариаций координат, для которых это решение возможно, мы их выразим через остальные дп — k. Следовательно, независимых вариаций координат будет 2>п — k, т. е. число независимых вариаций координат равно числу степеней свободы материальной системы. [c.18]

Использование для решения этой задачи критерия (11.36) осложняется тем, что давление в этом случае должно быть параметром системы, т. е. должно быть одинаковым во всех ее частях. Поэтому если исходить из фундаментальных уравнений (9.32) отдельных фаз, суммируя их для получения 6G системы аналогично (11.37), то к найденной таким способом вариации энергии Гиббса системы не удается применить критерий (11.36), так как давления в фазах и различаются и нет оснований считать, что фиксируемое давление Р отвечает какому-либо одному из них. Можно, однако, воспользоваться результатом расчета равновесия с помощью функции F, рассматривая систему сразу всю в целом, без детализации ее внутреннего строения. На основании определения энергии Гиббса G = F + PV. Внешнее давление Р = Р (см. рис. 5), так что [c.113]

Вариационный принцип Кастильяно. Пусть и и е относятся к одному состоянию тела, т. е. известно решение (15.19) уравнений совместности деформаций Сен-Венана или, иначе, удовлетворены уравнения Коши, а вместо х, о и pv рассматриваются их вариации бх, бо и 6pv, которые считаем возможными, т. е. удовлетворяющими дифференциальными уравнениями равновесия в области и уравнениям равновесия элементарного тетраэдра на границе тела [c.520]

Если в качестве базисных функций использовать однородные решения, то после их подстановки в (2.14) получаем вариационную формулировку граничных условий на торце л = 0. Собирая коэ( и-циенты при вариациях бЛр, приходим к следующей бесконечной системе уравнений ft [c.252]

По-видимому, в большинстве решений задач по упругопластическому деформированию тел при бифуркации область пластического деформирования для боковой ветви не совпадает с областью ъ побочном решении возможна разгрузка материала в некоторой подобласти так что С °Vp°. Тогда в уравнениях для отклоненных движений наряду с отклоненными величинами (вариациями перемещений и их скоростей) появляются конечные значения скоростей деформаций основного или побочного решений. В [24] показано, что в этом случае бифуркация решений задачи (4.12), (4.2), (4.7) определяет момент, за которым процесс квазистатического деформирования становится неустойчивым. [c.138]

Применяя для решения неоднородного уравнения (19.16) обычный метод вариации произвольных постоянных, считаем А к В функциями от 2 и приходим к следующим уравнениям для их определения [c.465]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

Располагая коэффициенты в уравнениях, вытекаюш,их из условия равенства нулю выражения (7.3.7) таким образом, чтобы три четных коэффициента, т. е. нри (65 ) , (6 ) и (6ге ) , лежали на диагонали,. получаем определитель, стояш,ий в левой части неравенства (7.3.2). Величина Ы1 должна быть положительной для всех возможных комбинаций вариаций 65 , 6у , 6га следовательно, она равна нулю, если любые две из этих вариаций равны нулю мы видим, таким образом, что три диагональных элемента должны быть положительными. Когда какая-либо одна вариация равна нулю, уравнение (7.3.7) преобразуется в простое квадратное уравнение. Рассуждая так же, как в решении задачи 7.1, п. б , приходим к выводу, что 2x2 миноры определителя должны быть положительными, поскольку определитель содержит всю совокупность коэффициентов уравнения (7.3.7). Отсюда следует, что условия (7.3.2)—(7.3.4) являются необходимыми и достаточными ). [c.235]

Определение компонент обобщенных массовых и поверхностных сил <2 и М представляет собой проблему, тесно связанную с теорией диссипативных механизмов, при решении этой задачи неизбежны различные допущения и контакты с уже развитой термодинамикой необратимых явлений. Определение Q к М аналогично основной физической задаче в механике Ньютона об установлении законов для сил, определенных уравнением Ньютона, а в данном случае вариационным уравнением (9). Особенное физическое значение может иметь учет свойств величин в подынтегральном выражении для 617 на поверхности разрыва 5 +. Определение дW связано с выбором определяющих параметров ж и с определением их вариаций и, в частности, со свойством непрерывности вариации на скачках. [c.476]

Для неизотермического движения идеального газа, описываемого уравнениями (3.6.2) — (3.6.4), уравнения движения в неразрывности (3.6.2) и (16.3) не связаны с уравнением энергии (3.6.4) и их можно интегрировать независимо. По аналогии с решениями для гидравлических трактов, приведенными в подразд. 2.3, можно записать для амплитуд вариаций скорости и давления [c.198]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

Для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам. При п = 1 уравнения первою приближения (125) интегрируются в квадратурах при п = 2 для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре. При любом п, если Хо ( ) обращается в нуль в некоторой точке = о, можем рассматривать квазистатическое решение j = уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях) [c.86]

В приведенных выше примерах исследовалась устойчивость тривиального решения дифференциального уравнения типа (5.1), содержащего параметр в виде случайной функции времени. Перейдем к задачам об устойчивости стационарных случайных режимов, возникающ,их на выходе некоторых нелинейных систем. Уравнение устойчивости в таких задачах имеет смысл уравнения в вариациях, составленного для исходной нелинейной системы. [c.152]

Исследование устойчивости основного состояния (3)-(8) для горизонтальной (вертикальной) выработки и (9)-(14) для сферической выработки с многослойными крепями при принятии обобш енной концепции продолжаюш егося нагружения [10] и при предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания, сводится к решению систем дифференциальных уравнений в вариациях при соответствуюш их граничных условиях [7]. Для случаев вертикальной и сферической выработок рассматривается осесимметричная форма потери устойчивости и = м(г, г), г = О, гу = ги(г, х). [c.303]

В случае, когда уравнения (3) линейные, точечные отображения (6) могут быть получены в явном виде. По явному виду точечных отображений могут быть составлены уравнения периодических движений и характеристические уравнения для исследования устойчивости найденных периодических движений. Это было проделано для релейных и некоторых кусочно-линейных систем (Ю. И. Неймарк, 1955—1956 Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1960) и для систем с ударными взаимодействиями (В. А. Горохов, 1966). В случае, когда уравнения (3) нелинейные и получение их явных решений невозможно, характеристическое уравнение может быть составлено по уравнениям в вариациях и уравнениям (5) (Ю. И. Неймарк, 1958). В практически часто встречающемся случае, когда соотнощения (5) представляют собою сшивание решений на поверхности разрыва правых частей дифференциальных уравнений, правило составления характеристического уравнения для исследования устойчивости периодического движения было указано в упомянутой работе Ю. И. Неймарка и затем подробно развито в работах М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [c.154]

В начале этой главы был рассмотрен вопрос об устойчивости пяти точек Лагранжа в ограниченной задаче трех тел. Что будет с частицей, находящейся в точке Лагранжа, если ее координаты и скорости получат малые приращения Будет ли она колебаться около точки Лагранжа или быстро уйдет от нее Точку Лагранжа в этих случаях называют соответственно устойчивой или неустойчивой. Для того чтобы ответить на вопрос, устойчиво или неустойчиво решение Лагранжа, мы линеаризовывали уравнения в вариациях, решали их и анализировали корни характеристического детерминанта. [c.168]

Следовательно, доказательство утверждения (и) 421 будет закончено, если только по крайней мере один из двенадцати характеристических показателей s для уравнений в вариациях окажется при соответствующих значениях масс пц отрицательным и иррациональным. Удостовериться в последнем можно путем исследования корней уравнения det sE — А) =0. Эти громоздкие 1Г элементарные исс.иедования аналогичны тем, о которых указывалось в 381. Выполняя их в данном случае, найдем, что если точка равновесия = aj уравнений (29i) соответствует треугольному решению, то восемь корней уравнения det sE — А) = О из двенадцати принадлежат, как и в 382, к устойчивому типу. Если исключить эти корни, то остающееся биквадратное уравнение легко разрешимо. Один из его корней s = s(/ i, т , /из) оказывается отрицательным при произвольных тщ, т , тпз и его значение зависит от масс гщ (входящих в коэффициенты уравнения). Кроме того, этот корень s = s(mi, /иг, гпз) принимает иррациональное значение, так как он является алгебраической, а следовательно, непрерывной функцией пц. [c.415]

Уравнения Эйнштейна связывают тензор энергии (массы), удовлетворяющий уравнению дх = О, с метрическим тензором искривленного пространства-времени. Отказ от объемного искривления пространства, т. е. переход к плоскому пространству-времени Минковского приводит к тому, что всеобщая история распределения вещества в соответствии с ОТО не дает осмысленных результатов. К примеру, положив в космологических уравнениях (П2.40) величины = О, = О, получим -аеТ " = и далее р = -Л/ае. При Л = О имеем для плотности массы р = 0. Понять физический смысл этого эффекта или дать физическую интерпретацию постоянной тяготения Эйнштейна при этом довольно затруднительно. Из этого рассмотрения вытекает, в частности, вывод о том, что уравнения Эйнштейна не дружат с метрикой Минковского. Напротив, релятивистские теории гравитации (РТГ), базирующиеся на гипотезе о развитии гравитационного поля в пространстве-времени Минковского (см., например, работы [202-205]) и на отказе от метрики Римана, пытаются приобщить поле тяготения к плоским физическим полям в смысле Фарадея-Максвелла. Различные вариации РТГ предстают, таким образом, как своеобразные обобщения классической теории гравитации Ньютона (постньютоновские обобщения) применительно к релятивистскому случаю, т. е. формируют уравнения и их решения в галилеевых координатах в инерциальной системе отсчета. Отсюда калибровка, спиновые и другие эффекты плоского гравитационного поля в РТГ при попытках создания теории единого всеобъемлющего полевого взаимодействия. [c.455]

В этом параграфе мы выведем уравнения движения в том виде, в котором они были использованы Понтекуланом ), а в последующих параграфах мы опишем основные этапы их решения и рассмотрим некоторые наиболее известные неравенства, такие, как эвекция, вариация и т. д. [c.340]

Глава I, возможно, необычна тем, что здесь рассматриваются только динамические операторы канонических систем дифференциальных уравнений без привлечения самих уравнений, которые лишь маскировали бы фактическое содержание приводимых формальных операций. Дифференциальные уравнения и их решения вводятся лишь в главе II. Соответственно метод вариации кано- шческих постоянных в теории возмущений не связывается с известным уравнением в частных производных, которое выводится фактически лишь как побочный результат теории преобразований фазового пространства. [c.8]

В этом и в следующем параграфах исследуются осесимметричные контактные задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих цилиндричекских тел. По своему математическому содержанию они приводятся к уравнениям плоских контактных задач второй главы. Поэтому остановимся на решениях конкретных задач, снабдив их комментариями о возможных вариациях и обобщениях. [c.117]

Метод виртуального варьирования возник вместе с принципом возможных перемещений (принципом виртуальных скоростей Лагранжа (J. L. Lagrang)) и принципом Даламбера (J. d Alembert) при объединении их в единый принцип Даламбера-Лагранжа, дающий общее уравнение аналитической механики. С использованием понятия возможных перемещений задаются реакции связей, в частности с помощью известного критерия идеальности связей. Принцип возможных перемещений вначале применялся при решении задач статики как необходимое условие равновесия. Достаточность принципа виртуальных скоростей для равновесия могла быть доказана только в теории, описывающей движение, так как под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения... [51]. Здесь мы вместо термина возможное перемещение предпочитаем пользоваться термином виртуальное перемещение , чтобы избежать терминологического противоречия, указанного М. В. Остроградским [79] при нестационарных связях виртуальные перемещения в общем случае не являются возможными в смысле физической реализации (иначе получилось бы, что возможные перемещения не являются возможными). Термин виртуальные вариации применяем, следуя авторам работ [74, 101], чтобы подчеркнуть, что варьирование производится в соответствии с требованиями, налагаемыми на виртуальные перемещения. Совокупность способов получения виртуальных вариаций, правила выбора множества последних и условия их применения составляют метод виртуального варьирования. [c.10]

В заключение мы отметим метод, созданный Н. Н. Боголюбовым. В 1945 г. Боголюбов предложил для систем весьма общего вида новый метод доказательства существования интегрального многообразия и изучения качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности этого многообразия. Метод Боголюбова позволяет и фактически построить решение в окрестности интегрального многообразия, т. е. этог метод является значительным развитием первого метода или новым первым методом. Кстати, здесь у Боголюбова, как и у Ляпунова, возникают характеристические числа, совокупность которых и определяет качественную картину вблизи некоторой точки или периодического решения. И если имеется т характеристических чисел с отрицательной вещественной частью, то имеется т-параметрическое семейство решений, асимптотически приближающихся к стационарной точке или периодическому решению. Работы в этом направлении, объединяемые так называемой киевской школой, сейчас нелегко и обозреть. По изучению интегральных многообразий глубокие исследования провел Ю, А. Митропольский и его ученйки, которые рассматривали вопросы существования интегральных многообразий и их устойчивость как в смысле Ляпунова, так и при вариации правых частей дифференциальных уравнений и притом для весьма разнообразных > колебательных систем. Здесь устойчивость интегральных многообразий в смысле Ляпунова является аналогом того, что мы видели во всех сомнительных случаях у Ляпунова (но у Боголюбова и Митропольского рассматриваются системы более общего вида). Устойчивость же интегральных многообразий при вариации правых частей уравнений является задачей нового типа. [c.82]

В работах Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева (1965, 1966) был развит статический метод исследования устойчивости вязко-упругих оболочек, основанный на изучении ветвления форм равновесия в процессе ползучести. Так как вследствие ползучести напряженное и деформированное состояние оболочки непрерывно меняется, то в некоторый момент времени исходная форма равновесия оказывается не единственно возможной и появляются смежные формы равновесия, отличные от исходной. Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым было показано, что учет ползучести не приводит к принципиальным изменениям тех представлений о понятии устойчивости и методов решения, которые сложились при исследовании устойчивости упругих систем. Меняется и уточняется лишь расчетная схема. Причем эти изменения существенны лишь в той ее части, которая связана с определением напряжений и деформаций исходного состояния системы. Здесь необходимо учитывать возможные отклонения системы от идеального состояния, обусловленные наличием начальных перемещений, особенностями приложения нагрузки и т. д. Уравнения же нейтрального равновесия, записанные относительно мгновенных приращений (вариаций) напряжений и перемещений, имеют тот же вид, что и для упругих систем. При их записи необходимо лишь учитывать те дополнительные деформации и напряжения исходного состояния, которые накапливаются в процессе ползучести. [c.349]

В случае правой части / (х) произвольного вида общее решение неоднородного уравнения находится методом вариации произвольных постоянных в форме У=С1 (X) У1 (х)+С (х)уз (х)+...+Ся(.х) у (х), где (х), уг (х), у (х) — попрежнему линейно-независимые решения соответствующего однородного уравнения и, следовательно. у = С1У1(х)-ЬС2У2(х)+. .. +С Уп(х) при постоянных Сц с,.....С —общее решение этого однородного уравнения, а функции С1 (х), С (х),..., С (х ) определяются следующей системой алгебраических уравнени 1-й степени относительно их производных [c.170]

В силу последнего из уравнений (4.31), с учетом принятой сокращенной записи, интеграл по площади прюпадает, если ш есть точное решение. Если, кроме того, в каждой точке контура заданы ш и дт/ду и значит равны нулю их вариации, то пропадает и контурный интеграл. В результате можно заключить, что проблема Равноактивной бифуркации сводится к вариационному уравнению [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...