Уравнения в вариациях

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую из (И ) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях) [c.652]

Примером эффективного использования системы уравнений в вариациях служит теория движения в окрестности положения равновесия ( 8.7). Там линейная система и есть система уравнений в вариациях относительно нулевого решения. [c.699]

Написать систему уравнений в вариациях для физического маятника в окрестности положения равновесия. [c.703]

Термин уравнения в вариациях принадлежит А. Пуанкаре. [c.381]

Как было указано в предыдущем параграфе, уравнения в вариациях позволяют перейти от закона движения некоторой точки в непрерывном многообразии изображающих точек к закону движения точки, бесконечно близкой к первой. При этом предполагается, что движения всех точек указанного многообразия определяются уравнениями (е). Тогда переходу от некоторой точки к смежной соответствует изменение начальных условий или постоянной в соотношении (Г). [c.388]

Равенства (11.388) подтверждают правильность теоремы. В равенствах (11.388) 6р] и — решения уравнений в вариациях, соответствующие канонической системе уравнений (е). [c.388]

Составим уравнения первого приближения ( уравнения в вариациях ). Имеем [c.407]

Составим уравнение в вариациях, соответствующее уравнению (III. 51). Получим [c.434]

Это — уравнения в вариациях Пуанкаре. [c.235]

Если T)s и 8) Лз— два частных решения уравнений в вариациях (7.28), то [c.235]

Аналогично доказывается, что если уравнения в вариациях Пуанкаре имеют линейный интеграл [c.236]

Отсюда просто доказывается известная теорема Пуассона. Если Ф = а и Oi = ai — два первых интеграла канонических уравнений движения, то будут существовать частные решения уравнений в вариациях Пуанкаре [c.236]

Уравнениями возмущенных движений материальной системы вблизи ее положения равновесия в первом приближении будут уравнения в вариациях Пуанкаре с постоянными коэффициента- [c.236]

Для ведущего движения уравнения в вариациях Пуанкаре будут иметь коэффициенты зависящие от времени. Наименьшее из характеристичных чисел функций, составляющих некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре т] называется характеристичным числом этого решения. Пусть оно есть у. и пусть у/ есть характеристичное число другого решения Isi 11s 1 для которого инвариант отличен от нуля [c.242]

Если все у. положительны, то решения уравнений в вариациях дают устойчивость, если среди характеристичных чисел существует по меньшей мере одно отрицательное, то — неустойчивость. Из последнего неравенства следует, что для устойчивости ведущего движения по уравнениям в вариациях Пуанкаре необходимо, чтобы все характеристичные числа х были нулями. Для случая приводимых уравнений в вариациях Пуанкаре предложение это говорит, что вблизи устойчивого ведущего движения возмущенные движения имеют колебательный характер. Вопрос о частоте нормальных колебаний еще не разрешен. [c.242]

После разложения правых частей в ряды Тейлора по малым аначениям ц, и использования (14) получаем в первом приближении уравнения в вариациях Пуанкаре [c.282]

Эти уравнения в вариациях обладают рядом свойств, стоящих в тесной связи с оптико-механической аналогией Гамильтона. [c.282]

Если T]j и Tis — два решения уравнений в вариациях (15), то [c.282]

Можно заметить, что уравнения в вариациях (15) также можно получить в рамках мысли Лагранжа. Действительно. Если общее решение уравнений (14), зависящее от 2rt постоянных, подставить в уравнения (14), мы получим тождество, не зависящее от численных значений этих постоянных. Тождество это можно дифференцировать по постоянным. Дифференцируя один [c.282]

Инвариант (16) убеждает, что решения уравнений в вариациях между собой связаны. Связь эта позволяет в некоторых случаях находить просто новые интегралы или решения. [c.283]

Действительно. Непосредственным дифференцированием доказывается предложение, что если уравнения в вариациях (15) имеют линейный интеграл [c.283]

Отсюда, если ф( , q р,) = а, (i, q р,)=Ь —два интеграла канонических уравнений движения (14), то уравнения в вариациях будут иметь частные решения [c.283]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Действительные возмущенные движения находятся среди группы бинарных преобразований. И, значит, инвариант бинарных преобразований движения будет интегралом уравнений в вариациях Пуанкаре. [c.360]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ). [c.230]

Система из s линейных уравнений (9.34) называется уравнениями возмущенного движения или уравнениями в вариациях. Если невозмущенное движение таково, что коэффициенты уравнений (9.34) постоянны, то это движение называется стацяонардым. Для стационарного движения справедливо [c.262]

Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х = = X (О, у = У (0. 2 = 2 (t) — периодическое решение периода т системы дифференциальных уравнений (1.1). Линзаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых теперь частные производные [c.17]

Вариации бх удовлетворяют некоторой системе линейных дифференциальных уравнений, которая встречалась раньше при рассмотрении проблемы устойчивости движения в первом приближении. Эти уравнения называются уравнениями в вариациях ). Уравнения в вариациях составляются аналогично дифференциальным уравнениям (П.326Ь). [c.381]

Соотношения (П.381Ь)—искомые уравнения в вариациях. Они соответствуют уравнениям (П.331Ь) первого приближения В теории устойчивости движения А. М. Ляпунова. Вместе с уравнениями (11.379) уравнения (П.381Ь) составляют систему 2д уравнений с неизвестными функциями х, Х2, х , 6x1, [c.382]

Каждому первому интегралу уравнений (II. 379) соответствует частное решение уравнений в вариациях (П.381Ь), если уравнения (11.379)—канонические уравнения динамики. [c.387]

Соотношение (с)—первый интеграл системы уравнений, состоящей из системы уравнений (II. 379) и уравнений в вариациях (И.381Ь). [c.391]

Первая группа уравнений в вариациях Пуанкаре дает неносред-ствепно такие уравнения [c.242]

Курс теоретической механики. Т.2 (1977) -- [ c.381 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.410 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 1 (1951) -- [ c.114 , c.384 ]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.280 ]

Аналитическая динамика (1971) -- [ c.457 ]

Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике (1995) -- [ c.219 , c.233 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.415 ]

Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.540 ]

Динамические системы-1 (1985) -- [ c.169 ]

Аналитические основы небесной механики (1967) -- [ c.83 , c.216 ]

Теория колебаний (2004) -- [ c.405 , c.559 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...